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关于探索性命题的若干问题西安市庆华中学 张宏新一、概述一个数学问题系统中，通常包括四个部分，即：已知条件（应用题表现为背景资料）、解题依据、解题方法和结论。如果四部分齐备，称之为封闭性问题，若四部分不齐备，称之为开放性问题。探索性命题是开放性问题中的一种，它通常缺少四部分中的两部分。这样的问题既能达到考查学生能力的目的，又不至于让学生因过于开放而无从下手，它的解题思路若隐若现，解题方法若有若无，它需要通过对问题的观察、分析、尝试、判断、归纳、总结等过程体现学生的思维能力、分析问题解决问题的能力，是一种深受广大教育工作者和命题者欢迎的题型，已经成为并将继续是高考中的热点问题。二、探索性命题的分类 1、条件追溯型，这种题目中常用“当满足什么条件时，能得到相应的结论”的语句，需在解题时，假想有了相应的结论，然后执果索因，寻找能使该结论成立的条件。例1 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60，（1）求证：C C1BD；（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为a，面CBD为b，求二面角aBDb的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD，请给出证明。（2000年高考题）本题的第（3）问是探索性命题，？正是我们需要追溯的条件。2、结论探索型，这种题型往往没有给出结论，而要求解题者根据已有的信息去“猜想、推理、探求”出相应的结论。这种题型多出现在早期的探索性命题数学归纳法解决的问题中。ABDC例2 已知数列a中，Sn=1nan，(nN).（1）求出a1,a2,a3,a4，并猜想an的表达式；（2）请证明你的猜想。3、存在判断型，这类题型探索性命题中的最主要成员，题目中大多直接寻问“是否存在”，并要求“若存在，给出证明，若不存在，请说明理由”。例3 如图，三棱锥ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且AB=BC=1，是否存在满足上述条件的三棱锥ABCD，使二面角CADB的平面角为30？如果存在，求出线段CD的长，如果不存在，请找出合适的角度，使得存在这样的三棱锥，其二面角CADB的平面角大小为。4、寻找依据型，有一类题分不清条件与结论，而要解题者寻找能由哪些结论得到哪些结论？例4 设相交直线l1,l2确定的平面为a，l与l1,l2均是异面直线，给出四个论断： l1与l成60角；l2与l成60角，l是l在a上的射影；l1与l2所成的角的平分线是l，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。5、方法探究型，这样的题目，往往是为了达到某个目的，请解题者设计一个合理方案，以达到最省钱、最省料、最合理等要求。例5 某工厂有一容量为300吨的水塔，每天早上6时起到晚上10时止，供应该厂的生产和生活用水，已知该厂的生活用水为每小时10吨，工业用水的用水量W（吨）与时间t(小时)满足关系式W=100，且规定早上6时t=0，水塔的进水量分为10级，第1级每小时进水10吨，以后每提高1级，每小时进水量就增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在开始供水时同时找开进不管，问进水量选择第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不定），又不会使水溢出。三、解决探索性命题的常用方法1、直觉判断法例6 a是常数，函数f(x)对于任意实数x都有f(x+a)=判断f(x)是否为周期函数。分析：凭直觉f(x)是周期函数，而且与常数a有关系，可能是a的倍数，f(x+2a)=f(x+a)+a=（显然）f(x)是周期函数。AA1OHDCBB1D1C1当然直觉判断必须准确，如果结论是不存在却判断成存在，那将背道而驰，南辕北辙。2、认可求证法例如上面的例1的第三问，可以先假设A1C面C1BD，然后再去探求？设，则cos=coscos，cos=，移出四边形A1C1CA（如图），设=1，CD=x，则CAC1A1OECO=，由余弦定理得：，CEOA1EC1，在直角三角形CEO中，+=，x=1， 本题原解法是直接猜想，再加以证明，但大多数同学无法直接猜测出这一结果，这里给出了一个完整的探索过程，才更加符合学生的认知规律和思维方式。3、预设探求法例如上面的例5，先假设应该使用x级注水方式，设池中t时刻的水为y，则y=100+x10t10010t，为了保证池中任何时刻不能没有水，也不能有水溢出，0y300恒成立，即t天论取多少总有0100+10xt100与100+10xt100恒成立，两对应的满足10，f(2)=4，且f(x1+x2)=f(x1)f(x2),若存在，求出f(x)的解析式，若不存在说明理由。分析：f(x1+x2)=f(x1)f(x2)就可以联想到，这就是本题涉及函数的一个模型。令x1=x2=1，f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，从而推测f(x)=2X然后再用数学归纳法证明。5、数形结合法例8、解关于x的不等式：ax y 分析：运用数形结合的思想解题，即 在同一坐标系内探索y和yax的图象的位置关系。如图：以L1 , L2, L3在y轴上的截距作为分类标准， -1 0 3 x 知: 当a1时; 1x3 L1 L2 L3 当1a3时; x3 当3a1+2时; 当a1+2时，不等式无解。探索某些具有几何意义的问题，或用纯代数方法解决非常麻烦的