九年级最值问题.doc

九年级数学关于中考数学中最值问题教学设计最近几年，各省份中考数学考察题中，最值问题出现的频率很多，特别是在选择题里，最值问题成为考试题的热点，主要有以下几种情况。 利用“两点之间线段最短”结合对称求最值 一、复习引入 唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传 二、 问题解决 如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A，连结AB，与河岸线相交于点P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的 如果将军在河边的另外任一点P饮马，所走的路程就是AP+PB，但是，AP+PB=AP+PBAB=AP+PB=AP+PB 可见，在P点外任何一点P饮马，所走的路程都要远一些 这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流MN相当于线段AA的中垂线，所以AD=AD。（2）由上知：将军走的路程就是AP+BP，就等于A+BP，而两点确定一线，所以P点为最优。 三、 巩固、拓展 1、 如图1所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别是AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则BPG周长的最小值是多少？ 2、 如图2所示，正方形ABCD的边长是4，点M在CD边上，且DM=1，N是AC边上一动点，则DN+MN的最小值是多少？ 3、 如图3所示，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值是多少？（结果保留根号） 如图4所示，AB、CD是半径为5的O地两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值是多少？ 利用“直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短”求最值 如图,直线l外一点P与直线上所有点的连线中，垂线段最短 一、举例 （2009陕西中考题图） A B C D N M 例（2009陕西中考）如图，在锐角 中， ， 的平分线交 于点 分别是 和 上的动点，则 的最小值是_ 解，过点B作AC的垂线，垂足为H，交AD于点M,过M作AB的垂线，垂足为N,则 的最小值就是BH 。在RtABH中， ,则BH =4 二、巩固、拓展 1、如图5所示，在ABC中，C=90,AB=5,tanA=3/4,过AB上一点P作PEAC于E,PFBC于F,垂足分别为E和F，则EF的最小值是多少？ 2、如图6所示，C=90,AB=5，BAC的平分线交BC于D,过D作DEAB交AB于E，且BE=2，则DE的长是多少？ 3、如图7，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值是多少？ 与二次函数有关的最值 一、举例 例、如图8所示，在RtABC中，,C=90,AC+BC=8，则RtABC周长的最小值是多少？ 解、设AC=x,则BC=8-x, 由勾股定理知，AB2=x2+(8-x)2=2(x-4)2+32 因此，当x=4时，AB的最小值为 二、巩固、拓展 如图9所示，正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN，当BM= 时，四边形ABCN的面积最大 整体提升 已知如图，一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距村庄M最近，行驶到Q时，距村庄N最近，请在图中公路上分别画出点P，Q；（保留作图痕迹）（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路上的哪一段路上距M，N两村越来越近在哪一段上距离村N越来越近，而离村M越来越远；（用文字说明，不必证明）（3）在公路AB上是否存在一点H，使汽车行驶到该村时，与村M，N距离相等？如果存在，请画出；如果不存在，请说明理由 （4）当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？ （5）是否存在一点P，使汽车行驶到该点时，汽车到M、N的距离之差最大？如果存在指出该点位置，如果不存在，说明理由。 平