量子力学复习题.ppt

Ex 1求经电势差为V伏特的电场加速后的电子的波长 1纳米 10 9m 能量 电子波长比可见光的波长 10 7m 小5个数量级 比原子的半径 0 1 0 2纳米 还小得多 波长太小 在宏观上测不到 Ex 2求飞行的子弹 速度V 5 0 102m s对应的德布罗意波长 归一化常数 Solve 归一化的波函数 1 求归一化的波函数 2 1波函数的统计解释 续13 2 几率分布 3 由几率密度的极值条件 由于 故处 粒子出现几率最大 2 1波函数的统计解释 续14 1 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态 并指出每个状态由哪几个波函数描写 补充作业题 下列波函数所描述的状态是否为定态 为什么 1 2 3 思考题 2 电子的第n个能级En是n2度简并的 粒子处在束缚态 对于第个能级 角量子数取 共个值 对于一个值 磁量子数可取 共个值 因此 对于第个能级 共有 个波函数 即的简并度为n2 Ex n 2时 E2是4度简并的 对应的波函数有 库仑场中电子的能级只与有关 与无关 对简并 这是库仑场所特有的 3 3电子在库仑场中的运动 续13 Solve 3 6算符与力学量的关系 续 在能量本征态下测量到的动能平均值等于该态所对应的能量本征值 Solve 基态波函数 动量算符的本征函数 3 6算符与力学量的关系 续 其中 3 6算符与力学量的关系 续 与动量值的大小有关 与的方向无关 由此得到动量的几率分布 3 6算符与力学量的关系 续 Prove 设为任一可微函数 特别地 当代入上对易式 即证得 同理可证 3 7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系 续 Ex 2角动量算符和对易 即因此它们有共同的本征函数完备系 3 7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系 续9 Ex 1动量算符彼此对易 它们有共同的本征函数完备系 Ex 5彼此不对易 故一般不可能同时有确定值 Ex 4坐标算符与动量算符不对易 故一般不可同时具有确定值 3 7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系 续10 Prove 则测不准关系 平均值的平方为非负数 欲保证不等式成立 必有 同理 由于在本征态中 测量力学量有确定值 所以均方偏差必为零 即 Ex 1利用测不准关系证明 在本征态下 1 若两个厄米算符有共同本征态 它们是否就彼此对易 2 若两个厄米算符不对易 是否一定就没有共同本征态 3 若两个厄米算符对易 是否在所有态下它们都同时具有确定值 4 若 常数 和能否有共同本征态 5 角动量分量和能否有共同本征态 思考题 3 7算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系 续 8 证 归一化条件 命题 若是归一化波函数 则也归一 4 1态的表象 续 归一化条件 归一化条件的矩阵表述形式 Ex 1 4 1态的表象 续 动量本征函数 Solve 选择动量表象 展开系数 4 1态的表象 续 能量表象 本征函数 可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取 符号形式 4 1态的表象 续 Ex 2 Solve 自由粒子动量算符的本征函数 求自由粒子动量算符具有确定本征值的本征函数在动量自身表象中的形式 Ch 4Therepresentationforthestatesanddynamicalvariable 动量算符具有确定本征值的本征函数 可见 动量算符具有确定本征动量值的本征函数在动量自身表象中是以动量为变量的 函数 4 1态的表象 续 正交归一 正交归一 量子态矢量 矢量 4 1态的表象 续 讨论 1 是厄米矩阵 Prove 显而易见 对角矩阵元为实数 可见 算符在Q表象中是一个矩阵 其矩阵元为 即是厄米矩阵 4 2算符的矩阵表示 续3 例题 在Q表象的正交归一的基矢只有两个 算符有如下性质 解 由公式 得到矩阵 例题 在Q表象的正交归一的基矢只有两个 算符有如下性质 解 由公式 得到矩阵 要使本征波函数不为零 亦即要求a b c不全为零 其条件是 1 中的系数矩阵的行列式为零 1 本征值 4 3量子力学公式的矩阵表示 续8 当时 由 2 有 4 3量子力学公式的矩阵表示 续9 由归一化条件 4 3量子力学公式的矩阵表示 续10 归一化常数 归一化的波函数 当时 由 2 有 4 3量子力学公式的矩阵表示 续11 归一化的波函数 当 由 2 有 4 3量子力学公式的矩阵表示 续12 归一化条件 归一化的波函数 构成一个正交归一本征函数完备系 的对角矩阵 正交归一化条件 4 3量子力学公式的矩阵表示