苏教数学选修4-1几何证明选讲教学案及课后配套巩固练习.doc

几何证明选讲几何证明选讲 第一节第一节 三角形三角形 一 考纲要求一 考纲要求 了解平行线等分线段定理和平行截割定理 掌握相似三角形的判定定理及性质定理 理解直角三角 形射影定理 二 知识梳理二 知识梳理 1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段 推论 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论 2 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于 并且等于 2 平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交 它们被这组平行线截得的对应线段 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 结论 1 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形的三 边 结论 2 三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线断于这个角的两边 结论 3 若一条直线截三角形的两边 或其延长线 所得对应线段成比例 则此直线与三角形的第三 边 3 相似三角形的判定定理 1 SAS 2 SSS 3 AA 推论 如果一条直线与三角形的一边平行 且与三角形的另两条边相交 则 相似三角形的性质定理 相似三角形的对应线段的比等于 面积比等于 4 直角三角形的射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于 斜边上的高 等于 三 诊断练习三 诊断练习 1 如图 1 AM 3 BM 5 CM 4 5 EF 16 则 DM EK FK 321 lll 2 如图 2 AB 是斜靠在墙壁上的长梯 梯脚 B 距墙 80cm 梯上点 D 距墙 70cm BD 长 55cm 则梯子的长 为 cm 3 如图 3 ABC 中 1 B 则 此时若 AD 3 BD 2 则 AC A M C E K FB D l1 l2 l3 图 1 A D B 图 2 4 如图 4 CD 是 Rt ABC 的斜边上的高 1 若 AD 9 CD 6 则 BD 2 若 AB 25 BC 15 则 BD 四 范例导析四 范例导析 例例 1 1 如图 5 等边 内接于 且 DE BC 已知于点DEFABCBCAH H BC 4 AH 求 的边长 3DEF 图 5 例例 2 2 如图 6 在 ABC 中 作直线 DN 平行于中线 AM 设这条直线交边 AB 与点 D 交边 CA 的延长线于点 E 交边 BC 于点 N 求证 AD AB AE AC 例例 3 3 如图 7 E F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点 且 3 1 AD AF AB EB 求证 AEF FBD A BC D M E 图 6 N A C B D 1 图 3 AB C D 图 4 A B C D M F E 图 7 BC A D FH E 五 当堂反馈五 当堂反馈 1 如图 8 ABC 中 点 D 为 BC 中点 点 E 在 CA 上 且 CE EA AD BE 交于点 F 则 AF FD 2 1 2 一个等腰梯形的周长是 80cm 如果它的中位线长与腰长相等 它的高是 12cm 则这个梯形的面积为 cm2 3 两个三角形相似 它们的周长分别是 12 和 18 周长较小的三角形的最短边长为 3 则另一个三角形 的最短边长为 4 如图 9 已知 1 2 请补充条件 写一个即可 使得 ABC ADE A BCD F E 图 8 D A C B 图 9 E 1 2 第二节第二节 直线和圆直线和圆 一 考纲要求一 考纲要求 1 理解圆周角定理及其推论 掌握圆的切线的判定定理及性质定理 理解弦切角定理及其推论 2 掌握相交弦定理 割线定理 切割线定理 理解圆内接四边形的性质定理与判定定理 二 知识梳理二 知识梳理 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于 圆心角定理 圆心角的度数等于 的度数 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是 的圆周角所对的弦是 90 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 2 圆内接四边形的性质与判定定理 圆的内接四边形的对角 圆内接四边形的外角等于它的内角的 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点 3 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 经过切点且垂直于切线的直线必经过 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 4 相交弦定理 圆内两条相交弦 的积相等 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 的两条线段长的积相等 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是 的比例中项 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长 圆心和这点的连线平分 的夹角 三 诊断练习三 诊断练习 1 如图 10 点 P 是 O 的直径 BA 延长线上一点 PC 与 O 相切于点 C CD AB 垂足为 D 连结 AC BC OC 那么下列结论中正确结论的个数有 个 PC2 PA PB PC OC OP CD OA2 OD OP OA CP CD AP CD 2 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 垂足为 P 若 AP PB 1 4 CD 8 则直径 AB 的长是 3 如图 11 AB 是 O 的直径 P 是 AB 延长线上一点 PC 切 O 于点 C PC 3 PB 1 则 O 的半径为 4 如图 12 圆 O 上的一点 C 在直径 AB 上的射影为 D CD 4 BD 8 则圆 O 的直径为 AOD P C B 图 10 A B P C 图 11 O A DO C B 图 12 四 范例导析四 范例导析 例例 1 1 如图 13 AB 是 O 的直径 C 是 O 外一点 且 AC AB BC 交 O 于点 D 已知 BC 4 AD 6 AC 交 O 于点 E 求四边形 ABDE 的周长 例例 2 2 如图 14 已知 AD 是 ABC 的外角 EAC 的平分线 交 BC 的延长线于点 D 延长 DA 交 ABC 的 外接圆于点 F 连接 FB FC 1 求证 FB FC 2 若 AB 是 ABC 的外接圆的直径 EAC 120 BC 6 求 AD 的长 例例 3 3 如图 15 1和 O2都经过 A B 两点 经过点 A 的直线 CD 与 O1交于点 C 与 O2交于点 D 经过 点 B 的直线 EF 与 O1交于点 E 与 O2交于点 F 求证 CE DF O2 O1 F E D C B A 图 15 A B O E C D 图 13 A B F CD E 图 14 五 当堂反馈五 当堂反馈 1 下列命题中错误的是 1 过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行 2 直线 AB 与 O 相切于点 A 过 O 作 AB 的垂线 垂足必是 A 3 若同一个圆的两条切线互相平行 则连结切点所得的线段是该圆的直径 4 圆的切线垂直于半径 2 如图 17 已知 AB 是 O 的弦 AC 切 O 于点 A BAC 60 则 ADB 的度数为 3 如图 18 PA 与圆切于点 A 割线 PBC 交圆于点 B C 若 PA 6 PB 4 AB 的度数为 60 则 BC PCA PAB 4 如图 19 ABC 是 O 的内接三角形 PA 是 O 的切线 PB 交 AC 于点 E 交 O 于点 D 若 PE PA PD 1 BD 8 则线段 BC 60ABC B A D C O 图 17 B C A P 图 18 A P CB ED 图 19 参考答案参考答案 第一节第一节 三角形三角形 三 诊断练习三 诊断练习 1 DM 7 5 EK 6 FK 10 2 440 3 ACD ABC 4 4 915 四 范例导析四 范例导析 例 1 解 设等边的边长为x 则它的高为 DEF x 2 3 因为DE BC 所以 解得x 3 2 3 3 4 x x 3 4 例 2 证明 AM EN AD AB NM MB NM MC AE AC MB MC AD AB AE AC 例 3 证明 过点 F 作 FM BD 于点 M 设正方形的边长为 a 则 BD a 2 EB AF a AE DF a 3 1 AD AF AB EB 3 1 3 2 在 Rt DMF 中 EM DM DF a BM a a a 2 2 3 2 2 3 2 3 22 在 Rt AEF 和 Rt MBF 中 A BMF 90 2 1 3 2 3 1 a a AE AF 2 1 a2 3 2 a 3 2 BM FM AEF MBF AEF FBD 五 当堂反馈五 当堂反馈 1 AF FD 4 1 2 240 3 4 B D 或 C E 或 2 9 AB AD AC AE 第二节第二节 直线和圆直线和圆 三 诊断练习三 诊断练习 1 4 2 10 3 4 4 10 四 范例导析四 范例导析 例 1 解 因为AB是 O的直径 所以 BCAD 所以AD是 ABC的中线 所以AB AC 102 BD DC 2 由 所以DE DC 2 CBDEC 由CE CA CD CB 得 CE 所以 5 102 10 5 8 5 102 102 AE 例 2 证明 1 因为AD平分 EAC 所以 EAD DAC 因为四边形AFBC内接于圆 所以 所以 FBCDAC FCBFABEAD 所以 所以FB FC FCBFBC 2 因为AB是 ABC的外接圆的直径 所以 90ACD 因为 所以 EAC 120 1 60 2 DACEAC 30D 在 RT ACB中 因为BC 6 所以 60BAC 2 3AC 又在 RT ACD中 所以 30D2 3AC 4 3AD 例 3 证明 连结 AB ABEC 是 O1的内接四边形 BAD E ADFB 是 O2的内接四边形 BAD F 180 E F 180 CE DF 五 当堂反馈五 当堂反馈 1 4 2 120 3 5 30 30 4 72 随堂巩固练习 随堂巩固练习 1 1 1 如图 1 已知 AC AB BD AB AO 78cm BO 42cm CD 159cm 则 CO cm DO cm 2 已知 如图 2 AA EE AB BC CD DE A B B C C D D E 若 AA 28mm EE 36mm 则 BB CC DD 3 如图 3 EF BC FD AB AE 1 8cm BE 1 2cm CD 1 4cm 则 BD A B C D EE D C B A 图 2 A BCD F E 图 3 AO C B D 图 1 4 已知 如图 4 在平行四边形 ABCD 中 DB 是对角线 E 是 AB 上一点 连结 CE 且延长和 DA 的延长线交于 F 则图中相似三角形 的对数是 5 如图 5 在中 AD 是角 BAC 的平分线 AB 5cm AC 4cm BC 7cm 则 ABC BD cm 6 如图 6 ED FG BC 且 DE FG 把 ABC 的面积分为相等的三部分 若 BC 15 则 FG 的长为 7 如图 7 已知矩形 ABCD 中 AEF 90 则下列结论一定正确的是 1 ABF AEF 2 ABF CEF 3 CEF DAE 4 ADE AEF 8 如图 8 在 Rt ABC 中 C 90 D 是 BC 中点 DE AB 垂足为 E B 30 AE 7 则 DE 的 长为 9 若一个梯形的中位线长为 15 一条对角线把中位线分成两条线段 这两条线段的比是 则梯形的3 2 上 下底长分别是 10 如图 9 BD CE 是的中线 P Q 分别是 BD CE 的中点 则 ABCV PQ BC 11 如图 10 在中 AD BC 于 D DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 ABC ACAFABAE A F EB C G D 图 4 A DE CB FG 图 6 AB CDE F 图 7 D A CB E 图 8 图 5 图 9 12 如图 11 在梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别是 AB CD 的中点 求证 GH BC AD 2 1 13 已知 如图 12 中 D E F 分别在 AB AC BC 上 ABC ABAC 90BAC 且 求证 1 2 ACAE 3 1 1 3 BDAB 1 3 CFBC EFBC ADEEBC 随堂巩固练习 随堂巩固练习 2 2 1 如图 1 AB BC CD E 40 则 ACD 2 如图 2 已知 O 的切线 PC 与直径 BA 的延长线相交于点 P C 是切点 过 A 的切线交 PC 于 D 如 果 CD PD 1 2 DA 2 那么 O 的半径 OC 3 如图 3 ABC 内接于 O AD 切 O 于 A BAD 60 则 ACB 图 11 B C DA EF GH A B C D E 图 1 AP D C O B 图 2 D B A C 图 3 图 10 图 12 4 如图 4 已知 AD AB ADB 350 则 BOC 等于 B A C O D 图 4 5 如图 5 ABCD 是 O 的内接四边形 AC 平分 BAD 并与 BD 交于 E 点 CF 切 O 于 C 交 AD 延长 线于 F 图中四个三角形 ACF ABC ABD BEC 其中与 CDF 一定相似的是 6 O 中 弦 AB 平分弦 CD 于点 E 若 CD 16 AE BE 3 1 则 AB 7 AB 是 O 的直径 OA 2 5 C 是圆上一点 CD AB 垂足为 D 且 CD 2 则 AC 8 如图 6 PAB 是 O 的割线 AB 4 AP 5 O 的半径为 6 则 PO 9 半径为 5 的 O 内有一点 A OA 2 过点 A 的弦 CD 被 A 分成两部分 则 AC CD 10 如图 7 已知 O 的半径 OB 5cm 弦 AB 6cm D 是的中点 则弦 BD 的长度是 11 设圆与圆的半径分别为 3 和 2 为两圆的交点 试求两圆的公共弦的长 1 O 2 O 12 4OO A BAB 度 12 如图 8 已知是 的切线 为切点 是 的割线 与 交于两点 圆心APOPACOOBC 在的内部 点是的中点 OPAC MBC 1 证明四点共圆 APOM 2 求的大小 OAMAPM O A B C D F 图 5 A B P O 图 6图 7 图 8 13 如图 9 已知 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点 CH AB 于点 H 直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D E 为 CH 中点 连接 AE 并延长交 BD 于点 F 直 线 CF 交直线 AB 于点 G 1 求证 点 F 是 BD 中点 2 求证 CG 是 O 的切线 3 若 FB FE 2 求 O 的半径 参考答案参考答案 随堂巩固练习 随堂巩固练习 1 1 1 103 35 55 65 2 30mm 32mm 34mm 3 2 1cm 4 5 5 6 5 35 9 cm6 7 CEF DAE 8 9 12 18 10 1 43 5 7 11 证明 AD BC 为直角三角形 又 DE AB 由射影定理知 ADB ABAEAD 2 同理可得 ACAFAD 2 ACAFABAE 12 证明 由条件得 EF 是梯形 ABCD 的中位线 则有 EF AD BC 由平行线等分线段定理得 AH HC BG GD FH AD FG BC GH FG FH BC AD 2 1 2 1 2 1 13 证明 设 则 3ABACa AEBDa 2CFa 1 又为公共角 故 BAC EFC 由得 3 2 3 2 3 2 23 2 a a CA CF a a CB CE C 90BAC 90EFC EFBC 图 9 2 由 1 得 222 2 2222 2 AEaADa EFa EFBFaa 故 AEAD EFBF