矢量旋转变换.ppt

向量的旋转变换 西南交通大学 基础的2 D绕原点旋转 在2 D的迪卡尔坐标系中 一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出 比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况 在左图中 我们有关系 x0 R cosAy0 R sinA cosA x0 R sinA y0 R 下图中 x1 R cos A B y1 R sin A B 其中 x1 y1 就是 x0 y0 旋转角B后得到的点 也就是位置向量R最后指向的点 x1 R cos A B y1 R sin A B 我们展开cos A B 和sin A B 得到x1 R cosAcosB sinAsinB y1 R sinAcosB cosAsinB 现在把cosA x0 R sinA y0 R 代入上面的式子 得到x1 R x0 cosB R y0 sinB R y1 R y0 cosB R x0 sinB R x1 x0 cosB y0 sinBy1 x0 sinB y0 cosB现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式即 2 D旋转变换矩阵 平面旋转矩阵 平移部分 平移不是线性的 不能表示为与2 2矩阵相乘的形式 例如要从点 2 1 开始 将其旋转90度 在x方向将其平移3个单位 在y方向将其平移4个单位 可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作 i P1 B1 补充部分 平移部分 平移不是线性的 不能表示为与2 2矩阵相乘的形式 例如要从点 2 1 开始 将其旋转90度 在x方向将其平移3个单位 在y方向将其平移4个单位 可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作 后面跟一平移 与1 2矩阵相加 的线性变换 与2 2矩阵相乘 称为仿射变换 放射变换 先乘后加 可以通过乘以一个3 3的矩阵来实现 若要使其起作用 平面上的点必须存储于具有虚拟第三坐标的1 3矩阵中 通常的方法是使所有的第三坐标等于1 例如 矩阵 211 代表点 2 1 例如与单个3 3矩阵相乘的仿射变换 旋转90度 在x方向上平移3个单位 在y方向上平移4个单位 在前面的示例中 点 2 1 映射到了点 2 6 其中3 3矩阵的第三列包含数字0 0 1 对于仿射变换的3 3矩阵都是这样的 重要的数字是列1和列2中的6个数字 矩阵左上角的2 2部分表示变换的线性部分 第3行中的前两项表示平移 在使用3 3的矩阵做仿射变换时候 表示点的矩阵变成了一个1 3矩阵 这个矩阵中的最后一个值必须设置成1 对于3 3矩阵 其最后一列的值是多少是没有关系的 因为他们不会影响结果中的前两列 不过如上 经常将他们设置为0 0 1 这一列对于坐标转换的结果并没有任何影响 但是他们是必须的 因为矩阵相乘必须满足 相乘的两个矩阵第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同 平面或空间里的每个线性变换 这里就是旋转变换 都对应一个矩阵 叫做变换矩阵 对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的 把顶点和矩阵相乘 就会发现矩阵的某些项 扮演着为顶点变换 平移 旋转 缩放 提供参数的作用 前人总结出来 填哪些那些项能得到平移矩阵 缩放矩阵 旋转矩阵 比如平移矩阵 你自己拿一个顶点和它相乘 算一遍 就会发现它化简到最后一步时的算式 和顶点平移算式是一样的 旋转 缩放也是如此 那么为什么还要和矩阵相乘 直接用平移算式 旋转算式 缩放算式不就行了 不行因为靠矩阵来计算可以减少计算量 一个顶点要进行多次变换 比如平移后旋转再平移之后再缩放 用简单算式得算4遍 矩阵只要算一遍 原理就是公式 顶点 矩阵A 矩阵B 顶点 矩阵A 矩阵B 即矩阵接合律的推广 矩阵一般不遵守分配律 所以顶点变换有先后顺序 一个顶点平移再旋转 和旋转再平移 得到的位置不同 即 很容易地进行组合变换以及逆变换 机器人中可能很多关节都进行同一套变换 用简单