高中数学经典解题技巧和方法：三角函数的图象与性质.doc

世纪金榜 圆您梦想 高中数学经典解题技巧：三角函数的图象与性质【编者按】三角函数是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下三角函数的图象与性质的经典解题技巧。首先，解答三角函数这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1理解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。2理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。3能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，了解三角函数的周期性。4理解正弦函数、余弦函数在区间0，的性质（如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间的单调性。5理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.6了解函数y=Asin(x+)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响。7了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。好了，搞清楚三角函数的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。一、三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用考情聚焦：1三角函数的定义、同角三角函数的关系及诱导公式的简单应用，在近几年高考中时常出现。2该类问题出题背景选择面广，易形成知识交汇题。3多以选择题、填空题的形式出现，属于中、低档题。解题技巧：1三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值。2同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件。例1：（2010届日照五莲一中高三段检）如图，以Ox为始边作角与（） ，它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（，） （1）求的值； （2）若，求。解：（1）由三角函数定义得，原式 （）= （2）， 二、函数y=Asin(x+)的解析式、图象问题考情聚焦：1三角函数y=Asin(x+)的图象与解析式的问题，年看都会在高考中出现。2试题背景大多是给出图象或解析式中某些量满足的一些条件下，求解析式或另处一些量。多数考查周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换。3三种题型都有可能出现，属于中、低档题。解题技巧：1 已知图象求函数y=Asin(x+)（A0，0）的解析式时，常用的方法是待定系数法。由图中的最大、最小值求出A，由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定的值。2 将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点。“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为，其他依次类推即可。例2：已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )【解析】选D.对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了三、与三角函数的性质有关的问题考情聚焦：1有关三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值问题在历年高考中都会考查，是高考考查的重点内容。2试题背景呈现多样性、选择面广，往往与三角恒等变换、图象性质、平面向量等交汇命题。3三种题型都有可能出现，属中、低档题。例3：已知函数求的最小正周期及对称中心；若，求的最大值和最小值.【解析】 的最小正周期为， 令，则，的对称中心为； 当时，的最小值为；当时，的最大值为 例4（2010陕西高考理科3）对于函数，下列选项中正确的是（ ） （A）在（，）上是递增的 （B）的图像关于原点对称 （C）的最小正周期为2 （D）的最大值为2【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本性质，属保分题。【思路点拨】是奇函数 B【规范解答】选B 因为，所以是奇函数，因而的图像关于原点对称，故选B例5（2010全国卷理科2）记,那么A. B. - C. D. -【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，着重考查了三角变换中的弦切互化.【思路点拨】由及求出，再利用公式求出的值.【规范解答】选B.【解析1】,所以【解析2】，.例6（2010重庆高考文科5）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等。设第i段弧所对的圆心角为（i=1,2,3），则 【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识，考查三角函数的基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想.【思路点拨】第i段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角，再根据三个圆心确定的正三角形求解.【规范解答】 作三段圆弧的连心线，连结一段弧的两个端点，如图所示,是正三角形，点P是其中心，根据圆的有关性质可知，第i段弧所对的圆心角为都是，所以【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快捷解答.例7（2010福建高考文科0）将函数的图像向左平移个单位。若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（ ） A.4 B.6 C.8 D.12【命题立意】本题考查三角函数的图像平移，解三角方程。 【思路点拨】先进行平移后，再比较与原函数的差异，解三角方程，或采用代入法求解。【规范解答】选B，把向左平移个单位得，又该函数图像与原函数图像重合，所以恒成立，所以k不可能为6。 【方法技巧】注意应把变为而非。图像的变换问题，依据三角函数的图像的变换口诀“左加右减，上加下减”即可解决。一般地，函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动个单位长度而得到。例8（2010广东高考文科16）设函数，且以为最小正周期（1）求；（2）求的解析式；（3）已知，求的值【命题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换.【思路点拨】（2）由已知条件求出，从而求出的解析式；（3）由【规范解答】（1） （2） ， ，所以的解析式为：（3）由 得 ，即 ， 【方法技巧】三角函数的性质问题，往往都要先化成的形式再求解.例9（2010湖北高考文科16）已经函数()函数的图象可由函数的图象经过怎样的变化得出？（）求函数的最小值，并求使取得最小值的的集合。【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值，同时考查考生的运算求解能力【思路点拨】() 先将函数解析式等价变形为的形式，再与的表达式对照，比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程。（）将函数变形为或的形式再利用正、余弦函数的图象和性质求出最值。【规范解答】()，所以要得到的图象只需把的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可。（），当且仅当时取得最小值，此时对应的的集合为。 【方法技巧】1、三角函数中的图象变换问题一般要先将表达式化简到或的形式（两函数所