相交线与平行线一章教案.doc

第五章 相交线与平行线 整理；刘德印知识结构图 相交线相交线 垂线 同位角、内错角、同旁内角 平行线平行线及其判定 平行线的判定 平行线的性质 平行线的性质 命题、定理平移在同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交和平行；垂直是相交的一种特殊形式；重合是平行的一种特殊形式；判断三点共线的三种方法：1.构成平角；2.利用平行公理；3.利用垂线的性质。一.相交：在同一平面内，两条不同的直线只有一个公共点。几条直线两两相交时交点的个数n(n-1)/2（一）三线八角：所谓三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成八个角,如图。其中： 同位角有:1与5, 2与6,4与8, 3与7, 内错角有:3与5, 4与6,同旁内角有:3与6, 4与5.例：如果两条平行线被第三条直线所截得的八个角中,有一个角的度数已知,则：A、 只能求出其余三个角的度数.B、 只能求出其余五个角的度数.C、 只能求出其余六个角的度数.D、 只能求出其余七个角的度数.析解:由三线八角可知: 同位角相等的有:1与5, 2与6,4与8, 3与7, 内错角相等的有:3与5, 4与6,同旁内角互补的有:3与6, 4与5.答案选D.（二）、加平行线的辅助线：例：如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕过湖通过. 如果第一次拐的角A是110, 第二次拐的 角B是140, 第三次拐的角C,这时的道路与第一条路平行,则C是( ).A、120 B、130 C、140 D、 150析解:作辅助线BE，把A转移到ABE，CBE=ABCABE =140110=30,C=18030=150140110=30。例：已知：如图,ABED，求证：B+BCD+D=360。分析：我们知道只有周角是等于360，而图中又出现了与BCD相关的以C为顶点的周角，若能把B、D移到与BCD相邻且以C为顶点的位置，即可把B、BCD和D三个角组成一个周角，则可推出结论。证法一：如图,过C作CFAB，BCF=B，ABED，CFED，FCD=D，BCD+BCF+DCF=360，B+BCD+D=360。证法二：如图, 过C作FCAB，B+BCF=180，ABED，FCED，FCD+D=180，B+BCF+FCD+D=360即B+BCD+D=360。证法三：如图, 过B作BFDC，FBC=BCD，又ABED，ABF=D，ABC+CBF+ABF=360，ABC+BCD+D=360。例：如图,直线ab，CAE=20，CBF=40，则ACB=。（三）平移角例：图（9） ABED，CE平分BCD交AB于点E，A=110，则AEC为多少。析解:ABED，A+ACD=180，ACD=180A=180110=70，又CE平分BCD，ACE=ECD=ACD=70=35，ABED，AEC=ECD，AEC=35例：如图（10）,ADEGBC，ACEF，则图中与1相等的角（不含1）有_个，若1=40，则AHG=_。析解:ACEF， 1=ACB，ADEGBC，1=HEF，GHC=ACB，DAC=ACB，又AHE=GHC， 1=GHC=AHE=DAC，则与1相等的角有ACB、HEF、GHC、AHE、DAC共5个；1=40 AHE=40，则AHG=180AHE=18040=140。三、转折角处巧添辅助线例：如图AB/CD,则的度数为 解：由图形可以看出，在两条平行线 AB,CD之间的E点处出现了一个转折角，即，因此我们可以过点E作EF/AB,，由条件AB/CD,可知AB/EF/CD所以所以又因为CD/EF,从而例：如图，己知AB/DE,则_解：由图形可以看出，C点处出现了一个转折角，因此我们可以过点C作CF/AB, 由此可知所以例：如图，AB/CD,若则 度.解：题中出现转折角，即，可过点E作与AB,CD平行的直线FG,则所以例：如图试探索之间具备什么关系时，AB/CD,并说明理由。解：观察图形可以猜想时, AB/CD。在E点出现了转折角，可以过点E作EF/AB,则所以EF/CD 又因为EF/AB，所以AB/CD.1. 对顶角：是两条直线相交所成的四个角中有一个有公共顶点但没有公共边的两个角；也是一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线。 只有两条直线相交时才能产生两对对顶角。两条直线相交：有两对对顶角；对顶角的性质：对顶角相等；2. 判断两个角是否是对顶角：一要看这两个角是不是两条直线相交得到的。二要看这两个角是不是有公共顶点。3.邻补角：是两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点并且有一条公共边的两个角，而且它们的另一边互为反向处长线的两个角。它可以看成是一条直线与端点在直线上的一条射线组成的两个角。邻补角是成对的，是具有特殊位置关系的两个互补的角。两条直线相交所成的四个角中，有4对邻补角。如果两个角互为邻补角，这两个角一定互补；但是互补的两个角不一定是互为邻补角。 邻补角的本质特征：有一个公共顶点和一条公共边，另一边是互为反向处长线的两个角。三线八角：如图，直线a，b被直线c所截，形成的8 个角中，其中同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对 4.判断两个角是否是邻补角：一要看这两个角的两边，一边是公共边，另外两边互为反向延长线。邻补角与对顶角的共同点：一是两条直线相交；二是都有公共顶点；不同的是：对顶角没有公共边，邻补角有一个公共边。5. 判断角相等的方法: （1）同角或等角的余角相等、补角相等；（2）对顶角相等；（3）角分线定义；（4）两条直线平行性质。二垂直：是相交的一种特殊形式，是指两条直线相交时所产生的四个角中有一个角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右 移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。1.垂线性质：（1）在同一平面内，过直线外（上）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。2.点到直线的距离：是直线外一点到这条直线的垂直线段的长度。点到直线的距离是长度；是数量；垂线段是图形。3.垂直的判断：1.两条直线相交时有一个夹角是90度；2. 邻补角相等；3.垂直于两条平行线中的一条，也必定垂直于另一条（这也是平行线性质之一）。4.线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。求证：PA=PB。证明：MNAB，PCA=PCB=90AC=BC，PC=PCPCAPCB（SAS）PA=PB（全等三角形的对应边相等）5. 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上（利用等腰三角形三线合一）三平行线：是指在同一平面内不相交的两条直线。直线a与b平行，记作ab 1.在同一平面内，两条直线的位置关系：一是相交；二是平行； 2.两条直线的位置关系中没有重合，当两条直线重合时视为一条直线。对平行线概念的理解：两个关键：一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”一个前提：对两条直线而言平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一，方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线） 3.两条平行直线被一条直线所截，有同位角、内错角、同旁内角。 4.平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行即：如果ba，ca，那么bc本章内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。上述类型题目大致可分为两大类：一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。 例：已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。 （1）1和2是内错角，1=2， （2）AD/BC， 1=2（两直线平行，内错角相等） （3）1=2，AB/CD（两直线平行，内错角相等） 分析：根据“三线八角”的概念，对（1），（2）可从内错角的条件入手；对（3）考虑平行线的判定和性质。 解（1）因为没有直线CD/AB的条件，不能得出内错角1，2相等的结论。 （2）1，2不是AD，BC被AC所截得的内错角，所以得不出1= 2的结论，应改为： CD/AB，1=2（两直线平行，内错角相等） （3）理由填错了，应改为： 2，CD/AB （内错角相等，两直线平行） 例：如图，1=2，3=4，试向EF是否与GH平行？分析：要判断EF与GH是否平行，只要能找到与EF，GH有关的一对角（同位，内错，同旁内角都可以）相等或互补即可。 解：1=2（已知） 又CGE=2（对顶角相等） 1=CGE（等量代换） 又3=4（已知） 3+1=4+CGE（等量加等量，其和相等） 即MEF=EGH， EF/GH（同位角相等，两直线平行）。 说明：本题解答过程就是一种推理过程，每一步因果关系分明。由因导果的依据在式子后面的括号内写明了。此题属于平行线判定类型。 例：如图写出能使AB/CD成立的各种题设。 分析：应先找和AB，CD这二条直线有关的第三条截线所组成的“三线八角”来判定AB/CD。 解：使AB/CD成立的题设有： （1）根据同位角相等，判定两直线平行有：EAB=EDC，FDC=FAB （2）根据内错角相等，判定两直线平行有：3=4或7=8。 （3）根据同旁内角互补，判定两直线平行有：BAD+ADC=180或ABC+BCD=180。 例：已知如图，1+2=180，A=C，AD平分BDF求证：BC平分DBE。分析：只要求得EBC=CBD，由1+2=180推出1=BDC，从而推出AE/FC，从而推出C=EBC而C=A于是可得A=EBC。因此又可得AD/BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出EBC=DBC。 证明：2+BDC=180（平角定义） 又2+1=180（已知） BDC=1（同角的补角相等） AE/FC（同位角相等两直线平行） EBC=C（两直线平行内错角相等） 又A=C（已知） EBC=A（等量代换） AD/BC（同位角相等，两直线平行） ADB=CBD（两直线平行，内错角相等） ADF=C（两直线平行，同位角相等） 又DA平分BDF（已知） ADB=ADF（角平分线定义） EBC=DBC（等量代换） BC平分DBE（角平分线定义） 三、证明角相等的基本方法 （1）同角（或等角）的余角相等； （2）同角（或等角）的补角相等； （3）对顶角相等； （4）两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。 例：如图1=2=C，求证B=C。分析：题设中给出三个相等的角，其中2和C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角，由2=C则DE/BC。再看题中要证明的结论是B=C，由于C=1，所以只要证明1=B，而1与B是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，1=B是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径： 证明：2=C（已知）， DE/BC（同位角相等，两直线平行）， 1=B（两直线平行，同位角相等）， 又1=C（已知）， B=C（等量代换）。 例：已知如图，AB/CD，AD/BC，求证：A=C，B=D。 分析：要证明A=C，B=D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例10一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB/CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁内角，B、C，因此B+C=180o，同时B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截，构成的一对同旁内角B、A，B+A=180o，通过B的中介，就可以证明得A=C。同理，也可得到B=D，整个思路为： 证明：AD/BC（已知） A+B=180o（两直线平行，同旁内角互补）， AB/CD（已知）， B+C=180o（两直线平行，同旁内角互补）， A=C（同角的补角相等）， 同理可证B=D。 例：已知如图，ADBC于D，EGBC于G，E=3，求证：1=2 分析：要证明1=2，而从图中所示的1和2的 位置来看，根据题设或学过的定义、公理、定理无法直 接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下， 寻找一下1、2与周边各角的关系，我们看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角1、E；被AB所截，形成内错角2、3；而题设明确告诉我们3=E，于是目标集中到证明AD/GE，根据题设中ADBC，EGBC，我们很容易办到这一点，总结一下思路就可以得到以下推理程序： 证明： ADBC于D（已知）， ADC=90o（垂直定义）， EGBC于G（已知）， EGD=90o（垂直定义）， ADC=EGD（等量代换）， EG/AD（同位角相等，两直线平行）， 1=E（两直线平行同位角相等）， 2=3（两直线平行内错角相等）， 又E=3（已知）， 1=2（等量代换）。 四、两条直线位置关系的论证。 两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行，证明两条直线垂直，证明三点在同一直线上。 1、学过证明两条直线平行的方法有两大类 （一）利用角； （1）同位角相等，两条直线平行； （2）内错角相等，两条直线平行； （3）同旁内角互补，两条直线平行。 （二）利用直线间位置关系： （1）平行于同一条直线的两条直线平行； *（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。 例：如图，已知BE/CF，1=2，求证：AB/CD。 分析：要证明AB/CD，由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对内错角ABC和DCB，只要证明这对内错角相等，而图中的直线位置关系显示，ABC=1+EBC，BCD=2+FCB，条件中又已知1=2，于是只要证明EBC=BCF。 证明： BE/CF（已知）， EBC=FCB（两直线平行，内错角相等） 1=2（已知）， 1+EBC=2+FCB（等量加等量其和相等）， 即ABC=BCD（等式性质）， AB/CD（内错角相等，两直线平行）。 例：如图CDAB，EFAB，1=2，求证：DG/BC。 分析：要证明DG/BC，只需证明1=DCB，由于1=2，只需证明2=DCB，2与DCB又是同位角，只需证明CD/EF。根据题设CDAB，EFAB，CD/EF，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。 （1）（平行线的判定） （2）CD/EF 2=DCB（平行线的性质） （3） 1=DCBDG/BC（平行线判定） 在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。 证明：CDAB于D（已知）， CDB=90o（垂直定义）， EFAB于F（已知）， EFB=90o（垂直定义）， CDB=EFB（等量代换） CD/EF（同位角相等，两直线平行） 2=DCB（两直线平行，同位角相等） 又1=2（已知）， 1=DCB（等量代换）， DG/BC（内错角相等，两直线平行）。 说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。因此，交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。 2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个： （1）两直线垂直的定义 （2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。（即证明两条直线的夹角等于90o而得到。） 例：如图，已知EFAB，3=B，1=2，求证：CDAB。 分析：这是一个与例14同样结构的图形，但证明的目标 却是两条直线垂直。证明CDAB，根据“一条直线垂直于 两条平行线中的一条，必垂直于另一条。”又由于已知条件 EFAB，只要证明EF/CD，要证EF/CD，结合图形， 只要证明2=DCB，因为1=2，只需证明DCB=1，而DCB与1是一对内错角，因而根据平行线的性质，就需证明DG/BC，要证明DG/BC根据平行线的判定方法只需证明3=B，而这正是题设给出的条件，整个推理过程经过以下几个层次： 3=B DG/BC DCB=2 （1）平行线判定 （2）平行线性质 CDAB （3）平行线判定性质 （4）垂直定义 证明：3=B（已知）， DG/BC（同位角相等，两直线平行） 1=DCB（两直线平行，内错角相等）， 1=2（已知）， DCB=2（等量代换）， DC/EF（同位角相等，两直线平行）， 有括号部分的五步也可以用以下证法： 接DC/EF（同位角相等，两直线平行）， 又EFAB（已知）， CDAB（一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。） 3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明E、O、F三点共线，通常采用EOF=180o，利用平角的定义完成三点共线证明。例：已知如图，BED=B+D。求证：AB/CD。 法（一）分析：要证明AB/CD，从题设中条件和图形 出发考虑，图形中既不存在“三线八角”，又不存在与 AB、CD同时平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线，这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行。能不能为此创造条件呢？如果我们能够在图中添置一条直线，使这条直线和AB、CD中的一条平行，那么我们就有可能证明它也平行于另一条，从而得到AB/CD。根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以这样的直线是存在的。接下来的问题是：过哪一点作这条平行线，考虑题设中的已知条件，三个角的关系围绕着E点展开的，因而选择E点作AB的平行线是较为理想的位置。 证明：过点E作EF/AB， B=1（两直线平行，内错角相等）， BED=1+2（全量等于部分之和）， 2=BED-1（等式性质）， 又BED=B+D（已知）， D=BED-B（等式性质） 2=D（等量代换） EF/CD（内错角相等，两直线平行）， EF/AB（作图）， AB/CD（平行于同一直线的两直线平行）。 说明：在光凭题设条件无法直接证得结论时，在图中添置新的线，以构成一个条件充分的图形，从而得出所求证的结论，像这样添置的线叫做辅助线，在画图时，辅助线用虚线画出。 法（二）分析：如果在E点的另一侧添置AB的平行线（如图），同样可以凭此证得结论，但是由于所取的角的位置不同，推理的依据过程也有所不同。 证明：过点E作EF/AB（如图）， B+1=180o（两直线平行，同旁内角互补）， 1+2+BED=360o（周角定义）， BED=B+D（已知）， B+D+1+2=360o（等量代换）， D+2=360o-（B+1）（等式性质） =360o-180o（等量代换） =180o EF/CD（同旁内角互补，两直线平行）， EF/AB（作图）， AB/CD（平行于同一直线的两条直线平行）。 注意：在添置辅助线EF时，只能过E点作直线EF平行于直线AB、CD中的一条，而不能同时平行于AB和CD。从另一个方面考虑这个命题，仍然是这个图形如果我们交换题设和结论部分：即已知AB/CD，能否得到BED=B+D的结论，仍然像例16法（一）那样添置AB的平行线EF，可得到B=BEF