第26讲 二维随机变量 (II)

四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 1 概率论与数理统计 主讲主讲 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 3 3 1 二维随机变量二维随机变量 清泉清泉 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 4 四川大学四川大学 第第26讲讲二维二维随机变量随机变量 II 江安校区江安校区 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 5 连续型连续型二维随机变量二维随机变量 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 6 与一维随机变量类似与一维随机变量类似 我们定义连续型二维随我们定义连续型二维随 机变量机变量 X Y 的分布函数的分布函数F x y 如下如下 如果存在非负可积二元函数如果存在非负可积二元函数 f x y 使得对于使得对于 任意实数任意实数 x y 有有 则称则称 X Y 是是连续型的二维随机变量连续型的二维随机变量 函数函数 f x y 称为称为 X Y 的的概率密度概率密度 或称为或称为 X 和和 Y 的的联合概率密度联合概率密度 F x y P Xx Yy yx f u v dudv 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 7 f x y 概率密度概率密度 f x y 具有以下性质具有以下性质 1 非负性非负性 2 规范性规范性 0f x y 定义要求定义要求 曲面曲面 z f x y 与与xOy坐标面坐标面 之间的空间区域的体积为之间的空间区域的体积为 1 f x y dxdy F 1 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 8 3 设设G是是xOy坐标面上的一个区域坐标面上的一个区域 则点则点 X Y 落入落入G内的概率内的概率 P X YG G f x y dxdy V zf x y G 等于曲顶柱体的体积等于曲顶柱体的体积V 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 9 4 若若 f x y 在点在点 x y 处连续处连续 则在则在 x y 处处 2 F f x y x y 证明从略证明从略 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 10 例例子子 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 11 例例3 设设 1 验证验证 f x y 是一个二维随机变量是一个二维随机变量 X Y 的的 概率密度概率密度 2 求求 X Y 的分布函数的分布函数 3 求概率求概率 P Y X 2 2 0 0 0 xy exy f x y 其他 解解 2 2 x y f x ye 1 只需验证只需验证 f x y 的非的非 负性和规范性负性和规范性 显然显然 0f x y 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 12 四川大学四川大学四川大学四川大学 2 2 0 0 0 xy exy f x y 其他 1 1f x y dxdy 下面验证规范性下面验证规范性 f x y dxdy 2 0 2 x y edy 2 00 2 xy edxe dy 0 y e 01 01 2 2 x y f x ye 0 dx 2 0 x e f x y 是一个二维随机变量是一个二维随机变量 X Y 的概率密度的概率密度 概率密度的概率密度的 非零区域非零区域 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 13 2 2 0 0 0 x y exy f x y 其 他 x y 2 求求 X Y 的分布函数的分布函数 yx F x yf u v dudv 00 0 xyf x y 或时 0 yx F x ydudv 0 0f x y 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 14 2 求求 X Y 的的 分布函数分布函数 2 2 0 0 0 xy exy f x y 其 他 0 0 xy 时 yx F x yf u v dudv x y 2 00 2 yx u v edudv 2 0 2 y uv edv 0 x du 2 00 2 xy uv edue dv 2 00 u xvy ee 2 1 1 xy ee 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 15 X Y 的分布函数的分布函数 2 1 1 0 0 0 xy eexy F x y 其他 x y x y 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 16 3 求概率求概率 P Y X 设设 Gx yyx 则则 P YX G f x y dxdy G yx X Y 2 2 x y D edxdy 2 2 0 0 0 xy exy f x y 其 他 P X YG 2 0 2 x x y edy 0 dx 0 2 0 2 x yx edexdy D是概率密度的非零区域是概率密度的非零区域 D 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 17 3 求概率求概率 P Y X P YX G X Y 2 x y D edxdy 2 0 2 x x y edy 0 dx 0 2 0 2 x yx edexdy 2 0 2 1 xx eedx 23 0 2 xx eedx 23 0 11 2 23 xx ee 11 2 0 0 1 23 1 3 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 18 x z 3 求概率求概率 P Y X P YX 2 x y G edxdy 1 3 with plots qumian1 plot3d 1 exp 2 x 1 exp y x 0 5 y 0 x color green pingmian plot3d x x z x 0 5 z 0 1 exp 2 x 1 pingmian2 plot3d 5 y z y 0 5 z 0 1 exp 2 5 1 qumian2 plot3d 0 y 0 5 x 5 0 color yellow qumian3 plot3d 0 y 5 0 x 5 0 color yellow qumian4 plot3d 0 y 5 0 x 0 5 color yellow x axis plot3d u 0 0 u 6 6 v 0 0 01 y axis plot3d 0 u 0 u 6 6 v 0 0 01 z axis plot3d 0 0 u u 0 1 v 0 0 01 xyz display x axis y axis z axis thickness 3 display qumian1 qumian2 qumian3 qumian4 pingmian pingmian2 xyz o 4 4 axes none grid 40 40 x y z 曲顶柱体的曲顶柱体的 体积为体积为 1 3 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 19 四川大学四川大学四川大学四川大学 例例4 设随机变量设随机变量 X Y 的概率密度的概率密度 1 确定常数确定常数 k 2 求求 P X 1 Y 3 3 求求 P X 1 5 4 求求 P X Y 4 6 02 24 0 kxyxy f x y 其 他 解解 概率密度的非零区域概率密度的非零区域 02 24 Dx yxy 1 利用规范性利用规范性 1f x y dxdy D 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 20 1 确定常数确定常数 k 6 02 24 0 kx yxy f x y 其他 1f x y dxdy D 1 6 D kxy dxdy 4 2 2 0 xdydx 6 D kdxdy 4 2 2 0 ddxy y 6 4k 22 62 8k 1 8 k 1 利用规范性利用规范性 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 21 1 8 6 02 24 0 x yxy f x y 其 他 2 求求 P X 1 Y 3 1 1 6 8 D xy dxdy 3 2 1 0 xdydx 1 1 6 8 D dxdy 3 2 1 0 ddxy y 1 8 1 22 53 8 1 3 P XY 1 1 3 01 23 DDx yxy x yxy 概率密度的概率密度的 非零区域非零区域 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 D 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 22 1 8 6 02 24 0 x yxy f x y 其 他 3 求求 P X2 一般地一般地 设设 E 是一个随机试验是一个随机试验 其样本空间其样本空间 是是 S e 设设 X1 X1 e Xn Xn e 是定义在是定义在 S 上的上的 n 个个 随机变量随机变量 则则 n 维向量维向量 X1 Xn 称为称为 n维随维随 机向量机向量 或或 n维随机变量维随机变量 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 27 n元函数元函数 F x1 xn P X1 x1 Xn xn 称为称为n维随机变量维随机变量 X1 Xn 的的分布函数分布函数或或 X1 Xn的的联合分布函数联合分布函数 它具有与二维随机变量的分布函数类似的性质它具有与二维随机变量的分布函数类似的性质 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 28 考研题评讲考研题评讲 QQ 2243414853 四川大学四川大学第26讲 二维随机变量 II 29 2003年数学一年数学一 第一第一 5 题题 设二维随机变量设二维随机变