4.3 任意角的三角函数教案.doc

4.3 任意角的三角函数教学目标 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（2）了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号；（3）掌握公式一，会运用它们把求任意角的正弦、余弦、正切函数值分别转化为求0到360的这三种三角函数值；（4）通过树立映射的观点，建立正确理解三角函数是以实数为自变量的函数的能力；（5）体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑教学建议一、知识结构先通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切函数，并利用与单位圆有关的线段，将这些函数值分别用它们的几何形式表示出来；然后定义了任意角的正切、正割、余割函数接着着重研究正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号；并根据三角函数的定义，得出“终边相同的角的同一三角函数的值相等”的结论及把此结论表示成第一组诱导公式（公式一）二、重点、难点分析重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义及在各象限内的符号和定义域，诱导公式一；难点是用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值（1）定义中的六个比值 等，与点 在终边上的位置无关，只与角的大小有关；它们都可以看作以角为自变量，以比值为函数值的函数，分别称为正弦函数，余弦函数等（2）三角函数在各象限内的符号，是根据三角函数的定义，终边上的点坐标符号来确定的，十分重要，在今后的学习中经常用到（3）定义域也是根据三角函数的定义，要求其有意义，即分母不为0而得到角的取值范围（4）诱导公式（一）也是利用任意三角函数的定义，结合终边相同的角定义得出，即终边相同的角的同名三角函数值相等： （5）三角函数线是表示一个角三角函数值的几何方法，它们的大小即长度等于 的三角函数值的符号特别注意的是它们均有方向，即起点和终点，记法：当两个端点都在 轴上时，以原点为起点（余弦线），当两个端点有一个在轴上时，以轴上的点为起点（正弦线、余弦线），特别是正弦线和正切线在后面三角函数的图象中，用来作出正弦曲线和正切曲线，所必须清楚其意义三、关于任意角的三角函数的教法建议（1）由三角函数的定义可知，若已知角 终边上一点，便可求出其各三角函数值，或通过三角函数定义，可知其二求其一三角函数的符号与角所在象限有关，采用上图来记忆 （2）必须讲清并强调 这六个比值的大小都与点 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数（3）教学中应注意，语言要准确严密首先“六种函数统称为三角函数”这句话，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数（4）教学中，应当引导学生深刻认识三角函数符号的含义如， 这个符号，它表示 ，即角 的正弦，不能把 看成 与 的乘积，犹如 不能看成 与 的乘积一样，离开了自变量 ，符号 就没有意义了同时也应注意，每个函数记号的第一个字母“ ”或“ ”或“ ”都不能大写，不能让学生养成写“ ”、“ ”等习惯教学设计示例（一）任意角的三角函数教学目标：1通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值2掌握已知角 终边上一点坐标，求四个三角函数值（即给角求值问题）教学重点：任意角的三角函数的定义教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示教学用具：直尺、圆规、投影仪教学步骤： 1设置情境角的范围已经推广，那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题2探索研究（1）复习回忆锐角三角函数我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值，定义了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角 是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示（2）任意角的三角函数定义如图1，设 是任意角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为 ，则 定义：比值 叫做 的正弦，记作 ，即 比值 叫做 的余弦，记作 ，即 图1比值 叫做 的正切，记作 ，即 同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件提问：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢？利用三角形相似的知识，可以得出对于角 ，这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关，只与角 的大小有关请同学们观察当 时， 的终边在 轴上，此时终边上任一点 的横坐标 都等于0，所以 无意义，除此之外，对于确定的角 ，上面三个比值都是惟一确定的把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义比值 叫做 的余切，记作 ，则 比值 叫做 的正割，记作 ，则 比值 叫做 的余割，记作 ，则 可以看出：当 时， 的终边在 轴上，这时 的纵坐标 都等于0，所以 与 的值不存在，当 时， 的值不存在，除此之外，对于确定的角 ，比值 ， ， 分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数（3）三角函数是以实数为自变量的函数对于确定的角 ，如图2所示， ， ， 分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数 即：实数角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）（4）三角函数的一种几何表示利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3图3设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角 的终边（当 为第一、四象限时）或其反向延长线（当 为第二、三象限时）相交于 ，当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 ， 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段由正弦、余弦、正切函数的定义有：这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线当角 的终边在 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角 的终边在 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在（5）例题讲评【例1】已知角 的终边经过 ，求 的六个三角函数值（如图4）解： 提问：若将 改为 ，如何求 的六个三角函数值呢？（分 ， 两种情形讨论）【例2】求下列各角的六个三角函数值（1） ；（2） ；（3） 解：（1）当 时， ， ， ， 不存在， ， 不存在（2）当 时， ， ， 不存在 不存在 （3）当 时， ， 不存在 不存在【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线（1） ；（2） 解： ， 的正弦线，余弦线，正切线分别为 【例4】求证：当 为锐角时， 证明：如右图，作单位圆，当 时作出正弦线 和正切线 ，连 利用三角函数线还可以得出如下结论 的充要条件是 为第一象限角 的充要条件是 为第三象限角练习（学生板演，利用投影仪）（1）角 的终边在直线 上，求 的六个三角函数值（2）角 的终边经过点 ，求 ， ， ， 的值（3）说明 的理由 解答：（1）先确定终边位置如 在第一象限，在其上任取一点 ， ，则 ， 如 在第三象限，在终边上任取一点 ，则 ， （2）若 ，不妨令 ，则 在第二角限 （3）在 终边上任取一点 ，因为 与 终边相同，故 也为角 终边上一点，所以 成立说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径用定义求角 的三角函数值，是基本方法之一当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值3反馈训练（1）若角 终边上有一点 ，则下列函数值不存在的是（ ）A B C D （2）函数 的定义域是（ ）AB C D （3）若 ， 都有意义，则 （4）若角 的终边过点 ，且 ，则 参考答案：（1）D；（2）B；（3） 或8，说明点 在半径为 的圆上；（4）64本课小结利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置角 的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴课时作业：1已知角 的终边经过下列各点，求角 的六个三角函数值（1） （2） 2计算（1） （2） （3） （4） 3化简（1） （2） （3） （4） 参考答案：1（1） ， ， ， ， ， （2） ， ， ， ， ， 2（1）2；（2）8；（3）1；（4） 3（1）0；（2） ；（3） ；（4） 教学设计示例（二）任意角的三角函数 第二课时教学目标：1根据任意角三角函数定义，归纳出三角函数在各象限的符号，并能根据角 的某种函数值符号，反馈出 可能存在的象限2掌握诱导公式一，并能运用诱导公式把角 的三角函数值转化为 中角的三角函数值教学重点：终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点：运用诱导公式把角 的三角函数值转化为 中角的三角函数值教学用具：直尺、圆规、投影仪教学过程1设置情境设角 均是第二象限角，依三角函数定义，为了求 的四个三角函数值，只要分别在 终边上取点 、 ，由比值 ， ， ， ，及 ， ， ， 可知，这两组比值虽然不一定相等，但由于 均在第二象限，故 同号， 同号，因而可见， 的正弦、余弦、正切、余切值，符号是对应相同时。那么，当 分别为一、三、四象限时，上述性质是否仍然成立呢？下面就可讨论这一问题2探索研究（1）三角函数值的符号今后我们还要经常用到三角函数在各个象限的符号，由于从原点到角的终边上任意一点的距离 总是正值，根据三角函数定义可知，三角函数值符号取决于各象限内的坐标符号，请同学们分象限思考四个象限中三角函数值的符号观察六个三角函数，可发现 与 ， 与 ， 与 互为倒数，因此它们的符号规律相同 当 在第一、二象限时， ， ，所以 为正，而当 在第三、四象限时， ， ， 为负的同理 对于第一、四象限角是正的，而对于第二、三象限的角是负的 与 ，当 在第一、三象限时， 与 同号，所以 ， ，而当 在第二、四象限时， 与 异号， ， 现在我们将以上讨论结果整理成图1图1可以表达为正弦和余割上正下负，余弦与正割左负右正，正切与余切一、三象限为正，二、四象限为负同学们还可以自己用口诀“全正， 正， 正， 正”来记忆（2）诱导公式一上节课我们已学过同终边的角，例如 和 都与 终边位置相同 由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即 推广到一般情形，我们可得到诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等，即 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0360角的三角函数值问题（3）例题分析【例1】确定下列三角函数值符号：（1） ；（2） ；（3） 解：（1） （2） （3） 是第四象限角， 【例2】求证角 为第三象限角的充分必要条件是 ， 证明：必要性：当 为第三象限角时， ， ；充分性： 成立， 角的终边可能位于第三或第四象限，也可以位于 轴的非正半轴上；又 成立， 角的终边可能位于第一或第三象限，因为要同时成立，所以 角的终边只可能位于第三象限，于是角 为第三象限角【例3】求下列三角函数值：（1） ；（2） ；（3） 解：（1） （2） （3） 【例4】如果 在第二象限，则 的值是什么符号？解： 在第二象限， ， 【例5】若 是第二象限的角，且 ，问 是第几象限角？解： 是第二角限的角， 终边在第一或第三象限角，又 故 是第三象限的角【例6】求值： 解：原式 3反馈练习（1）已知 是第三象限角且 ，则（ ）AB C D （2）下列各式为正号的是（ ）A B C D （3）若 有意义，则 是（ ）A第一象限角B第四象限角 C第一或第四象限角D第一或第四或 轴正半轴（4）已知 的终边过点 ，且 ， ，则 的取值范围是_（5）函数 的值域是_参考答案：（1）B；（2）C；（3）C；（4） ；（5） 4本课小结（1）确定三角函数定义域时，主要应抓住三角函数定义中，比值的分母不得为零这一制约条件，当终边落在坐标轴上时，终边上任一点 的坐标中，必有一分量为0，故相应有一比值无意义（2） 时， ， 无意义，这两个函数定义域为 课时作业：1确定下列三角函数值的符号（1） （2） （3） （4） （5） （6） 2求值（1） （2） 参考答案：1（1）0 （2）0 （3）0 （4）0 （5）0 （6）0（2）解：（1）原式 （2）原式 典型例题例1 若角 的终边经过点 ，试求 的六个三角函数值和角 的集合 ，并求出集合 中绝对值最小的角如图所示分析：应先找出 的值解： ， ， 则 ， ， ， ， ， 又 ， 故 中绝对值最小的角是 说明：此例是典型的考查定义的题例2 已知角 的终边上一点 ，（ ）求角 的六个三角函数值分析：与上例一样，应先求出 及 解： ，则 ， ， ， ， ， ， 说明：此类题目应用定义解，但若此类题目没有给出 的取值范围，要分类讨论求解例3 当 为第二象限角，试求 的值分析：应先由 为第二象限角这一条件求出绝对值再求值解：当 为第二象限角时， ， ，故 说明：此类题目旨在考查对符号的判定例4 若 ，且 ，试确定 所在的象限分析：用不等式表示出 ，进而求解解： ， 在第一或第二象限，即 则 当 ，有 当 ，有 故 为第一或第三象限又由 ，可知 在第二或第三象限综上所述， 在第三象限说明：应注意在求此题的最终解答时，要找出 所在有关集合的交集例5 计算：（1） ；（2） 分析：应利用课本中给出的公式以及由此推得的下列公式化简求值 ； ； 解：（1）原式（2）原式 说明：应对特殊角的三角函数值熟练掌握，以便准确应用例6 已知 为锐角，试证： 分析：应在角 的终边上任取一点，应用三角函数的定义来解之证明：在角 的终边上任取一点 （异于原点），则 ， 为锐角， ， ，又 故 说明：（1）本例中，运用三角函数的定义，将三角函数表示为比例，从而将三角问题转化为代数问题而获解，这是一种十分重要的解题方法，应引起重视（2）本例中，应用了 ， 这种基本的不等关系应熟悉扩展资料三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。 尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来 定义三角函数，是欧拉（1707-1783）在著名的无穷小分析引论一书中首次给出的。在欧拉之前 ，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密（85-165）定半径为60；印度人阿利耶毗陀（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地 计算三角函数值曾定半径为600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段（如弦）的长。 意大利数学家利提克斯（1514-1526）改变了前人的做法，即过去一般称AB为 的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如图），而利提克斯却把它称为AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。 到欧拉时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。扩展资料三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品例如，古希腊门纳劳斯（ ，公元100年左右）著球面学，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（）著天文学大成，初步发展了三角学而在公元499年，印度数学家阿耶波多（ ）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（，约505587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分直到纳西尔丁（ - ，12011274）的横截线原理书才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（，14361476）雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的论各种三角形这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响三角学一词的英文是，来自拉丁文最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（，15611613），他在1595年出版的三角学：解三角形的简明处理中创造这个词其构成法是由三角形（）和测量（）两字凑合而成要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（，15141574）他1536年毕业于滕贝格（）大学，留校讲授算术和几何1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542年受聘为莱比锡大学数学教授雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究文艺复兴后期，法国数学家韦达（）成为三角公式的集大成者他的应用于三角形的数学定律（1579）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式如正切定律、和差化积公式等等他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值该书以直角三角形为基础对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理1722年英国数学家棣莫弗（ ）得到以他的名字命名的三角学定理（），并证明了是正有理数时公式成立；1748年欧拉（）证明了是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式，对三角学的发展起到了重要的推动作用近代三角学是从欧拉的无穷分析引论开始的他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母、表示三角形三条边，大写拉丁字母、表示三角形三个角，从而简化了三角公式使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函