2019长春高三一模数学文科试卷及答案

长春市普通高中 2019 届高三质量监测 一 数学试题卷 文科 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 复数 1 3 3 ii A 10B 10 C 10iD 10i 2 已知集合 0 1 M 则满足条件MNM 的集合N的个数为 A 1B 2C 3D 4 3 函数 3sin3cosf xxx 的最大值为 A 3B 2C 2 3D 4 4 下列函数中是偶函数 且在区间 0 上是减函数的是 A 1yx B 2 yx C 1 yx x D 2 x y 5 已知平面向量a b 满足 1 ab 若 2 0 abb 则向量a b的夹角为 A 30 B 45 C 60 D 120 6 已知 n S是等比数列 n a前n项的和 若公比2q 则 135 6 aaa S A 1 3 B 1 7 C 2 3 D 3 7 7 在正方体 1111 ABCDABC D 中 异面直线 11 AC与 1 BC所成角的余弦值为 A 0B 1 2 C 2 2 D 3 2 8 在ABC 中 内角A B C的对边分别为a b c 若 1 cos 2 baCc 则角A为 A 60 B 120 C 45 D 135 9 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准 现选择 15 名志愿者 对其身高和臂展进行测量 单 位 厘米 左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图 右图为身高与臂展所对应的散 点图 并求得其回归方程为 1 1630 75yx 以下结论中不正确的为 190 185 180 175 170 165 160 155 150 145 123456789101112 13 14 15 身高臂展 A 15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B 15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 C 可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189 65 厘米 D 身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11 6 厘米 10 我国古代数学著作 九章算术 有如下问题 今有器中米 不知其数 前人取半 中人 三分取一 后人四分取一 余米一头五升 注 一斗为十升 问 米几何 如图是解决该 问题的程序框图 执行该程序框图 若输出的2 5S 单位 升 则输入的k值为 A 4 5B 6C 7 5D 10 是 否 开始 输入k 输出S 1 nSk 1nn S SS n 4 n 结束 11 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的两个顶点分别为A B 点P为双曲线上除A B外任意一点 且点P与点A B连线的斜率分别为 1 k 2 k 若 12 3k k 则双曲线的渐 近线方程为 A yx B 2yx C 3yx D 2yx 12 已知函数 1 2 x f x x 与 1 sing xx 则函数 F xf xg x 在区间 2 6 上所有零点的和为 A 4B 8C 12D 16 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 13 24 log 4log 2 14 若椭圆C的方程为 22 1 43 xy 则其离心率为 15 函数 lnf xxx 的图象在点 1 1 f处的切线方程为 16 已知一所有棱长都是2的三棱锥 则该三棱锥的体积为 三 解答题 共 70 份 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 已知 n S是等差数列 n a的前n项和 3 7a 3 27S 1 求数列 n a的通项公式 n a 2 设13 nn ba 求 1 22 33 41 1111 nn bbb bb bb b 18 本小题满分 12 分 在四棱锥PABCD 中 平面PAD 平面ABCD 2PAPD 四边形ABCD是边 长为2的菱形 60A E是AD的中点 1 求证 BE 平面PAD 2 求点E到平面PAB的距离 E D C B A P 19 本小题满分 12 分 平面直角坐标系中 O为坐标原点 已知抛物线C的方程为 2 2 0 ypx p 1 过抛物线C的焦点F且与x轴垂直的直线交曲线C于A B两点 经过曲线C上 任意一点Q作x轴的垂线 垂足为H 求证 2 QHABOH 2 过点 2 2 D的直线与抛物线C交于M N两点且OMON ODMN 求抛 物线C的方程 20 本小题满分 12 分 某超市计划按月订购一种酸奶 每天进货量相同 进货成本每瓶 4 元 售价每瓶 6 元 未售出的酸奶降价处理 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验 每天需求 量与当天最高气温 单位 有关 如果最高气温不低于 25 需求量为 500 瓶 如果最高气 温位于区间 20 25 需求量为 300 瓶 如果最高气温低于 20 需求量为 200 瓶 为了确定 六月份的订购计划 统计了前三年六月份各天的最高气温数据 得下面的频数分布表 10 15 15 20 20 25 25 30 30 35 35 40 216362574 最高气温 天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 1 求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 2 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y 单位 元 当六月份这种酸奶一天的进货 量为 450 瓶时 写出Y的所有可能值 并估计Y大于零的概率 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 2 x f xexax a R 1 当1a 时 试判断函数 f x的单调性 2 若1ae 求证 函数 f x在 1 上的最小值小于 1 2 二 选考题 共 10 分 请考生在 22 23 题中任选一题作答 如果多做则按所做的第一题 计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 已知直线l的参数方程为 1cos sin xt yt t为参数 0 以原点为极点 x轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系 圆C的极坐标方程为 2 12 cos4 sin 1 求圆C的直角坐标方程 2 若直线l与圆C相交于A B两点 且 2 3AB 求 的值 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知0a 0b 2ab 1 求证 22 2ab 2 求证 212 1 2ab 长春市普通高中长春市普通高中 2019 届高三质量监测 届高三质量监测 一一 数学 数学 文文科 试题参考答案及评分标准科 试题参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 C 命题意图 本题考查复数的运算 试题解析 C 1 3 3 10iii 故选 C 2 D 命题意图 本题考查集合运算 试题解析 DMNM 有NM 故选 D 3 C 命题意图 本题考查三角函数的相关知识 试题解析 C由题意可知函数最大值为2 3 故选 C 4 B 命题意图 本题主要考查函数的性质 试题解析 B由函数是偶函数 排除 C 在 0 上是减函数 排除 A D 故 选 B 5 C 命题意图 本题考查平面向量的相关知识 试题解析 C由题意知 2 1 20 cos 2 a bba b 故选 C 6 A 命题意图 本题主要考查等比数列的相关知识 试题解析 A由条件可知 所求算式等于 1 3 故选 A 7 B 命题意图 本题考查线面成角 试题解析 B由题意知成角为 3 余弦值为 1 2 故选 B 8 A 命题意图 本题主要考查解三角形的相关知识 试题解析 A由正弦定理可知 1 cos 60 2 AA 故选 A 9 D 命题意图 本题主要考查统计相关知识 试题解析 D由统计学常识可知 D 选项正确 故选 D 10 D 命题意图 本题主要考查中华传统文化 试题解析 D 由题可知10k 故选 D 11 C 命题意图 本题考查双曲线的相关知识 试题解析 C由题意可知 222 2222 3 1 3 yxy xaaa 从而渐近线方程为 3yx 故选 C 12 D 命题意图 本题是考查函数图象的对称性 试题解析 D函数 g xf x 的图象关于 2 1 点对称 则 0F x 共有 8 个零点 其和为 16 故选 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 5 2 命题意图 本题考查对数运算 试题解析 由题意可知值为 5 2 14 1 2 命题意图 本题考查椭圆的相关知识 试题解析 1 2 3 1 2 abce 15 21yx 命题意图 本题考查导数的几何意义的相关知识 试题解析 由题意可得 1 1 1 2 1 1 21fxffyx x 16 1 3 命题意图 本题考查三棱锥的相关知识 试题解析 由题意可知其 2 1132 31 2 32233 V 三 解答题 17 本小题满分本小题满分 12 分分 命题意图 本题考查数列的相关知识 试题解析 解 1 由 11 27 3327adad 解得 1 11 2ad 可得132 n an 2 由 1 2 n bn 1 111 11 4 1 41 nn b bn nnn 所求式等于 1 22 33 41 111111 1 41 nn bbb bb bb bn 18 本小题满分本小题满分 12 分分 命题意图 本小题以四棱锥为载体 考查立体几何的基础知识 本题考查学生的空间 想象能力 推理论证能力和运算求解能力 试题解析 解 1 连接BD 由2PAPD E是AD的中点 得PEAD 由平面 PAD平面ABCD 可得PE 平面ABCD PEBE 又由于四边形 ABCD是边长为 2 的菱形 60 A 所以BEAD 从而 BE平面PAD 2 在PAB 中 15 2 6 2 PAB PAABPBS 111 313 322 P ABE V 所以点E到平面PAB的距离为 15 5 19 本小题满分本小题满分 12 分分 命题意图 本小题考查抛物线的相关知识 试题解析 答案 1 设 00000 0 Q xyH xQHyOHx 2ABp 从而 22 00 2 QHypxAB OH 2 由条件可知 4MNyx 联立直线MN和抛物线C 有 2 4 2 yx ypx 有 2 280ypyp 设 1122 M x yN xy 由OMON 有 1212 0 x xy y 有 1212 4 4 0yyy y 由韦达定理可求得2p 所以抛物线 2 4C yx 20 本小题满分本小题满分 12 分分 命题意图 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望 试题解析 1 这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶 当且仅当最高气温低于 25 由表格数据知 最高气温低于 25 的频率为 2 1636 0 6 90 所以这种酸奶一天的需求 量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0 6 2 当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时 若最高气温不低于 25 则 Y 6 450 4 450 900 若最高气温位于区间 20 25 则 Y 6 300 2 450 300 4 450 300 若最高气温低于 20 则 Y 6 200 2 450 200 4 450 100 所以 Y 的所有可能值为 900 300 100 Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20 由表格数据知 最高气温不低于 20 的频率为 362574 0 8 90 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0 8 21 本小题满分本小题满分 12 分分 命题意图 本小题主要考查函数与导数的相关知识 以导数为工具研究函数的方法 考查学生解决问题的综合能力 试题解析 解 1 由题可得 x fxexa 设 x g xfxexa 则 1 x gxe 所以当0 x 时 0gx fx 在 0 上单调递增 当0 x 时 0gx fx 在 0 上单调递减 所以 01fxfa 因为1a 所以10a 即 0fx 所以函数 f x在R上单调递増 6 分 2 由 1 知 fx 在 1 上单调递増 因为 1ae 所以 1 10fea 所以存在 1 t 使得 0ft 即0 t eta 即 t ate 所以函数 f x在 1 t上单调递减 在 t 上单调递増 所以当 1 x 时 222 min 111 1 222 tttt f xf tetatett teett 令 2 1 11 2 x h xexxx 则 1 0 x xxhe 恒成立 所以函数 h x在 1 上单调递减 所以 2 11 1 11 22 h xe 所以 2 11 1 22 t ett 即当 1 x 时 min 1 2 f x 故函数 f x在 1 上的最小值小于 1 2 12 分 22 本小题满分本小题满