2015-2019全国2卷三角函数和数列高考题 汇编（含答案解析）.doc

2020.2.18三角函数和数列高考题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1. 下列函数中，以2为周期且在区间(4,2)单调递增的是( )A. f(x)=|cos2x|B. f(x)=|sin2x|C. f(x)=cos|x|D. f(x)=sin|x|2. 已知(0,2)，2sin2=cos2+1，则sin=( )A. 15B. 55C. 33D. 2553. 在ABC中，BC=1，AC=5，则AB=()A. 42B. 30C. 29D. 254. 若f(x)=cosx-sinx在-a,a上是减函数，则a的最大值是()A. 4B. 2C. 34D. 5. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏6. 若将函数y=2sin2x的图象向左平移12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( )A. x=k2-6(kZ)B. x=k2+6(kZ)C. x=k2-12(kZ)D. x=k2+12(kZ)7. 若cos(4-)=35，则sin2=()A. 725B. 15C. -15D. -7258. 已知等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=()A. 21B. 42C. 63D. 849. 若sin=13，则cos2=()A. 89B. 79C. -79D. -8910. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24，则C= ( )A. 2B. 3C. 4D. 611. 设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为-2B. y=f(x)的图象关于直线x=83对称C. f(x+)的一个零点为x=6D. f(x)在(2,)单调递减二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）12. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c，B=3，则ABC的面积为_13. 已知sin+cos=1，cos+sin=0，则sin(+)=_14. 求函数的最大值_15. 等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则k=1n1Sk=_16. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=_17. 设数列an的前n项和为Sn，且a1=-1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=_18. 函数f(x)=cos(3x+6)在0,的零点个数为_三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19. 已知数列an和bn满足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4(1)证明：an+bn是等比数列，an-bn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式20. 记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=-7，S3=-15(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值21. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C)=8sin2B2(1)求cosB；(2)若a+c=6，ABC的面积为2，求b22. Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1()求b1，b11，b101；()求数列bn的前1000项和23. ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求sinBsinC；(2)若AD=1，DC=22，求BD和AC的长2020.2.18三角函数和数列高考题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）24. 下列函数中，以2为周期且在区间(4,2)单调递增的是( )A. f(x)=|cos2x|B. f(x)=|sin2x|C. f(x)=cos|x|D. f(x)=sin|x|【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于中档题根据正弦函数、余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解【解答】解：f(x)=sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f(x)=cos|x|的周期为2，可排除C选项；f(x)=|sin2x|在4处取得最大值，不可能在区间(4,2)上单调递增，可排除B故选A25. 已知(0,2)，2sin2=cos2+1，则sin=( )A. 15B. 55C. 33D. 255【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题由二倍角公式化简已知条件可得4sincos=2cos2，结合角的范围可求得sin0，cos0，可得cos=2sin，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin的值【解答】解：2sin2=cos2+1，由二倍角公式可得4sincos=2cos2，(0,2)，sin0，cos0，cos=2sin则有sin2+cos2=sin2+(2sin)2=5sin2=1，解得sin=55故选B26. 在ABC中，BC=1，AC=5，则AB=()A. 42B. 30C. 29D. 25【答案】A【解析】【分析】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可【解答】解：在ABC中，BC=1，AC=5，则AB=BC2+AC22BCACcosC=1+25+21535=32=42故选：A27. 若f(x)=cosxsinx在a,a上是减函数，则a的最大值是()A. 4B. 2C. 34D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题利用两角和差的正弦公式化简f(x)，由2+2kx42+2k，kZ，得4+2kx34+2k，kZ，取k=0，得f(x)的一个减区间为4,34，结合已知条件即可求出a的最大值【解答】解：f(x)=cosxsinx=(sinxcosx)=2sin(x4)，由2+2kx42+2k，kZ，得4+2kx34+2k，kZ，取k=0，得f(x)的一个减区间为4,34，由f(x)在a,a是减函数，得a4a34,a4则a的最大值是4故选：A28. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【分析】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，381=a(127)12=127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯故选B29. 若将函数y=2sin2x的图象向左平移12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( )A. x=k26(kZ)B. x=k2+6(kZ)C. x=k212(kZ)D. x=k2+12(kZ)【答案】B【解析】【分析】本题考查函数y=Asin(x+)(A0,0)图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于基础题由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移12个单位长度，得到y=2sin2(x+12)=2sin(2x+6)的图象，令2x+6=k+2(kZ)，得：x=k2+6(kZ)，即平移后的图象的对称轴方程为x=k2+6(kZ)故选B30. 若cos(4)=35，则sin2=()A. 725B. 15C. 15D. 725【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题利用诱导公式化sin2=cos(22)，再利用二倍角的余弦公式代值可得答案【解答】解：cos(4)=35，sin2=cos(22)=cos2(4)=2cos2(4)1=29251=725故选D31. 已知等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=()A. 21B. 42C. 63D. 84【答案】B【解析】解：a1=3，a1+a3+a5=21，a1(1+q2+q4)=21，q4+q2+1=7，q4+q26=0，q2=2，a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3(2+4+8)=42故选：B由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后再代入等比数列通项公式即可求本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题32. 若sin=13，则cos2=()A. 89B. 79C. 79D. 89【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题根据cos2=12sin2能求出结果【解答】解：sin=13，cos2=12sin2=1219=79故选B33. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2c24，则C= ( )A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题由SABC=12absinC=a2+b2c24得sinC=a2+b2c22ab=cosC，由此能求出结果【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为a2+b2c24，SABC=12absinC=a2+b2c24，sinC=a2+b2c22ab=cosC，0C，C=4故选C34. 设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为2B. y=f(x)的图象关于直线x=83对称C. f(x+)的一个零点为x=6D. f(x)在(2,)单调递减【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可【解答】解：对于A，函数的周期为2k，kZ，当k=1时，周期T=2，故A正确；对于B，当x=83时，cos(x+3)=cos(83+3)=cos=1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=83对称，故B正确；对于C，因为f(x+)=cos(x+3)=cos(x+3)，且，则f(x+)的一个零点为x=6，故C正确；对于D，当2x时，56x+343，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D错误故选D二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）35. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c，B=3，则ABC的面积为_【答案】63【解析】【分析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题利用余弦定理得到c2，然后根据面积公式求出结果即可【解答】解：由余弦定理有，b=6，a=2c，B=3，36=(2c)2+c24c2cos3，c2=12，故答案为6336. 已知sin+cos=1，cos+sin=0，则sin(+)=_【答案】12【解析】解：sin+cos=1，两边平方可得：sin2+2sincos+cos2=1，cos+sin=0，两边平方可得：cos2+2cossin+sin2=0，由+得：2+2(sincos+cossin)=1，即2+2sin(+)=1，2sin(+)=1sin(+)=12故答案为：12把已知等式两边平方化简可得2+2(sincos+cossin)=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin(+)=1，可得结果本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题37. 求函数的最大值_【答案】1【解析】【分析】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题根据同角三角函数的基本关系将f(x)化简，利用cosx=t换元得到一个关于t的二次函数，根据二次函数性质即可求出答案【解答】解：，令cosx=t，则t0,1，则y=t2+3t+14=(t32)2+1，当t=32时，时，ymax=1，即f(x)的最大值为1，故答案为138. 等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则k=1n1Sk=_【答案】2nn+1【解析】【分析】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可【解析】解：等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，由S4=4(a1+a4)2=2(a2+a3)=10，可得a2=2，数列的公差为1，首项为1，an=n,Sn=n(n+1)2，1Sn=2n(n+1)=2(1n1n+1)，则k=1n1Sk=2112+1213+1314+1n1n+1=2(11n+1)=2nn+1故答案为2nn+139. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b=_【答案】21132113【解析】【分析】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=asinBsinA，代入计算即可得到所求值【解答】解：由cosA=45，cosC=513，且A，B，C(0,)，可得：sinA=1cos2A=11625=35，sinC=1cos2C=125169=1213，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=35513+451213=6365，由正弦定理可得b=asinBsinA=1636535=2113故答案为211340. 设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=_【答案】1n【解析】解：an+1=Sn+1Sn，Sn+1Sn=Sn+1Sn，1Sn1Sn+1=1，又a1=1，即1S1=1，数列1Sn是以首项是1、公差为1的等差数列，1Sn=n，Sn=1n，故答案为：1n通过Sn+1Sn=an+1可知Sn+1Sn=Sn+1Sn，两边同时除以Sn+1Sn可知1Sn1Sn+1=1，进而可知数列1Sn是以首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题41. 函数f(x)=cos(3x+6)在0,的零点个数为_【答案】3【解析】【分析】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于中档题由题意可得f(x)=cos(3x+6)=0，可得3x+6=2+k，kZ，即x=9+13k，即可求出【解答】解：f(x)=cos(3x+6)=0，3x+6=2+k，kZ，x=9+13k，kZ，当k=0时，x=9，当k=1时，x=49，当k=2时，x=79，当k=3时，x=109，x0,，x=9，或x=49，或x=79，故零点的个数为3故答案为：3三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）42. 已知数列an和bn满足a1=1，b1=0，4an+1=3anbn+4，4bn+1=3bnan4(1)证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式【答案】(1)证明：4an+1=3anbn+4，4bn+1=3bnan4，4(an+1+bn+1)=2(an+bn)，4(an+1bn+1)=4(anbn)+8，即an+1+bn+1=12(an+bn)，an+1bn+1=anbn+2；又a1+b1=1，a1b1=1，an+bn是首项为1，公比为12的等比数列，anbn是首项为1，公差为2的等差数列；(2)解：由(1)可得：an+bn=(12)n1，anbn=1+2(n1)=2n1，an=(12)n+n12，bn=(12)nn+12【解析】本题主要考查了等差、等比数列的定义和通项公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于简单题(1)定义法证明即可；(2)由(1)结合等差、等比的通项公式可得43. 记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=7，S3=15(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值【答案】解：(1)等差数列an中，a1=7，S3=15，a1=7，3a1+3d=15，解得a1=7，d=2，an=7+2(n1)=2n9；(2)a1=7，d=2，an=2n9，Sn=n2(a1+an)=12(2n216n)=n28n=(n4)216，当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为16【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于基础题(1)根据a1=7，S3=15，可得a1=7，3a1+3d=15，求出等差数列an的公差，然后求出an即可；(2)由a1=7，d=2，an=2n9，得Sn=n2(a1+an)=12(2n216n)=n28n=(n4)216，由此可求出Sn以及Sn的最小值44. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C)=8sin2B2(1)求cosB；(2)若a+c=6，ABC的面积为2，求b【答案】解：(1)sin(A+C)=8sin2B2，sinB=4(1cosB)，sin2B+cos2B=1，16(1cosB)2+cos2B=1，16(1cosB)2+cos2B1=0，(17cosB15)(cosB1)=0，B为三角形内角，则cosB1，cosB=1517(2)由(1)可知，SABC=12acsinB=2，ac=172，由余弦定理可得，b2=a2+c22accosB=a2+c221721517=a2+c215=(a+c)22ac15=361715=4，b=2【解析】本题考查了三角形的内角和定理，半角公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于基础题(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=B，再利用诱导公式化简sin(A+C)，利用半角公式化简8sin2B2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB(2)由(1)可知sinB=817，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理变形即可求出b45. Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1()求b1，b11，b101；()求数列bn的前1000项和【答案】解：()Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28可得a4=4，则公差d=1