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车道被占用对城市道路通行能力的影响 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：2013 年 9 月 16 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 摘要 在本文中，第一二问题都运用了数理统计分析方法。首先观看视频1，将视频1中所有的车流量、事故起始时间、结束时间等数据进行整理分析，再根据车辆换算系数1将车流量换算成标准车当量数，以单位时间的车流量作为数据点,并用Excel将这些数据点绘制成折线图，结合图形与视频1对问题一进行详细分析，得到视频1中对道路通行能力产生影响主要有三个因素：分别是交通信号灯、大车通行能力、小区路口插入车辆的通行能力。然后将视频2的数据也绘制成图形与视频1图形进行对比分析，发现两个视频的通行能力都受大车的通行能力和小区路口插入车辆的通行能力的影响。并且发现同一横断面交通事故所占车道不同会影响道路的通行能力。 第三问要讨论车辆排队长度与横断面通行能力、事故持续时间和上游车流量之间的关系。传统的排队论单纯使用需求量和通行能力关系推算排队长度，将交通波理论2和排队论进行结合，判断出该路段会发生堵车现象，然后建立车辆排队长度模型。并通过交通波理论计算出交通波波速，进而得到车辆排队长度与横断面通行能力成反比、与事故持续时间和上游车流量成正比。在第四问的车辆排队长度到达上游路口需要多长时间问题中，则需根据问题三中车辆排队长度模型和问题四中条件数据计算出需要350秒车辆排队长度才能达到上游路口。 关键词: 通行能力 Excel数理统计 交通波理论 1 一 问题重述 11 问题的相关信息 车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 道路通行能力是指在一定的道路和交通条件下，道路上某一路段单位时间内通过某一断面的最大车辆数。 影响道路通行能力的主要因素有道路状况、车辆性能、交通条件、交通管理、环境、驾驶技术和气候等条件。 视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。 注：只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数。 1.2 问题重述 问题一：根据视频1，描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能 力的变化过程。 问题二：根据问题1所得结论，结合视频2，分析说明在同一横断面发生的交通事故所 占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 问题三：通过构建数学模型，分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故 横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 问题四：假如视频1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向 需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。 2 问题分析 2.1 相关背景 道路交通运输是城市的基本职能之一，也是城市赖以生存、发展、维持正常运转的必要条件之一。近代城市的发展与道路交通的发展关系非常密切，他们相互制约、相辅相成。随着城市规模的扩大，产业的发展、城市各种职能的加强，道路交通运输网络也不断发展，而道路交通设施和交通运输网络是否完善，又反过来影响和制约着城市的发展。现代城市无论是产业活动还是居民生活，都是以便捷、安全、高效为基础，那么道路交通就显得尤为重要。因此，当道路出现交通事故时，能合理的建立模型来分析事故所处横断面实际通行能力的变化过程就非常重要，从而有效提高道路通行能力。 2.2 问题分析 问题一的分析，根据题目中所给视频1，将交通事故从发生到撤离之间的时间以一分钟为间隔平均分配，并记录了每一分钟的事故所处横断面的车流量，通过车辆换算系数1将车流量换算成标准车当量数，对数据进行拟合得出通行能力变化图。结合视频一对以下四个图进行分析，得出通行能力变化过程受哪些因素的影响。 2 问题二的分析，用问题一分析方法，记录事故所处横断面通过不同车型的车流量，并换算成标准车当量数，再将两个视频通行能力数据绘成通行能力图和其数据进行对比分析，观察视频2中通行能力变化是否与问题一中的结论一致，是否还受其他因素影响。结合附件三中三个车道车流量的比例分析同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力的影响差异。 问题三的分析，首先要判断当事故发生后是否会发生堵车现象，判断通行能力n是否大于上游车流量q，当n<q时，发生堵车现象，反之，不发生堵车现象。想要得到车辆排队长度L,先计算交通波波速?，然后再利用交通波公式，计算由交通事故导致的交通波波速?建立路段车辆长度L与事故横断面实际通行能力n、事故持续时间T关系的模型。 问题四的分析，由问题所给的条件可知，交通事故所处横断面距离上游路口140米，路段上游车流量为1500pcu/h,要想求出事故发生后进过多长时间，车辆排队长度到达上游路口，则需要采用问题三中的模型求解。将数据进行处理代入问题三的模型中，求得最终结果为350s。 3 问题假设 1、假设视频中所有车辆在发生事故前的平均速度都为uf。 2、假设视频中的电动车不影响车流量。 3、假设发生事故后一次只能通过一辆车。 4、假设在发生事故路段不考虑上下班的高峰期。 5、假设在发生交通事故时，不考虑天气原因的影响。 4 模型的符号说明 3 5 模型的建立与求解 5.1 问题一 根据题目中的视频1，对交通事故发生至撤离期间的车流量进行记录，记录间隔时间均为一分钟且连续，设起始时刻为t1，结束时刻为t2，车流量为n,通行能力为 m? n ，通过车辆转换系数将车流量转换成标准车当量数。对数据进行整理分析如t2?t1 表一 车流量及通行能力统计 表一所示： 由于视频中16:55:32到17:00:32时间段缺失，因此无法采集到数据，所以我们根据该时间段前采集的数据进行三次拟合预测缺失时间段的数据，预测结果如图一所示：（代码见附录1） 4 图一 车流量的拟合预测图 为了便于观察事故所处横断面积实际通行能力的变化过程，以t1为横坐标，以通行能力m为纵坐标建立事故发生至撤离期间的通行能力变化图。如图二所示： 图二 通行能力变化图 5 为了进一步讨论致使事故所处横断面世纪通行能力的变化的因素，继续由上表画出车流量与时间的关系、大小车型与时间的关系、小区路口插入车辆与通行能力的关系。分别如图三、图四、图五所示。 图三 大、小车流量 图四 总体车流量 图五 小区路口插入车辆与通行能力对比 6 由图一可知，在事故发生后的8分钟内，车流量变化波动较大。结合视频1对图一中通行能力为11的特殊点进行分析，由于这一点所在时间段前一分钟上游路口是红灯，导致车流量减少，从而单位时间内通过事故横断面的车辆数量减少。结合图三和图四得出，当大型车辆比较多时，道路拥挤，车流量减少。由图五可以看出，当插入车辆数增加时，通行能力就会增高，因此小区路口插入车辆也会影响到道路的通行能力。最终我们得到导致事故所处横断面实际通行能力的三个原因，即： 1：上游路口交通灯对通行能力的影响。当上游路口为红灯时，车流量减少，单位时间内通过的车辆减少，通行能力下降。 2：大车对通行能力的影响。大车占用道路面积大，且操作灵活性不如小车，滞留时间长，通行能力下降。 3：小区路口插入的车辆对通行能力的影响。当小区路口有车插入直行车队列时，有一个插入队列时间，致使直行车被迫等待插队车插队完成，导致时间边长，通行能力下降。 5.2 问题二 为了解决问题二，我们记录了视频二中的不同车型的车流量，将数据进行整理（附录2）并与问题一的图二进行统一，得到问题一、二通行能力对比图和通行能力所受因素对比图，图中数据来源于附录2表一。（时间采样点是指从事故发生到撤离的时间，以一分钟为时间间隔进行采样。） 图六 问题一、问题二通行能力对比图 如图六所示，可以很明显的看出视频二比视频一的通行能力高，从而判定同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力有差异，从图七可以看出当大车的车辆越多通行能力越弱，插入车辆越多也会导致通行能力变弱。由问题一中的结论可知，视频一和视频二的通行能力都受大车和小区路口插入车辆的影响。 7 A 图七 通行能力所受因素对比 如图七所示，对特殊点A进行分析，发现在A点的时间段时有大车从小区路口插入，导致通行能力降低。因为附件三中所给的三条道路流量比例分别是：一车道20%、二车道44%、三车道35%。再根据比例和图五分析，得到通行能力还与所占车道车流量的大小有关，车流量越大通行能力越强，反之越弱。 5.3 问题三 我们通过视频一所收集的数据，求得事故发生后道路的实际通行能力为 n=1020pcu/h和事故发生前道路的车流量为q1 =1142pcu/h ，由于n<q1所以在事故发生T内，车辆从事故点开始排队，车辆排队长度为L。 5.3.1引入交通波理论3 交通波是道路交通甁项处出现的现象，在堵车时所有车辆可看成一个交通波阵面，交通波阵面以一定的速度反向增大。 设交通波速度为?，交通波阵面为S，则： ?uf?1?K1?K2? Kj? 其中，uf为事故路段的自由流速度，即路段的设计车速；K1为事故段的交通密度；K2为事故上游的交通密度；Kj为该路段的交通堵塞密度。 在事故持续时间T内，交通波阵面S向上游移动的距离为 可以计算堵车数量： NT?qTKj jT，根据交通波理论，K?K2 其中，T为交通事故持续时间；Kj为该路段的交通堵塞密度；q为事故上游的车流 8 量；K2为事故上游的交通密度。 车辆的排队长度为L= 若 若?T与交通事故发生点距离上游交叉口的长度X进行比较： ?T<X 则车辆排队长度为?T T>X 则车辆排队至上游路口 由上述模型可知，L=?T即车辆排队长度与事故持续时间成正比，事故上游的车流量q与堵车数量成正比，因为堵车数量与排队长度成正比，所以事故上游的车流量q与车辆排队长度成正比。实际通行能力与车辆排队长度成反比。 5.4 问题四 根据交通波速度公式和利用所收集的数据和第四问所给的条件计算出需要的数据。 交通波速度公式： ?1?K1?K2?uf?K?j? 需要的数据如下： ?K2?37.5辆/km?uf =39.50km/h ?K =21.7辆/km?1 ?Kj =520辆/km? K2=上游交通量/车速； K1=事故段交通量/车速； Kj=堵塞段交通量/车速； Uf为事故发生前车辆的平均速度 K1、K2、Kj计算数据来源于附录2表一，uf计算数据来源于附录2表二。 通过计算得到： ?=24m/min。 由第三问可知车辆的排队长度L=?=24时，T，当L=140，代入公式求出T=350s。 从事故发生开始，经过350s后车辆排队长度将达到上游路口。 六 模型的检验 为了了解所建的模型是否正确，我们对问题三的模型进行了检验，首先，我们将在视屏中所采集的六次堵车队长为120米的情况汇总成表格如表二所示： 9 qTKj j 将表中的数据代入公式NT? K ?K2 求出堵车数量情况如表三所示： 为了直观方便，我们将实测与计算的堵车数量汇总成柱形图如图八所示： 图八 实测与计算堵车数量关系图 由图八可知实测与计算的结果误差在允许范围内，说明该模型具有一定的科学性，能够反映较为真实的情况，但是，还是存在一定的误差，说明人为或实际情况等一些因素对模型还是存在影响，所以该模型还可进一步优化。 10 七 模型的评价 7.1 模型的优点 此模型我们引入了交通波理论和排队论，能更加明确的表示出排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游的车流量之间的关系，并且在第四个问题中，可以很容易的计算出经过多长时间车辆长度达到上游路口，此模型便于计算。另外，这个模型简单、明确、便于我们理解。 7.2 模型的缺点 在建立模型中我们忽略了红绿灯对车流量的影响，以及对车型的分类不详细，导致一些数据存在一定的误差。由于车道被占用的情况种类繁多、复杂，本模型反映的不太全面，仍需改进。 八 模型的推广 排队论起源于20世纪初的电话通话。19091920年丹麦数学家、电气工程师爱尔兰（A.K.Erlang）用概率论方法研究电话通话问题，从而开创了这门应用数学学科。日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线、到商店购买物品、一些食堂就餐,搭乘公共汽车,到医院看门诊等现象。 事实交通信息是智能交通系统（ITS）的最基本的信息源之一，只有对各道路实时交通信息有了准确地掌握才能有效地实施和发挥诸如交通诱导之类的ITS功能，因此我们将交通波理论应用到实际应用中，例如：汽车经过采集装置上方时会引起相应的压力、电场或磁场的变化，最