高中数学选修2-3人教A教案导学案1.3.1二项式定理.pdf

1 1 3 1 二项式定理二项式定理 教学目标 教学目标 1 理解二项式定理及推导方法 识记二项展开式的有关特征 能对二项式定理进行简单应 用 2 通过对二项式定理内容的研究 体验特殊到一般的发现规律 一般到特殊指导实践的认识 事物过程 教学重难点 教学重难点 教学重点 二项式定理的内容及归纳过程 教学难点 在二项式展开的过程中 发现各项及各项系数的规律 教学过程 教学过程 一 设置情景 引入课题一 设置情景 引入课题 引入 二项式定理研究的是 a b n的展开式 如 a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a b 4 那么 a b n的展开式是什么呢 二 引导探究 发现规律二 引导探究 发现规律 1 多项式乘法的再认识 多项式乘法的再认识 问题问题 1 a1 b1 a2 b2 a3 b3 展开式中每一项是怎样构成的 展开式有几项 2 a b 3展开式的再认识展开式的再认识 问题问题 2 将上式中 若令 a1 a2 a3 a b1 b2 b3 b 则展开式又是什么 合作探究合作探究 1 合并同类项后 为什么 a2b 的系数是 3 教师引导教师引导 可以发现 a2b 是从 a b a b a b 这三个括号中的任意两个中选 a 剩下的 一个括号中选 b 利用组合知识可以得到 a2b 应该出现了 C 2 3 C 1 1 3 次 所以 a 2b 的系数是 3 问题问题 3 a b 4的展开式又是什么呢 可以对 a b 4按 a 或按 b 进行分类 1 四个括号中全都取 a 得 C 4 4 a4 2 四个括号中有 3 个取 a 剩下的 1 个取 b 得 C 3 4 a3 C 1 1b b 3 四个括号中有 2 个取 a 剩下的 2 个取 b 得 C 2 4 a2 C 2 2b b 2 4 四个括号中有 1 个取 a 剩下的 3 个取 b 得 C 1 4 a C 3 3b b 3 5 四个括号中全都取 b 得 C 4 4 b b 4 小结小结 对于展开式 只要按一个字母分类就可以了 可以按 a 分类 也可以按 b 分类 再如 1 不取 b C 0 4 a4 2 取 1 个 b C 1 4 a3b b 3 取 2 个 b C 2 4 a2b b 2 4 取 3 个 b C3 4 ab b3 5 取 4 个 b C 4 4 b b 4 然后将上面各式相加得到展开式 结论 a b 4 C 0 4 a4 C 1 4 a3b b C 2 4 a2b b 2 C3 4 ab b3 C 4 4b b 4 三 形成定理 说理证明三 形成定理 说理证明 2 问题问题 4 a b n的展开式又是什么呢 合作探究合作探究 2 1 将 a b n展开有多少项 2 每一项中 字母 a b 的指数有什么特点 3 字母 a b 指数的含义是什么 是怎么得到的 4 如何确定 a b 的系数 猜想 猜想 110 NnbCbaCbaCaCba nn n kknk n n n n n n 证明 证明 对 a b n分类 按 b 可以分 n 1 类 1 不取 b C 0 n an 2 取 1 个 b C 1 n a n 1b 3 取 2 个 b C 2 n a n 2b2 k 1 取 k 个 b C k n a n kbk n 1 取 n 个 b C n n b n 然后将这 n 1 个式子加起来 就得到二项展开式 a b n 0 n Can 1 n Can 1b k n Can kbk n n Cbn n N 这就是二项式定理二项式定理 四 熟悉定理 简单应用四 熟悉定理 简单应用 二项式定理的公式特征 由学生归纳 让学生熟悉公式 1 项数 共有 n 1 项 2 次数 字母 a 按降幂排列 次数由 n 递减到 0 字母 b 按升幂排列 次数由 0 递增到 n 3 二项式系数 下标为 n 上标由 0 递增至 n 4 通项 Tk 1 C k n a n kbk 指的是第 k 1 项 该项的二项式系数为 Ck n 5 公式所表示的定理叫二项式定理 右边的多项式叫做 a b n的二项展开式 例 1求 6 1 2 x x 的展开式 分析 为了方便 可以先化简后展开 例 2 7 21 x 的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数 求 9 1 x x 的展开式中含 3 x的系数 五 当堂检测五 当堂检测 1 写出 p q 7的展开式 3 2 求 2a 3b 6的展开式的第 3 项 3 写出 n x x 3 3 2 1 的展开式的第 r 1 项 4 x 1 10的展开式的第 6 项的系数是 A 6 10 C B 6 10 C C 5 10 C D 5 10 C 答案 1 p q 7 p7 7p6q 21p5q2 35p4q3 35p3q4 21p2q5 7pq6 q7 六 课堂小结六 课堂小结 1 公式 110 NnbCbaCbaCaCba nn n kknk n n n n n n 2 思想方法 1 从特殊到一般的思维方式 2 用计数原理分析二项式的展开过程 七 布置作业七 布置作业 课本 43 页习题 1 3 A 组 2 3 4 1 3 1 二项式定理二项式定理 课前预习学案课前预习学案 一 预习目标一 预习目标 通过分析 a b 2的展开式 归纳得出二项式定理 掌握二项式定理的公式特征并能 简单应用 二 预习内容二 预习内容 1 a b 2 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b 3 a b 4 2 二项式定理的证明过程 3 a b n 4 a b n的二项展开式中共有 项 其中各项的系数 叫做二项式系数二项式系数 式中的 叫做二项展开式的通项通项 用 Tk 1表示 即通项为展开式的第 k 1 项 5 在二项式定理中 若 a 1 b x 则有 1 x n 三 提出疑惑三 提出疑惑 同学们 通过你的自主学习 你还有哪些疑惑 请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑点疑惑内容疑惑内容 课内探究学案课内探究学案 一 学习目标一 学习目标 1 用计数原理分析 a b 3的展开式 进而探究 a b 4的展开式 从而猜想二项式定理 2 熟悉二项式定理中的公式特征 能够应用它解决简单问题 3 培养学生观察 分析 概括的能力 二 学习重难点 二 学习重难点 教学重点 二项式定理的内容及应用 教学难点 二项式定理的推导过程及内涵 三 学习过程三 学习过程 一 探究 一 探究 a b 3 a b 4的展开式 问题问题 1 a1 b1 a2 b2 a3 b3 展开式中每一项是怎样构成的 展开式有几项 问题问题 2 将上式中 若令 a1 a2 a3 a b1 b2 b3 b 则展开式又是什么 合作探究一 合作探究一 合并同类项后 为什么 a2b 的系数是 3 问题问题 3 a b 4的展开式又是什么呢 结论 a b 4 C 0 4 a4 C1 4 a3b b C 2 4 a2b b 2 C3 4 ab b3 C 4 4 b b4 二 猜想 证明 二 猜想 证明 二项式定理二项式定理 问题问题 4 a b n的展开式又是什么呢 合作探究二合作探究二 1 将 a b n展开有多少项 5 2 每一项中 字母 a b 的指数有什么特点 3 字母 a b 指数的含义是什么 是怎么得到的 4 如何确定 a b 的系数 二项式定理 二项式定理 a b n 0 n Can 1 n Can 1b k n Can kbk n n Cbn n N 三 归纳小结 三 归纳小结 二项式定理的公式特征 1 项数 2 次数 字母 a 按降幂排列 次数由 递减到 字母 b 按 升幂排列 次数由 递增到 3 二项式系数 下标为 上标由 递增至 4 通项 Tk 1 指的是第 k 1 项 该项的二项式系数为 5 公式所表示的定理叫 右边的多项式叫做 a b n的二项展开式 四 典型例题 四 典型例题 例 1求 6 1 2 x x 的展开式 分析 为了方便 可以先化简后展开 例 2 7 21 x 的展开式的第 4 项的系数系数及第 4 项的二项式系数二项式系数 求 9 1 x x 的展开式中含 3 x的系数 五 当堂检测 五 当堂检测 1 写出 p q 7的展开式 2 求 2a 3b 6的展开式的第 3 项 3 写出 n x x 3 3 2 1 的展开式的第 r 1 项 4 x 1 10的展开式的第 6 项的系数是 A 6 10 C B 6 10 C C 5 10 C D 5 10 C 课后练习与提高课后练习与提高 1 在 10 3 x的展开式中 6 x的系数为 A 6 10 C27 B 4 10 C27 C 6 10 C9 D 4 10 C9 2 已知 n a a 1 32 的展开式的第三项与第二项的系数的比为 11 2 则 n 是 6 A 10B 11C 12D 13 3 92 2 1 x x 展开式中 9 x的系数是 4 12 3 1 x x的展开式中常数项为 5 10 3 11xx 的展开式中 含 5 x项的系数是 6 若 100ax 的展开式中 98 x前的系数是 9900 求实数a的值 答案 1 D 2 C 3 2 21 4 220 5 207 6 a 2 7 1 3 2 杨辉三角杨辉三角 与二项式系数的性质与二项式系数的性质 教学目标 教学目标 1 使学生建立 杨辉三角 与二项式系数之间的直觉 并探索其中的规律 2 能运用函数观点分析处理二项式系数的性质 3 理解和掌握二项式系数的性质 并会简单的应用 教学重难点 教学重难点 教学重点 二项式系数的性质及其应用 教学难点 杨辉三角的基本性质的探索和发现 教学过程 教学过程 一 复习引入一 复习引入 1 二项式定理 二项式系数 2 1 x n 二 杨辉三角的来历及规律二 杨辉三角的来历及规律 练一练练一练 把 a b n n 1 2 3 4 5 6 展开式的二项式系数填入课本 P37的表格 为了方便 可将上表改写成如下形式 a b 1 11 a b 2 121 a b 3 1331 a b 4 14641 a b 5 15101051 a b 6 161520156 1 爱国教育 杨辉三角爱国教育 杨辉三角因上图形如三角形 南宋的杨辉对其有过深入研究 所以我们称它 为杨辉三角 杨辉 我国南宋末年数学家 数学教育家 著作甚多 杨辉三角 出现在杨辉 编著 的 详解九章算法 一书中 此书还说明表内除 一 以外的每一个数都等于它肩上两 个数的和 杨辉指出这个方法出于 释锁 算书 且我国北宋数学家贾宪 约公元 11 世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于 11 世纪 在欧洲 这个表被认为是法国数学家 物理学家帕斯卡首先发现的 Blaise Pascal 1623 年 1662 年 他们把这个表叫做帕斯卡三 角 这就是说 杨辉三角的发现要比欧洲早 500 年左右 由此可见我国古代数学的成就是非 常值得中华民族自豪的 想一想想一想 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况 那么杨辉三角有何特点 或 者说二项式系数有何性质呢 蕴含规律蕴含规律 1 同一行中 每行两端都是 1 与这两个 1 等距离的项的系数相等 2 相邻两行中 除 1 以外的每一个数都等于它 肩上 两个数的和 3 设表中任一不为 1 的数为 C r n 1 那么它肩上的两个数分别为 C 1 r n 及 C r n 即 C r n 1 C 1 r n C r n 8 对于 a b n 展开式的二项式系数 0 n C 1 n C 2 n C n n C 从函数角度 看 r n C可看成是以 r 为自变量的函数 f r 其定义域是 0 1 2 n 令 f r r n C 定义域为 0 1 2 n 画一画 画一画 当 n 6 时 作出函数 f r 的图象 并结合图象分析二项式系数的性质 三 二项式系数的重要性质三 二项式系数的重要性质 1 对称性 对称性 二项展开式中 与首末两端 等距离等距离 的两项的二项式系数相等二项式系数相等 即 m n C mn n C 练习 求 a b 6的展开式中的倒数第 3 项的二项式系数 答案 答案 15 2 增减性与最大值 增减性与最大值 由于 kk knnnn C k n 1 1 2 1 k kn C k n 1 1 所 以 k n C相 对 于 1 k n C增 减 情 况 由 k kn 1 决 定 由 k kn 1 1 2 1 n k 可知 当 2 1 n k 时 二项 式系数是逐渐增大的 由对称性知它的后半部分是逐渐减小的 且在中间取得最大值 当当 n 是偶数时是偶数时 中间的一项中间的一项 2 n n C取得最大值 取得最大值 当当 n 是奇数时是奇数时 中间的两项中间的两项 2 1 n n C和和 2 1 n n C相等 且同时取得最大值 相等 且同时取得最大值 练习 1 在 a b 10的展开式中 系数最大的项是 A 第 6 项 B 第 7 项 C 第 6 项和第 7 项 D 第 5 项和第 7 项 2 在 a b 10的展开式中 系数最大的项是 A 第 6 项 B 第 7 项 C 第 6 项和第 7 项 D 第 5 项和第 7 项 3 在 a b 11的展开式中 系数最大的项是 A 第 6 项 B 第 7 项 C 第 6 项和第 7 项 D 第 5 项和第 7 项 4 在 a b 11的展开式中 系数最大的项是 A 第 6 项 B 第 7 项 C 第 6 项和第 7 项 D 第 5 项和第 7 项 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 9 3 各项二项式系数的和 各项二项式系数的和 1 x 1 x n n 0 n C 1 n Cx 2 n Cx2 r n Cxr n n Cxn 思考 思考 0 n C 1 n C 2 n C n n C 由于 x 为任意实数 上式中令 x 1 则得 2n 0 n C 1 n C 2 n C n n C 也就是说 也就是说 a a b b n n 的展开式中的各个二项式系数的和为的展开式中的各个二项式系数的和为 2n 说明 这种方法是赋值法 是解决二项展开系数有关问题的重要手段 四 典型例题 性质四 典型例题 性质 4 试证 在 试证 在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 分析 奇数项的二项式系数的和为 0 n C 2 n C 4 n C 偶数项的二项式系数的和为 1 n C 3 n C 5 n C 由于 a b n 0 n Can 1 n Can 1b k n Can kbk n n Cbn中的 a b 可以取任意实数 因 此我们可以通过对 a b 适当赋值来得到上述两个系数和 证明 在展开式 a b n 0 n Can 1 n Can 1b k n Can kbk n n Cbn中 令 a 1 b 1 则得 1 1 n 0 n C 1 n C 2 n C 3 n C 1 n n n C 即0 0 n C 2 n C 1 n C 3 n C 所以 0 n C 2 n C 1 n C 3 n C 即在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 说明 说明 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 这并不意味着等号两 边的个数相同 当 n 为偶数时 奇数项的二项式系数多一个 当 n 为奇数时 奇数项的二项 式系数与偶数项的二项式系数个数相同 五 当堂检测五 当堂检测 1 已知 5 15 C a 9 15 C b 那么 10 16 C 2 a b n的各二项式系数的最大值是 3 1 11 C 3 11 C 11 11 C 4 1 1 2 1 1 1 0 1 210 n nnnn n nnnn CCCC CCCC 5 证明 0 n C 2 n C 4 n C n n C 2n 1 n 是偶数 答案 1 a b2 当 n 是偶数时 最大值是 2 n n C 当 n 是奇数时 2 1 n n C和 2 1 n n C 10 相等且最大 3 10244 2 1 六 课堂小结六 课堂小结 1 二项式系数的性质 对称性 增减性与最大值 各二项式系数的和 2 数学思想 函数思想 3 数学方法 赋值法 递推法 图象法 七 布置作业七 布置作业 课本 43 页习题 1 3 A 组 8 选做题 B 组 2 11 1 3 2 杨辉三角杨辉三角 与二项式系数的性质与二项式系数的性质 课前预习学案课前预习学案 一 预习目标一 预习目标 借助 杨辉三角 数表 掌握二项式系数的对称性 增减性与最大值 二 预习内容二 预习内容 1 二项式定理 二项式系数 2 1 x n 练一练练一练 把 a b n n 1 2 3 4 5 6 展开式的二项式系数填入课本 P37的表格 想一想想一想 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况 那么杨辉三角有何特点 或 者说二项式系数有何性质呢 画一画 画一画 当 n 6 时 作出函数 f r 的图象 并结合图象分析二项式系数的性质 三 提出疑惑三 提出疑惑 同学们 通过你的自主学习 你还有哪些疑惑 请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑点疑惑内容疑惑内容 课内探究学案课内探究学案 一 学习目标一 学习目标 了解 杨辉三角 的特征 让学生偿试并发现二项式系数规律 通过探究 掌握二项式系数的性质 并能用它计算和证明一些简单的问题 二 学习重难点 二 学习重难点 学习重点 二项式系数的性质及其应用 学习难点 杨辉三角的基本性质的探索和发现 三 学习过程三 学习过程 一 一 杨辉三 杨辉三角的来历及规律角的来历及规律 问题问题 1 1 根据 a b n n 1 2 3 4 5 6 展开式的二项式系数表 你能发现什么 规律 问题问题 2 2 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况 那么杨辉三角有何特点 或 者说二项式系数有何性质呢 对于 a b n 展开式的二项式系数 0 n C 1 n C 2 n C n n C 从函数角 度看 r n C可看成是以 r 为自变量的函数 f r 其定义域是 0 1 2 n 令 f r r n C 定义域为 0 1 2 n 问题问题 3 当 n 6 时 作出函数 f r 的图象 并结合图象分析二项式系数的性质 二 二项式系数的重要性质 二 二项式系数的重要性质 12 1 对称性 对称性 二项展开式中 与首末两端 等距离等距离 的两项的二项式系数相等二项式系数相等 即 m n C mn n C 分析 2 增减性与最大值 增减性与最大值 二项式系数先增大后减小 中间取最大 提示 1 讨论 k n