第38讲 数学期望 (II)

四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 1 概率论与数理统计 主讲主讲 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 3 4 1 数学期望数学期望 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 4 四川大学四川大学 第第38讲讲 数学期望数学期望 II 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 5 随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 6 定理定理 1 设设X是离散型随机变量是离散型随机变量 其分布律为其分布律为 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数 Y g X 则则 1 2 kk P Xxpk E Y E g X 1 kk k g x p 12 12 12 n n kn Xxxx Yg Xg xg xg x pppp 没有必要合并相同没有必要合并相同 的的 g xi 反正全部乘积都要相加反正全部乘积都要相加 直接相乘相加得到直接相乘相加得到 g X 的数学期望的数学期望 要求绝要求绝 对收敛对收敛 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 7 例例11 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 求求E X E X2 E 3X2 5 202 0 40 3 0 3 k X p 解解 2 2 202 404 3517517 0 40 3 0 3 k X X X p 2 0 4 0 0 3 2 0 3E X 0 2 2 4 0 4 0 0 3 4 0 3E X 2 8 2 35 E X 17 0 4 5 0 3 17 0 3 13 4 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 8 例例12 设设X 求求 E 1 X 1 解解 X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布 其分布律为其分布律为 0 0 1 k k pP Xkek k 1 1 E X 0 1 1 k k e kk 1 1 g XX 1 0 1 1 k k e k 1 1 k k e k 0 1 1 k k e k 1 1 ee 1 1 e k xk 1 1 k g xk 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 9 定理定理 2 设设X是连续型随机变量是连续型随机变量 其概率密度为其概率密度为 f x 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数 Y g X 其中其中g 是连续函数是连续函数 则则 E Y E g X 要求绝要求绝 对收敛对收敛 f x dxg x 这个定理的意义在于这个定理的意义在于 当我们求当我们求E Y 时时 不不 必求出必求出Y g X 的概率密度的概率密度 只需利用只需利用X的概的概 率密度率密度f x 即可即可 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 10 例例13 设随机变量设随机变量X U 0 a 求求Y kX2 k 0 的数学期望的数学期望 X在区间在区间 0 a 上服从均匀分布上服从均匀分布 其概率密度为其概率密度为 解解 1 0 0 axa f x 其他 2 f x dxkx E Y 0 2 1 a dx a kx 2 0 a k dx a x 3 0 3 a k x a 3 3 k a a 2 1 3 ka 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 11 四川大学四川大学四川大学四川大学 例例14 设随机变量设随机变量 X E 1 求求Y 2X 和和Z e 2X 的数学期望的数学期望 X服从参数为服从参数为1的指数分布的指数分布 其概率密度为其概率密度为 解解 0 0 0 x ex fx x 2 f x dxx E Y 2 EX 0 2 x e dxx 0 2 x xde 0 0 xx e 0 2 0 0 x e 2 0 1 2 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 12 设随机变量设随机变量 X E 1 求求Y 2X 和和Z e 2X的数的数 学期望学期望 0 0 0 x ex f x x 2 x f x dex E Z 2 X E e 2 0 xxe dx e 3 0 x edx 3 0 1 3 x e 1 0 1 3 1 3 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 13 二维随机变量的函数的数学期望二维随机变量的函数的数学期望 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 14 命题命题 1 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 X Y 的分布律为的分布律为 则函数则函数 Z g X Y 的数学期望的数学期望 1 2 ijij P Xx Yypi j E Z E g X Y 要求绝要求绝 对收敛对收敛 11 ij i j j i g xpy 2 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为的概率密度为 f x y 则函数则函数 Z g X Y 的数学期望的数学期望 E Z E g X Y 要求绝对收敛要求绝对收敛 f x y dxdyg x y 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 15 四川大学四川大学四川大学四川大学 yx 1 y x D 例例15 设随机变量设随机变量 X Y 的概率密度为的概率密度为 求数学期望求数学期望 E Y E 1 XY 32 31 1 2 0 yx x x yxf x y 其他 解解 f x y 的非零区域为的非零区域为D E Y f x y dxdyy 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 16 with plots f x x g x 1 x quxian1 spacecurve x f x 0 x 0 1 5 color red thickness 3 quxian2 spacecurve x g x 0 x 0 2 5 color blue thickness 3 quyu plot3d x y 0 x 1 5 y f x g x color grey style patchnogrid display quxian1 quxian2 quyu orientation 270 0 axes normal tickmarks 5 4 0 scaling constrained yx 1 y x D 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 17 yx 1 y x D 32 31 1 2 0 yx x x yxf x y 其他 E Y f x y dxdyy 32 11 3 2 x x dxdyy x y 3 11 311 2 x x dxdy xy 1 3 1 31 ln 2 x x ydx x 3 1 31 2ln 2 x dx x 3 1 3lnxxdx 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 18 四川大学四川大学 四川大学四川大学四川大学四川大学 E Y f x y dxdyy 1 32 1 3 2 x x dxdyy x y 3 11 311 2 x x dxdy xy 1 3 1 31 ln 2 x x ydx x 3 1 31 2ln 2 x dx x 3 1 3lnxxdx 2 1 3 ln 2 xdx 2 1 2 1 3ln ln 2 x x dx x 3 1 3 0 0 2 x dx 1 2 31 2 2x 31 0 22 3 4 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 19 yx 1 y x D 1 EXY 1 f x y dxd xy y 32 11 3 2 1 x x dxd xy y x y 43 11 311 2 x x dxdy xy 1 42 1 311 22 x x dx xy 2 42 1 311 4 xdx xx 26 1 311 4 dx xx 1 5 311 45xx 31 1 45 3 5 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 20 例例16 飞机空投物资飞机空投物资 设目标为原点设目标为原点O 0 0 物资着陆点为物资着陆点为 X Y X与与Y相互独立相互独立 且都服且都服 从正态分布从正态分布N 0 2 求物资着陆点求物资着陆点 X Y 到原到原 点的距离的数学期望点的距离的数学期望 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 21 解解 X Y 的联合概率密度的联合概率密度 f x y 22 22 22 11 22 xy ee XY fx fy 22 2 2 2 1 2 xy e 物资着陆点物资着陆点 X Y 到原点的距离到原点的距离 22 RXY 飞机空投物资飞机空投物资 设目标为原点设目标为原点O 0 0 物资着陆点为物资着陆点为 X Y X与与Y相互独立相互独立 且都服从正态分布且都服从正态分布N 0 2 求物资着陆点求物资着陆点 X Y 到原点的距离的数学期望到原点的距离的数学期望 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 22 X Y 的联合概率密度的联合概率密度 22 2 2 2 1 2 xy f x ye 着陆点着陆点 X Y 到原点的距离到原点的距离 22 RXY 22 E REXY 22 f x y dxyyxd 22 2 2 22 2 1 2 xy exdxdyy 2 2 2 2 2 00 1 2 r derrdr 2 2 2 2 0 1 r redrr 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期望 II 23 22 E REXY 22 f x y dxyyxd 22 2 2 22 2 1 2 xy exdxdyy 2 2 2 2 2 00 1 2 r derrdr 2 2 2 2 0 1 r redrr 2 2 2 0 r d er 22 22 22 0 0 rr eedrr 2 2 0 2 0 2 0 r r ed 2 0 2 u edu 2 2 2 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第38讲 数学期