高中数列应用题专题训练精选集.doc

高中数列应用题专题训练精选集一解答题（共16小题）1（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%预计以后每年年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元（）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；（）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）2（2010湖北）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房（）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）3（2007上海）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？4（2005上海）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？5（2005湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c（）求xn+1与xn的关系式；（）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设a=2，b=1，为保证对任意x1（0，2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论6（2004上海）某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：（1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？7（2004福建）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？8（2013江门二模）环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计20年后该地将无洁净的水可用当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除已知旧城区的住房总面积为64am2，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积am2，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加am2设第n（n1，且nN）年新城区的住房总面积为anm2，该地的住房总面积为bnm2（1）求an的通项公式；（2）若每年拆除4am2，比较an+1与bn的大小9（2012宁德模拟）我国政府积极应对气体变化，提出“到2020年碳排放强度要比2005年下降40%”的减排目标已知2005年我国碳排放强度约为3吨/万元，以后每年的碳排放强度均比上一年减少0.08吨/万元（1）问能否在2020年实现减排目标？说明理由；（2）若2005年我国国内生产总值为a万元，且以后每年均以8%的速度递增，问从哪一年起二氧化碳排放量开始减少？（注释：“碳排放强度”是指每万元国内生产总值的二氧化碳排放量）10（2012蓝山县模拟）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn+1=aan，cn+1=an+b an2 （其中a、b为常数），已知a1=1万件，a2=1.5万件，a3=1.875万件（1）求a，b的值，并写出an+1与an满足的关系式；（2）试用你所学的数学知识论证销售总量an逐月递增且控制在2万件内；（3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式11（2012蓝山县模拟）某学校餐厅为了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一都提供有A、B两种菜可供学生选择（每个学生都将从二种中选一种），经调查，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A用an、bn分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数（a1、b1表示本周星期一选A菜人数），若a1=200（1）试以an表示an+1；（2）证明：an的通项公式是；（3）试问从第几个星期一开始，选A人数超过选B的人数？12（2012江门一模）某学校每星期一供应1000名学生A、B两种菜调查表明，凡在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜设第n个星期一选A、B两种菜分别有an、bn名学生（1）若a1=500，求a2、a3；（2）求an，并说明随着时间推移，选A种菜的学生将稳定在600名附近13（2012怀化二模）2010年，中国浙江吉利控股集团有限公司以18亿美元收购沃尔沃汽车公司，并计划投资20亿美元来发展该品牌据专家预测，从2010年起，沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆（2010年的销售量为20000辆），销售利润按照每年每辆比上一年减少10%（2010年销售利润为2万美元/辆）计算求（1）第n年的销售利润为多少？（2）到2014年年底，中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车实现盈利？（即销售利润超过总投资，0.950.59）14（2011上海模拟）为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过108时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%天数t1234567癌细胞个数N1248163264（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？（精确到1天）（2）若在第10天，第20天，第30天，给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由15（2011普陀区三模）为了缓解城市道路拥堵的局面，某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的：“（中心城区占道停车场）收费标准为每小时10元，并实行累进加价制度，占道停放1小时后，每小时按加价50%收费”方案公布后，这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议（可查询2010年12月14日的相关国内新闻）请你用所学的数学知识说明争议的原因，并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车14小时测算：根据不同的解释，收费各应为多少元？16（2011江苏模拟）某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险（简称“医保”）政策，制定了如下实施方案：2009年底通过农民个人投保和政府财政投入，共集资1000万元作为全县农村医保基金，从2010年起，每年报销农民的医保费都为上一年底医保基金余额的10%，并且每年底县财政再向医保基金注资m万元（m为正常数）（）以2009年为第一年，求第n年底该县农村医保基金有多少万元？（）根据该县农村人口数量和财政状况，县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加，同时不超过1500万元，求每年新增医保基金m（单位：万元）应控制在什么范围内高中数列应用题专题训练精选集参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%预计以后每年年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元（）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；（）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）考点：数列的应用；根据实际问题选择函数类型1704323专题：计算题；综合题分析：（）由题意可求得a1=2000（1+50%）d，a2=a1（1+50%）d=，从而归纳出an+1=and（）由（）得an=an1d=（an2d）d=a1d1+，利用等比数列的求和公式可求得an=（30003d）+2d，再结合题意am=4000，即可确定企业每年上缴资金d的值解答：解：（）由题意得：a1=2000（1+50%）d=3000d，a2=a1（1+50%）d=a1d=4500d，an+1=an（1+50%）d=and（）由（）得an=an1d=（an2d）d=an2dd=a1d1+整理得：an=（3000d）2d1=（30003d）+2d由题意，am=4000，即（30003d）+2d=4000解得d=，故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m（m3）年企业的剩余资金为4000万元点评：本题考查数列的应用，着重考查归纳思想的运用，求得an+1=and是关键，递推关系的综合应用是难点，突出转化与运算能力的考查，属于难题2（2010湖北）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房（）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）考点：数列的应用1704323专题：应用题分析：（1）由题意要知第1年末的住房面积，第2年末的住房面积（）第5年末的住房面积=，依题意可知，1.6a6b=1.3a，由此解得每年拆除的旧房面积为解答：解：（1）第1年末的住房面积，第2年末的住房面积，（）第3年末的住房面积=，第4年末的住房面积，第5年末的住房面积a（）5b=依题意可知，1.6a6b=1.3a，解得，所以每年拆除的旧房面积为点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件3（2007上海）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？考点：数列的应用；函数模型的选择与应用1704323专题：应用题分析：（1）先把每年的年生产量的增长率求出来，再代入2006年全球太阳电池的年生产量的计算公式即可（2）分别求出2010年时对应的年安装量与年生产量，再解关于年安装量不少于年生产量的95%的不等式即可求出年安装量的平均增长率解答：解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为36%，38%，40%，42%则2006年全球太阳电池的年生产量为6701.361.381.401.422499.8（兆瓦）（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则解得x0.615因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%点评：本题考查数列在实际生活中的应用问题对于这一类型题，关键点是分清是等差数列还是等比数列4（2005上海）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？考点：数列的应用1704323专题：计算题；应用题分析：（1）设中低价房面积形成数列an，由题意可知an是等差数列，求得首项和公差，利用等差数列的求和公式求得Sn，进而根据Sn4750，求得n的最小值（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，根据题意可求得数列的首项和公比，则数列的通项公式可得，进而an0.85bn，求得n的最小正整数解答：解：（1）设中低价房面积形成数列an，由题意可知an是等差数列，其中a1=250，d=50，则Sn=250n+=25n2+225n，令25n2+225n4750，即n2+9n1900，而n是正整数，n10，到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400（1.08）n1，由题意可知an0.85bn，有250+（n1）50400（1.08）n10.85，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%点评：本题主要考查了数列的应用解题的关键是利用题设条件判断出数列的类型，根据等差或等比数列的性质来解决5（2005湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c（）求xn+1与xn的关系式；（）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设a=2，b=1，为保证对任意x1（0，2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论考点：数列的应用1704323专题：综合题；压轴题；转化思想分析：（）利用题中的关系求出鱼群的繁殖量，被捕捞量和死亡量就可得到xn+1与xn的关系式；（）每年年初鱼群的总量保持不变就是xn恒等于x1，转化为xn+1xn=0恒成立，再利用（）的结论，就可找到x1，a，b，c所满足的条件；（）先利用（）的结论找到关于xn和b的不等式，再利用x1（0，2），求出b的取值范围以及b的最大允许值，最后在用数学归纳法进行证明即可解答：解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn2，因此xn+1xn=axnbxncxn2，nN*（*）即xn+1=xn（ab+1cxn），nN*（*）（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，nN*，从而由（*）式得xn（abcxn）恒等于0，nN*，所以abx1=0即x1=因为x10，所以ab猜测：当且仅当ab，且x1=每年年初鱼群的总量保持不变（）若b的值使得xn0，nN*由xn+1=xn（3bxn），nN*，知0xn3b，nN*，特别地，有0x13b即0b3x1而x1（0，2），所以b（0，1由此猜测b的最大允许值是1下证当x1（0，2），b=1时，都有xn（0，2），nN*当n=1时，结论显然成立假设当n=k时结论成立，即xk（0，2），则当n=k+1时，xk+1=xk（2xk）0又因为xk+1=xk（2xk）=（xk1）2+112，所以xk+1（0，2），故当n=k+1时结论也成立由、可知，对于任意的nN*，都有xn（0，2）综上所述，为保证对任意x1（0，2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1点评：本题是对数列、函数、数学归纳法等知识的综合考查，在作数列方面的应用题时，一定要认真真审题，仔细解答，避免错误6（2004上海）某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：（1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？考点：数列的应用；等比数列的前n项和1704323专题：应用题分析：（1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a1=128，q=1.5，由此可知答案；（2）记Sn=a1+a2+an，依据题意，得于是（辆），解可得答案解答：解：（1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a1=128，q=1.5，则在2010年应该投入的电力型公交车为a7=a1q6=1281.56=1458（辆）（2）记Sn=a1+a2+an，依据题意，得于是（辆），即，则有n7.5，因此n8所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答7（2004福建）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？考点：数列的应用1704323专题：应用题分析：（）依题设，An=（50020）+（50040）+（50020n），Bn=500（1+）+（1+）+（1+）600由此能够导出An、Bn的表达式（）由题意知BnAn=（500n100）（490n10n2）=10n2+10n100=10n（n+1）10再由函数的单调性可知至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润解答：解：（）依题设，An=（50020）+（50040）+（50020n）=490n10n2；Bn=500（1+）+（1+）+（1+）600=500n100（）BnAn=（500n100）（490n10n2）=10n2+10n100=10n（n+1）10因为函数y=x（x+1）10在（，+）上为增函数，当1n3时，n（n+1）1012100；当n4时，n（n+1）1020100仅当n4时，BnAn答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润点评：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力8（2013江门二模）环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计20年后该地将无洁净的水可用当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除已知旧城区的住房总面积为64am2，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积am2，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加am2设第n（n1，且nN）年新城区的住房总面积为anm2，该地的住房总面积为bnm2（1）求an的通项公式；（2）若每年拆除4am2，比较an+1与bn的大小考点：数列的应用1704323专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）分1n4时和n5时两种情况加以讨论并结合等差、等比数列的通项公式，分别求出第n年新城区的住房建设面积为n关于n、a的表达式，再利用等差、等比数列的求和公式即可求出an的通项公式关于n的分段形式的表达式；（2）根据1n3、n=4 和5n11时an+1和bn的表达式，结合作差法比较不等式大小，可得an+1bn；而当 n12时可得an+1bn=（5n59）a0，从而得到an+1bn，最后加以综合即可得到an+1与bn的大小的两种情况解答：解：（1）设第n年新城区的住房建设面积为nm2，则当1n4时，n=2n1a；（1分）当n5时，n=（n+4）a所以，当1n4时，an=（2n1）a当n5时，an=a+2a+4a+8a+9a+n（n+4）a=aan=（2）当1n3时，an+1=（2n+11）a，bn=（2n1）a+64a4na，显然有an+1bn当n=4 时，an+1=a5=24a，bn=b4=63a，此时an+1bn当5n16时，an+1=，bn=an+1bn=（5n59）a当5n11时，an+1bn；当12n16时，an+1bn当n17时，显然an+1bn故当1n11时，an+1bn；当 n12时，an+1bn点评：本题给出数列的实际应用题，求an的通项公式并比较an+1和bn的大小着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式，以及不等式比较大小等知识，属于中档题9（2012宁德模拟）我国政府积极应对气体变化，提出“到2020年碳排放强度要比2005年下降40%”的减排目标已知2005年我国碳排放强度约为3吨/万元，以后每年的碳排放强度均比上一年减少0.08吨/万元（1）问能否在2020年实现减排目标？说明理由；（2）若2005年我国国内生产总值为a万元，且以后每年均以8%的速度递增，问从哪一年起二氧化碳排放量开始减少？（注释：“碳排放强度”是指每万元国内生产总值的二氧化碳排放量）考点：数列的应用1704323专题：综合题分析：（1）由题意得，2005年起每年的碳排放强度构成等差数列an，且a1=3，d=0.08，求出数列的通项，可得2020年碳排放强度，即可求得结论；（2）求出第n年国内生产总值，可得第n年全国二氧化碳排放总量为bn=a1.08n1（3.080.08n），利用bn+1bn0，即可求得结论解答：解：（1）由题意得，2005年起每年的碳排放强度构成等差数列an，且a1=3，d=0.08an=3+（n1）（0.08）=3.080.08n2020年碳排放强度为a15=3.080.0815=1.83（140%）=1.82020年能实现减排目标；（2）从2005年起，逐年国内生产总值构成首项为a，公比为1.08的等比数列，所以第n年国内生产总值为a1.08n1万元由（1）知，第n年碳排放强度为an=3.080.08n故第n年全国二氧化碳排放总量为bn=a1.08n1（3.080.08n）bn+1bn=a1.08n1（0.160.0064n）由bn+1bn0，解得n25故从2030年起二氧化碳排放量开始减少点评：本题考查数列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定数列模型，属于中档题10（2012蓝山县模拟）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn+1=aan，cn+1=an+b an2 （其中a、b为常数），已知a1=1万件，a2=1.5万件，a3=1.875万件（1）求a，b的值，并写出an+1与an满足的关系式；（2）试用你所学的数学知识论证销售总量an逐月递增且控制在2万件内；（3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式考点：数列的应用1704323专题：综合题分析：（1）依题意：an+1=bn+1+cn+1=aan+an+ban2，将n取1，2，构建方程组，即可求得a，b的值，从而可得an+1与an满足的关系式；（2）证法（）先证明an+1=2anan2=（an2）2+22，于是an2，再用作差法证明an+1an，从而可得结论；方法（）用数学归纳法证明，关键是假设n=k时，akak+12成立，利用函数f （x）=x2+2x=（x2）2+2在0，2上为增函数，可证得ak+1ak+22成立；（3）由an+1=2anan2，可得lg （2an+1）lg2为等比数列，公比为2，首项为lg 2，从而可得结论解答：解：（1）依题意：an+1=bn+1+cn+1=aan+an+ban2，a2=aa1+a1+ba12，a+1+b=又a3=aa2+a2+ba22，a+b（ ）2=解得a=1，b= 从而an+1=2anan2（nN*）（4分）（2）证法（）由于an+1=2anan2=（an2）2+22但an+12，否则可推得a 1=a 2=2与a 1=1，a2=1.5矛盾故an+12 于是an2又an+1an=an2+2anan=an （an2）0，所以an+1an 从而anan+12 （9分）证法（）由数学归纳法（i）当n=1时，a1=1，a2=1.5，显然a1a22成立（ii）假设n=k时，akak+12成立由于函数f （x）=x2+2x=（x2）2+2在0，2上为增函数，则f （ak）f （ak+1）f （2）即ak （4ak）ak+1（4ak+1）2（42）即 ak+1ak+22成立 综上可得nN*有anan+12 （9分）（3）由an+1=2anan2得2 （an+12）=（an2）2即（2an+1）=（2an）2又由（2）anan+12，可知2an+10，2an0则lg （2an+1）=2lg （2an）lg 2lg （2an+1）lg2=2lg （2an）lg2即lg （2an+1）lg2为等比数列，公比为2，首项为lg （2a1）lg 2=lg 2故lg （2an）lg 2=（lg 2）2n1an=22（nN*）为所求 （13分）点评：本题考查数列的关系式，数学归纳法的应用，数列的函数特征，函数的单调性的应用，数列通项公式的求法，考查转化思想，逻辑推理能力11（2012蓝山县模拟）某学校餐厅为了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一都提供有A、B两种菜可供学生选择（每个学生都将从二种中选一种），经调查，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A用an、bn分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数（a1、b1表示本周星期一选A菜人数），若a1=200（1）试以an表示an+1；（2）证明：an的通项公式是；（3）试问从第几个星期一开始，选A人数超过选B的人数？考点：数列的应用1704323专题：应用题；等差数列与等比数列分析：（1）根据在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，结合an+bn=1000，即可以an表示an+1；（2）确定an600可以看成是首项为400，公比为的等比数列，即可证得结论；（3）由an+bn=1000，anbn得an500，结合（2）的结论，即可求出结论解答：（1）解：由题可知，在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，an+1=an（10.2）+0.3bn，又an+bn=1000，所以整理得：（4分）（2）证明：a1=200，且即an600可以看成是首项为400，公比为的等比数列（9分）（3）解：由an+bn=1000，anbn得an500又，即 n3答：从第4个星期一开始，选A人数超过选B人数（13分）点评：本题考查数列的应用，考查求数列的通项，解题的关键是确定数列递推式，从而确定数列的通项12（2012江门一模）某学校每星期一供应1000名学生A、B两种菜调查表明，凡在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜设第n个星期一选A、B两种菜分别有an、bn名学生（1）若a1=500，求a2、a3；（2）求an，并说明随着时间推移，选A种菜的学生将稳定在600名附近考点：数列的应用1704323专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据“凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A”直接建立等式关系；（2）根据题意可得an=an1（120%）+bn130%，可转换成an600是以a1600为首项，为公比的等比数列，可求出an，根据数列的解析式可求推出选A种菜的学生将稳定在600名附近解答：解：（1）a2=500（120%）+（1000500）30%=550（2分），a3=550（120%）+（1000550）30%=575（4分）（2）nN+，n1，an=an1（120%）+bn130%（5分）；=an1（120%）+（1000an1）30%（7分）所以an600=（an1600）（9分），an600是以a1600为首项，为公比的等比数列（10分），an600=（a1600）（11分），即an=600+（a1600）（12分），随着时间推移，即n越来越大时，趋于0（13分），所以（a1600）趋于0，an趋于600并稳定在600附近（14分）点评：本题主要考查了数列知识在生产实际中的应用，解题时要认真审题，理清题设中的数量关系，合理地运用数列知识进行求解，属于中档题13（2012怀化二模）2010年，中国浙江吉利控股集团有限公司以18亿美元收购沃尔沃汽车公司，并计划投资20亿美元来发展该品牌据专家预测，从2010年起，沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆（2010年的销售量为20000辆），销售利润按照每年每辆比上一年减少10%（2010年销售利润为2万美元/辆）计算求（1）第n年的销售利润为多少？（2）到2014年年底，中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车实现盈利？（即销售利润超过总投资，0.950.59）考点：数列的应用1704323专题：应用题分析：（1）根据沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆，可知汽车的销售量构成了首项为20000，公差为10000的等差数列；沃尔沃汽车销售利润按照每年比上一年减少10%，可知每辆汽车的销售利润构成了首项为2，公比为110%的等比数列，故可求第n年的销售利润；（2）求出中国浙江吉利控股集团有限公司利润总和，与总投资比较，即可得出结论解答：解：（1）沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆，因此汽车的销售量构成了首项为20000，公差为10000的等差数列，an=10000+10000n沃尔沃汽车销售利润按照每年比上一年减少10%，因此每辆汽车的销售利润构成了首项为2，公比为110%的等比数列，bn=20.9n1第n年的销售利润为cn=anbn=（10000+10000n）（20.9n1）（2）记到2014年年底，中国浙江吉利控股集团有限公司利润总和为S万美元，则S=200002+3000020.9+4000020.92+5000020.93+6000020.94=31.2亿美元即到2014年底，盈利总额为31.2亿美元，而投资38亿美元，故不能实现盈利点评：本题考查数列模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的构建是确定数列模型14（2011上海模拟）为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过108时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%天数t1234567癌细胞个数N1248163264（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？（精确到1天）（2）若在第10天，第20天，第30天，给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由考点：数列的应用1704323专题：综合题分析：（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为at=2t1，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式2t1108，即可求得结论；（2）设第n次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为an，可得an=210n1（198%）n，从而可知第3次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数，由此可得结论解答：解：（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为at=2t1，要使小白鼠在实验中不死亡，则2t1108，即t18log210，解得t27.58，第一次最迟应在27天注射该种药物，小白鼠