等比数列详细教案.doc

课 题等比数列学习内容与过程复习引入： 1等差数列的定义： =d ，（n2，nN）2等差数列的两个通项公式： (或=pn+q (p、q是常数) 3几种计算公差d的方法：d=4等差中项：成等差数列5数列的前n项和：，知识点1，2，4，8，16，263; 5，25，125，625，； 1，； 对于数列，= ; =2（n2） 对于数列，= ; =5（n2）对于数列，=；（n2）共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数 1等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）成等比数列=q（,q0 1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q，q0)2 隐含：任一项3 q= 1时，an为常数 例1 下面四个数列：（1）1，1,2,4,8,16,32,64；（2）在数列中，=2,=2；（3）常数列a,a,a,.；（4）在数列中，=q；其中是等比数列的有 答案：（4） 2.等比数列的通项公式 由等比数列的定义，有：； （1）已知等比数列的首项和公比就可以得出任何一项； （2）通项公式的推广式，则已知等比数列的任意两项就可以求出其他的任意一项 推广：求公比q的方法 （3）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 （4）等比定理：q=.= （5）等比数列基本量的求法：和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出。；q= （6）等比数列与指数函数：，即,与指数函数类似，可借助指数函数的图像和性质来研究 例2 求下列各等比数列的通项公式： （1）=-2, =-8 解：， （2）=5, 且2=-3 解： （3），求n （答案;n=6）变式1：求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，15，45，；（2）1.2，2.4，4.8，；（3），.解：（1）q=3, =5 =5（3）=5（3）=135，=5（3）=405.（2）q=2, =1.2 =1.22=1.22=9.6, =1.22=19.2（3）q= =（）=（）=, =（）=（4）q=1,= =（）=. 变式2：一个等比数列的第9项是，公比是，求它的第1项.解：由题意得=,q=q8,=（）,=29163.等比数列的性质 （1）单调性：当q1, 0或0q1, 1, 0,或0q0时, 是递减数列;当q=1时, 是常数列;当q0时, 是摆动数列; （2）等比中项：如果在与中间插入一个数G，使，G，成等比数列，那么G应满足：由定义得，即：；反之，若，则。由此可得：（ab）成等比数列注意：由上述公式也可看出异号的两个数没有等比中项，只有同号的才有 （3）在等比数列中，若m+n=p+q (m, n, p, q N ) ，则，特别地，若m+n=2p，则推广： 例3 已知为等比数列，若，求 （答案：=或） 变式1：等比数列的前三项的和为168，求的等比中项（答案：） 变式2：已知为等比数列，若，且，求的值（答案：6） （4）若数列为等比数列，则数列（其中为常数）也为等比数列，其公比是q 若数列为等比数列，为公比是t的等比数列，则也是等比数列，其公比为 若数列为等比数列，也是等比数列，其公比为 （5）若数列为等比数列，则下标成等差数列且公差为m的项组成了公比为的等比数列 推广：m，n，p（都为正整数）成等差数列，则成等比数列 （6）若数列为等比数列，连续相邻k项的和（或积）构成公比为的等比数列，例如，,，.；，,，. （7）若数列为各项都是正数的等比数列，数列是公差为的等差数列4.判断一个数列为等比数列的方法 （1）定义法：=q (常数，n2，nN）为等比数列 （2）等比中项法，也称递推法：（n2，nN，）为等比数列 （3）通项法：为n的指数型函数，即为等比数列 注意：证明一个数列为等比数列只能通过定义法与等比中项法 例4：已知无穷数列求证：（1）这个数列是等比数列；（2）这个数列中的任一项是其后第5项的 变式1：数列的前n项和记为，已知；证明：（1）是等比数列；（2） 变式2：数列的前n项和记为，且，；求数列的通项公式5.等比数列的设项方法 （1）通项法：设数列的通项公式，即设=) （2）对称设：主要针对有限项。若所给等比数列为2n项，则可设为：，此数列的公比为； 若所给等比数列为2n+1项，则可设为：，此数列的公差为q； （3）等差、等比数列综合运算问题。 例5：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数（答案：3,6,12,18或） 变式：有四个正数，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8000，,求这四个数6.等比数列应用题 例6：有纯酒精，从中取出1L，再用水加满，然后再取出1L，再用水加满，如此反复进行，问第九次和第十次共取出多少L纯酒精？7.等比数列与等差数列的比较等差数列等比数列定义差商项项没有限制项必须非零联系（1）正项等比数列为等差数列（2）为等差为等比数列 例7：已知是各项都为正数的等比数列，数列满足，问是否存在正数k，使得成等差数列？若存在求出k；不存在说明理由 变式1：已知；（1）若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，求证x，y，z成等比数列；（2）若x，y，z依次成等比数列，求证a，b，c成等差数列 变式2：已知中，是其前n项和，且; （1）设，求数列的通项公式 （2）在（1）的条件下，设，求数列的通项公式 （3）在（2）的条件下，求数列的通项公式及课堂检测 1.已知等比数列的公比，则等于（ ） A. B.-3 C. D.3 2.已知是等差数列，公差，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 3.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（ ） A. B. C. D. 4.等比数列中，数列是等差数列，且，则=（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 5.等比数列中，的值为（ ） A.48 B.72 C.144 D.192 6.等比数列的各项都是正数，等差数列满足，则有（ ） A. B. C. D.的大小不确定 7.各项均为正数的等比数列中，若，则的值为 8.等比数列中，已知，则= 9.等比数列中，则此数列的公比为 10.各项均为正数的等比数列中，公比q满足，则 11.某工厂生产一种产品，原计划今年第一季度的产量逐月增加相同饿件数，但实