高中必记的基础知识.doc

高考必记的数学基础知识第一专题 集合与常用逻辑用语一、集合1、集合间的基本关系关系定义记法相等集合A与B的所有元素都相同A=B子集A中任意一元素均为B中的元素真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不属于A中的元素。2、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示全集为U，集合A的补集为 U 图形表示ABABAU意义二、命题及其关系原命题逆命题否命题逆否命题若p,则q若q,则p若p,则q若q,则p互逆互逆互否互否互为 逆否四种命题的真假关系(1) 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性(2) 两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系三、充分条件与必要条件条件 结论充分必要四、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1、命题（p且q），（p或q），（非p）的真假判断。pq真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2、全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“对所有的”，“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。（2）存在量词：短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。（3）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定（4）一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语等于（=）大于（）小于（0时，一次函数在上是增函数。 当k0，则当时，此时值域为（3）若a0时，二次函数的增区间为，减区间为（5）当a0，）。（2）指数的性质：，。2、根式（1）根式的定义：式子，叫根式，这里n叫根指数，a叫做开方数。（2）根式的性质：当n为奇数时，（），当n为偶数时（）。3、分数指数幂（1）正分数指数幂的意义：（）（2）负分数指数幂的意义：（）4、形如的函数叫指数函数。5、指数函数的图象和性质a10a0时，y1当x0时，0y0,0y1当x1（四）对数函数1、对数的概念：如果，那么幂指数b叫做以a为底数N的对数，记作：，其中a叫做底数，N叫做真数。2、积、商、幂、方根的对数（M，N都是正数，a0，且）。（1）（2）（3）3、对数的换底公式及对数的恒等式。（1）（对数恒等式）（2）（3）（换底公式）（4）。4、形如的函数叫对数函数。5、对数函数的图象和性质：a10a0,y当x=1时，y=0，即过点（1，0）在R+上递增在R+上递减当x1时，y0当0x1时，y1,y0当0x0对函数的函数值的正负有如下结论，必须记住：同向大于零，异向小于零。6、指数函数与对数函数互为反函数；它们的图象关于直线y=x对称。（五）幂函数1、函数叫幂函数。2、幂函数的图象一定经过点（1，1）3、幂函数的图象一定经过第一象限；一定不经过第四象限。4、在幂函数，中，是奇函数的是，；是偶函数的是；定义域是R的是，；定义域是的是；在第一象限内是增函数的是，；是减函数的是。五、函数与方程（一）函数的零点与方程的根的关系1、函数的零点（1）一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零；即。则a叫做这个函数的零点。（2）对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。2、函数的零点就是方程的实根；即函数的图象与函数的图象交点的横坐标。（二）二分法1、对于区间a，b上连续的，且的函数，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法。2、用二分法求函数零点的近似值的步骤：（看P90例2）六、导数（一）导数的定义：（二）导数的几何意义与物理意义：导数的几何意义：函数在点的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；导数的物理意义：物体的运动方程s=s(t)在处的导数，就是物体在时刻时的瞬时速度。（三）求导数的方法：1、常用导数公式：（1）0（c为常数） （2）（）特别地： （3）； （4）（5） （6） （7） （8） 2、两个函数的四则运算的导数：（1）（2）（3） （四）导数的应用1、函数的单调性：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果，则为增函数；若，则为减函数。2、函数的极值：设函数f(x)在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数f(x)的一个极大值，记作：；如果对附近的所有的点，都有，则是函数f(x)的一个极小值，记作：。极大值与极小值统称为极值，极值与函数在端点的函数值中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。3、函数的最大值与最小值求最大值与最小值的步骤：设函数f(x)在（a，b）内可导，在a，b上连续，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：求f(x)在（a，b）内的极值；将f(x)的各极值及f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。第三专题 三角函数与解三角形一、角度制与弧度制的角：周角的称为的角。1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。角的弧度数：如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是角度与弧度的换算 设扇形的弧长为，圆心角大小为（rad），半径为r。则，扇形的面积为 。（二）、任意角（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。（2）角的分类：正角：按逆时针方向旋转所形成的角；负角：按顺时针方向旋转所形成的角；零角：若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角。（3）终边相同的角。所有与角终边相同的角（连同在内）。可构成一个集合：或（三）任意角的三角函数1、初中三角函数的定义对边邻边斜边对边斜边邻边斜边对边邻边2、常用的基础三角函数值：= = = = = = = = =1 = = = = = = = = =1 3、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么y叫做的正弦，记作x叫做的余弦，记作叫做的正切，记作各象限符号口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦（四）同角三角函数的基本关系：平方关系商数关系注意：运用一个公式要注意三用！正用，逆用，变型用。其它公式也一样！（五）诱导公式组数一二三四五六七角sincostan规律函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限口诀：半变，整不变，符号看象限！（六）三角函数的图象（最重要的是记住三角函数的图象，以图象去记忆以下结论）1、正弦函数的定义域是R；值域是1,1；，此时；，此时；奇偶性是奇函数；最小正周期为；单调增区间是；单调减区间是。2、余弦函数的定义域是R；值域是1,1；，此时；，此时；奇偶性是偶函数；最小正周期是；单调增区间是；单调减区间是。3、正切函数的定义域是；值域是；奇偶性是奇函数；最小正周期是；单调增区间是。4、函数的最小正周期是T=；最大值是A；最小值是A；相位是；初相是。5、函数的最小正周期是T=；最大值是A；最小值是A。6、函数的图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点。7、函数的图象与x轴的交点即为图象的对称中心。8、若函数，则；。，最小正周期为。9、若函数，则；。，最小正周期为。（七）图像变换：函数的图像可由函数作如下变换得到：（1）相位变换：，把图像上所有的点向左（）或向右（）平行移动个单位。（2）周期变换：，把图像上各点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）。（3）振幅变换：，把图像上各点的纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）到原来的A倍（横坐标不变）。（八）两角和与差的正弦、余弦和正切公式。重要变型：；（九）正弦定理与余弦定理1、正弦定理：在中，（R为外接圆的半径）2、余弦定理：在中（1）（2）（3）（4）（5）（6）3、在中（1）（2）（3）4、第四专题 数列一、数列的概念与简单表示法1、数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列，一般用表示，数列中的每一个数叫做这个数列的项。2、数列的通项公式如果数列的第n项与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。3、数列的表示方法：列举法、公式法、图表法 。4、数列的分类：（1）按项数可分为： 有穷数列和无穷数列；（2）按相邻两项的大小可分为递增数列、递减数列 、摆动数列、常数列。5、数列的前n项和如果是数列的前n项和，则。数列的前n项和与之间的关系是。二、等差数列1、等差数列的定义若一个数列从 第二项 起，每一项与其前一项的差等于同一个 常数 ，则这个数列就叫等差数列。其中的常数叫等差数列的公差，它常用字母d表示。即定义的表达式为或。2、等差数列的通项公式若数列为等差数列，则。3、等差数列的前n项和若数列为等差数列，则前n项和4、等差数列的性质：（1）若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，其中A（2）已知等差数列的公差为d，且第m项为，第n项为，则（3）在等差数列中，若，则。三、等比数列1、等比数列的定义：若一个数列从第 二 项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，则此数列叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的 公比 ，用字母q表示。即定义的表达式为或。2、等比数列的通项公式：等比数列的通项公式。3、等比数列的前n项和：若等比数列的前n项和为，公比为q，当q=1时，当时，。4、等比数列的性质：（1）若三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的 等比中项 ，且。（2）已知等比数列的公差为q，且第m项为，第n项为，则（3）在等比数列中，若，则。四、数列的求和及由数列递推公式求通项公式1、数列求和的方法有公式法； 裂项相消法 ；分组（并项）求和法；错位相减法 ；倒序相加法等。2、由数列递推公式求通项公式一般有累加、累乘等方法。第五专题 平面向量一、平面向量的的概念及其线性运算1、向量的有关概念：（1）既有大小又有方向的量叫做向量，一般用，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如。向量的大小，即向量的模（长度），记作。（2）长度为0的向量叫做零向量，记作；零向量与任一向量平行；长度为1的向量叫做单位向量。（3）方向相同或相反的非零向量叫做平行（共线）向量。（4）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。2、向量的加法与减法（1）向量的加法：设，则向量叫做与的和，记作，即。向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”两种。ABCAA加法的三角形法则加法的平行四边形法则AAOABC特点：首尾相接特点：起点相同（2）向量的减法与向量长度相等，方向相反的量，叫做的相反向量，记作，向量与向量的相反向量的和，叫做向量和的差，记作。AA减法的三角形法则OAB特点：起点相同，两向量的终点相连，指向被减向量的终点。3、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反。结论：若与是两个非零向量，则它们共线的充要条件是有且只有一个实数，使。4、平面向量基本定理：若，是同一平面内的两个不共线向量，则对此平面内的任一向量，则对此平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使；其中，是一组基底。二、平面向量的坐标的表示1、平面向量的坐标：向量可以用如图以原点为起点的向量的终点A的坐标来表示。记作AOA( x，y）xy2、平面向量的坐标运算：（1）若，则：，（2）若，则（3）重要结论：三、平面向量的数量积1、两个向量的夹角设有两个非零向量、，则它们的夹角的范围是。2、平面向量数量积的定义：设有两个非零向量、，则叫做向量与的数量积；规定。3、平面向量数量积的坐标表示：若，则4、与平面向量的数量积有关的结论：（1）（2）。（3）若，则。（4）（5）若，；。第六专题 平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角：定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角。结论：直线与x轴平行或重合时倾斜角为倾斜角的范围是。2、直线的斜率：倾斜角不是的直线，其倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，常用k表示，即注：倾斜角为的直线，斜率k不存在!公式：若直线l经过两点，则l的斜率二、直线方程1、直线方程：点斜式：已知条件：为直线上一定点，k为斜率 方程形式： 适用范围：与x轴不垂直的直线斜截式：已知条件：k为斜率，b是直线在y轴上的截距 方程形式： 适用范围：与x轴不垂直的直线两点式：已知条件：，是直线上两定点 方程形式：（，且） 适用范围：与x轴，y轴都不垂直的直线截距式：已知条件：在x轴、y轴上的截距分别为a,b（） 方程形式： 适用范围：与x轴和y轴都不垂直的且不过原点的直线一般式：已知条件：A、B、C为系数 方程形式： 适用范围：所有的直线2、线段的中点坐标公式：设，则线段AB的中点M的坐标为。三、两条直线的位置关系及距离公式1、两直线的位置关系：平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况。对于两条直线，。 对于两条直线，2、两条直线的交点：两条直线，如果两条直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的解；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是和的交点，因此，和是否有交点，就看和构成的方程组是否有唯一解。3、有关距离：（1）两点间的距离：条件：、是平面上的点：公式：特殊情况：条件：O（0，0）是原点，是平面上的任一点公式：x轴上的两点间的距离和与x轴平行直线上的两点间的距离公式为：y轴上的两点间的距离和与y轴平行直线上的两点间的距离公式为：（2）点到直线的距离：点到直线的距离。（3）两平行直线的距离：若、是平行线，求、距离的方法：求一条直线上一点到另一条直线的距离。四、圆的方程（一）圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆；其中定点是圆心；定长是半径。（二）圆的方程：1、圆的标准方程：圆的标准方程为；其中圆心为（a，b），半径为r。特殊情况：圆心为原点，圆的标准方程为：2、圆的一般方程：圆的一般方程为（）；半径为已知二元二次方程。若方程表示圆，则须满足，此时圆心为；半径为；若方程表示一个点，则要满足若方程表示的图形不存在，则要满足三、点与圆的位置关系：（1）当时，则点P在圆外；（2）当时，则点P在圆上；（3）当时，则点P在圆内。五、直