第1章数字电子技术基础.ppt

数字电子技术 II 数字电子技术课题组 第1章数字逻辑基础 学习要点 二进制 八进制 十进制与十六进制数及其相互转换逻辑代数的公式与定理逻辑函数的代数化简法逻辑函数的卡诺图化简法 难点 第1章数字电子技术基础 1 1数字电子技术基础 1 2数制与编码 1 3逻辑代数基础 1 4逻辑函数的化简 1 6逻辑函数的表示方法及其相互转换 退出 1 5逻辑函数的卡诺图化简 1 1数字电路概述 1 1 1数字信号与数字电路 1 1 2数字电路的特点与分类 退出 1 1 3数字电路中的数学工具和数制 1 1 1数字信号与数字电路 模拟信号 在时间上和数值上连续的信号 数字信号 在时间上和数值上不连续的 即离散的 信号 数字信号可能是二值 三值或多值信号 u u 模拟信号波形 数字信号波形 t t 对模拟信号进行传输 处理的电子线路称为模拟电路 对数字信号进行传输 处理的电子线路称为数字电路 数字方式与模拟方式的例子 数字钟表与模拟钟表 盒式磁带和光盘 CD播放系统 数字方式与模拟方式的优缺点 如上述例子 模拟方式的电路简单 但音质不如数字方式 模拟方式的信息经多次拷贝 音质逐渐下降 但数字方式的信息不会如此 一般来说 数字方式在信息的处理 传输和存储方面都比模拟方式更有效 更可靠 更多 1 1 2数字电路的的特点与分类 1 工作信号是二值的数字信号 它们分别对应两个不同的状态 称为二进制状态 反映在电路上就是低电平和高电平两种状态 用 L 和 H 表示 2 在数字电路中 研究的主要问题是电路的逻辑功能 即电路的输出与输入之间的逻辑关系 数字电路并不 理解 数字逻辑 它是以 电 的形式工作 为什么电路的输出与输入之间的电关系成为了逻辑关系 解释 数理逻辑中有两种逻辑状态 逻辑状态0和逻辑状态1 其含义与二进制状态所表示的含义相似 故将逻辑状态0和1分别赋值给数字电路中的低电平L和高电平H 从而电路的输出与输入之间的电关系成为了逻辑关系 因此数字电路有时也叫逻辑电路 1 数字电路的特点 2 数字电路的分类 按所用器件制作工艺的不同 数字电路可分为双极型 TTL型 和单极型 MOS型 两类 按集成度分类 数字电路可分为 1 小规模 SSI 每片十门以下 集成电路 如逻辑门和触发器 2 中规模 MSI 每片一百门以下 集成电路 如加法器 编码器 译码器 数据选择器 寄存器 计数器等 3 大规模 LSI 每片一万门以下 集成电路 如数字时钟 小容量存储芯片 A D转换器和D A转换器等 4 超大规模 VLSI 每片一百万门以下 数字集成电路 如微处理器 大容量存储芯片 A D转换器和D A转换器等 由于数字电路中处理的对象是逻辑量及其关系 因此采用的数学工具是逻辑代数 也叫布尔代数 英国数学家乔治 布尔首先提出的一种描述客观事物逻辑关系的数学方法 数字电路中的数学工具和数制 数字电路中使用的数制为二进制数和二进制编码的十进制数 BCD码 本节结束 1 2数制与编码 1 2 1数制 1 2 2数制转换 1 2 3编码 退出 1 进位制 表示数时 仅用一位数码往往不够用 必须用进位计数的方法组成多位数码 多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制 简称进位制 1 2 1数制 2 基数 进位制的基数 就是在该进位制中可能用到的数码个数 3 位权 位的权数 在某一进位制的数中 每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数 这个固定的数就是这一位的权数 权数是一个幂 数码为 0 9 基数是10 运算规律 逢十进一 即 9 1 10 十进制数的权展开式 1 十进制 Decimal 103 102 101 100称为十进制的权 各数位的权是10的幂 同样的数码在不同的数位上代表的数值不同 任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和 称权展开式 即 5555 10 5 103 5 102 5 101 5 100 又如 209 04 10 2 102 0 101 9 100 0 10 1 4 10 2 2 二进制 Binary 数码为 0 1 基数是2 运算规律 逢二进一 即 1 1 10 二进制数的权展开式 如 101 01 2 1 22 0 21 1 20 0 2 1 1 2 2 5 25 10 加法规则 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 10乘法规则 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 运算规则 各数位的权是 的幂 二进制数只有0和1两个数码 它的每一位都可以用电子元件来实现 且运算规则简单 相应的运算电路也容易实现 数码为 0 7 基数是8 运算规律 逢八进一 即 7 1 10 八进制数的权展开式 如 207 04 8 2 82 0 81 7 80 0 8 1 4 8 2 135 0625 10 3 八进制 Octal 各数位的权是8的幂 但 369 8是错的 4 十六进制 Hexadecimal 数码为 0 9 A F 基数是16 运算规律 逢十六进一 即 F 1 10 十六进制数的权展开式 如 D8 A 16 13 161 8 160 10 16 1 216 625 10 各数位的权是16的幂 说明 在数字电路和计算机中只使用二进制 八进制和十六进制不能直接使用 仅供人们书写时使用 结论 一般地 N进制需要用到N个数码 基数是N 运算规律为逢N进一 如果一个N进制数M包含 位整数和 位小数 即 an 1an 2 a1a0 a 1a 2 a m N则该数的权展开式为 M N an 1 Nn 1 an 2 Nn 2 a1 N1 a0 N0 a 1 N 1 a 2 N 2 a m N m 由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制数 1 2 2数制转换 1 二进制数转换为八进制数 将二进制数由小数点开始 整数部分向左 小数部分向右 每3位分成一组 不够3位补零 则每组二进制数便是一位八进制数 将N进制数按权展开 即可以转换为十进制数 1 二进制数与八进制数的相互转换 1101010 01 00 0 152 2 8 2 八进制数转换为二进制数 将每位八进制数用3位二进制数表示 011111100 010110 374 26 8 2 二进制数与十六进制数的相互转换 111010100 011 000 0 1D4 6 16 101011110100 01110110 AF4 76 16 二进制数与十六进制数的相互转换 按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换 3 十进制数转换为二进制数 采用的方法 除2取余法 乘2取整法原理 将整数部分和小数部分分别进行转换 整数部分采用除2取余法 小数部分采用乘2取整法 转换后再合并 整数部分采用除2取余法 先得到的余数为低位 后得到的余数为高位 小数部分采用乘2取整法 先得到的整数为高位 后得到的整数为低位 所以 44 375 10 101100 011 2 例如 将 57 10转换为二进制数 例如 将 0 724 10转换成二进制小数 可见 小数部分乘2取整的过程 不一定能使最后乘积为0 因此转换值存在误差 通常在二进制小数的精度已达到预定的要求时 运算便可结束 4 十进制数转换为N进制数 采用除N取余法 乘N取整法 可将十进制数转换为任意的N进制数 见下面的例子 例如 将 181 625 10转换为二进制数 答案 10110101 101 例如 将 3814 10转换为八进制数 答案 7346 例如 将 1002 45 10转换为十六进制数 答案 3EA 7333 对于上述例子 也可按如下方法转换 十到二到八 或十六 用一定位数的二进制数来表示十进制数码 字母 符号等信息称为编码 用以表示十进制数码 字母 符号等信息的一定位数的二进制数称为代码 1 2 3编码 二 十进制代码 用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的0 9十个数码 简称BCD码 4位二进制数的可能组合共16种 显然 BCD码有很多种 最常用的为8421BCD码 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码 因各位的权值依次为8 4 2 1 故称8421BCD码 特点 1 8421BCD码 和四位自然二进制码不同的是 它只选用了四位二进制码中前10组代码 即用0000 1001分别代表它所对应的十进制数 余下的六组代码不用 称为 伪码 2 5421BCD码和2421BCD码 5421BCD码和2421BCD码为有权BCD码 它们从高位到低位的权值分别为5 4 2 1和2 4 2 1 这两种有权BCD码中 有的十进制数码存在两种加权方法 例如 5421BCD码中的数码5 既可以用1000表示 也可以用0101表示 2421BCD码中的数码6 既可以用1100表示 也可以用0110表示 这说明5421BCD码和2421BCD码的编码方案都不是惟一的 上述表中只列出了一种编码方案 3 余3码和格雷码余3码由8421码加0011得到 格雷码是一种循环码 其特点是任何相邻的两个码字 仅有一位代码不同 其它位相同 例子 将 3065 10转换为8421BCD和5421BCD码 答案 00110000011001010011000010011000 例子 将下面数码作为自然二进制数或8421BCD码时 分别求出相应的十进制数 100010010011答案 2195 10 893 10 1 3逻辑代数基础 1 3 1逻辑代数的基本概念 1 3 2逻辑代数的公式 定理和规则 退出 事物往往存在两种对立的状态 在逻辑代数中可以抽象地表示为0和1 称为逻辑0状态和逻辑1状态 逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数 是分析和设计数字电路的数学工具 在逻辑代数中 只有 和 两种逻辑值 逻辑代数中的变量称为逻辑变量 用大写字母表示 逻辑变量的取值只有两种 即逻辑0和逻辑1 0和1称为逻辑常量 并不表示数量的大小 而是表示两种对立的逻辑状态 逻辑是指事物的因果关系 或者说条件和结果的关系 这些因果关系可以用逻辑运算来表示 也就是用逻辑代数来描述 1 3 1基本逻辑运算 1 与逻辑 与运算 与逻辑的定义 仅当决定事件 Y 发生的所有条件 如A B C 均满足时 事件 Y 才能发生 表达式为 例子 开关A B串联控制灯泡Y A B C ABC 两个开关必须同时接通 灯才亮 逻辑表达式为 A B都断开 灯不亮 A断开 B接通 灯不亮 A接通 B断开 灯不亮 A B都接通 灯亮 这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表 将开关接通记作1 断开记作0 灯亮记作1 灯灭记作0 可以作出如下表格来描述与逻辑关系 功能表 真值表 由上述真值表得到与运算规则 0 0 00 1 01 0 01 1 1 实现与逻辑的电路称为与门 与门的逻辑符号 逻辑符号 例 列出三输入与门的真值表 问题 什么情况下与门的输出为高电平1 什么情况下与门的输出为低电平0 说明 1 输入端在逻辑符号的左边 输出端在其右边 2 与门可有两个或两个以上的输入端 但只有一个输出端 2 或逻辑 或运算 或逻辑的定义 当决定事件 Y 发生的各种条件 如A B C 中 只要有一个或多个条件具备 事件 Y 就发生 表达式为 例子 开关A B并联控制灯泡Y 两个开关只要有一个接通 灯就会亮 逻辑表达式为 A B都断开 灯不亮 A断开 B接通 灯亮 A接通 B断开 灯亮 A B都接通 灯亮 实现或逻辑的电路称为或门 或门的逻辑符号 Y A B 真值表 功能表 逻辑符号 由上述真值表得到与运算规则 0 0 00 1 11 0 11 1 1 说明 1 输入端在逻辑符号的左边 输出端在其右边 2 或门可有两个或两个以上的输入端 但只有一个输出端 例 列出三输入或门的真值表 问题 什么情况下或门的输出为高电平1 什么情况下或门的输出为低电平0 3 非逻辑 非运算 非逻辑指的是逻辑的否定 当决定事件 Y 发生的条件 A 满足时 事件不发生 条件不满足 事件反而发生 表达式为 例子 开关A控制灯泡Y 例子 如果下雨 我就不去上课 条件A 下雨 满足时 事件Y 上课 不发生 实现非逻辑的电路称为非门 非门的逻辑符号 A断开 灯亮 A接通 灯灭 真值表 功能表 逻辑符号 说明 输入端在逻辑符号的左边 输出端在其右边 且非门只有一个输入端和一个输出端 运算规则 4 常用的复合逻辑运算 1 与非运算 逻辑表达式为 2 或非运算 逻辑表达式为 3 异或运算 逻辑表达式为 4 同或运算 逻辑表达式为 由上述真值表可得到它们的运算规则及特点 5 逻辑函数及其相等概念 1 逻辑表达式 由逻辑变量和与 或 非3种运算符连接起来所构成的式子 在逻辑表达式中 等式右边的字母A B C D等称为输入逻辑变量 等式左边的字母Y称为输出逻辑变量 字母上面没有非运算符的叫做原变量 有非运算符的叫做反变量 2 逻辑函数 如果对应于输入逻辑变量A B C 的每一组确定值 输出逻辑变量Y就有唯一确定的值 则称Y是A B C 的逻辑函数 记为 注意 与普通代数不同的是 在逻辑代数中 不管是变量还是函数 其取值都只能是0或1 并且这里的0和1只表示两种不同的状态 没有数量的含义 3 逻辑函数相等的概念 设有两个逻辑函数 它们的变量都是A B C 如果对应于变量A B C 的任何一组变量取值组合 Y1和Y2的值都相同 则称Y1和Y2是相等的 记为Y1 Y2 若两个逻辑函数相等 则它们的真值表一定相同 反之 若两个函数的真值表完全相同 则这两个函数一定相等 因此 要证明两个逻辑函数是否相等 只要分别列出它们的真值表 看看它们的真值表是否相同即可 证明等式 1 3 2逻辑代数的公式 定理和规则 1 逻辑代数的公式和定理 1 常量之间的关系 2 基本公式 分别令A 0及A 1代入这些公式 即可证明它们的正确性 3 基本定理 利用真值表很容易证明这些公式的正确性 如证明A B B A 摩根定律可推广到多变量的情况 4 常用公式 分配律A BC A B A C 0 1律A 1 1 分配律A B C AB AC 0 1律A 1 1 一项含A 另一项含A非 这两项的其余部分组成第三项 则该项多余 例如 已知等式 用函数Y AC代替等式中的A 根据代入规则 等式仍然成立 即有 2 逻辑代数运算的基本规则 1 代入规则 任何一个含有变量A的等式 如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替 则等式仍然成立 这个规则称为代入规则 3 对偶规则 对于任何一个逻辑表达式Y 如果将表达式中的所有 换成 换成 0 换成 1 1 换成 0 而变量保持不变 则可得到的一个新的函数表达式Y Y 称为函Y的对偶函数 这个规则称为对偶规则 例如 对偶规则的意义在于 如果两个函数相等 则它们的对偶函数也相等 利用对偶规则 可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半 例如 注意 在运用反演规则和对偶规则时 必须按照逻辑运算的优先顺序进行 先算括号 接着与运算 然后或运算 最后非运算 且在变换中 几个变量 一个以上 的公共非号保持不变 本节结束 谢谢各位 利用反演规则 可以非常方便地求得一个函数的反函数 解 例2求以下函数的反函数 解 例1求以下函数的反函数 1 4逻辑函数的代数化简法 1 4 2逻辑函数的代数化简法 退出 1 4 1逻辑函数的最简表达式 1 4 1逻辑函数的最简表达式 最简的基本准则 表达式中所含的项数最少 而每项中含的变量数也最少 但是随着集成电路的发展 这种简化准则只有理论上的意义 在实际应用中 并非以项数最少为准则 而是以使用的集成电路芯片数最少为目标 逻辑函数化简的意义 逻辑表达式越简单 实现它的电路越简单 电路工作越稳定可靠 1 4 2逻辑函数的代数化简法 1 并项法 逻辑函数的代数化简法就是运用逻辑代数的基本公式 定理和规则来化简逻辑函数 若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量 而其他因子都相同时 则这两项可以合并成一项 并消去互为反变量的因子 运用摩根定律 运用分配律 运用分配律 2 吸收法 如果乘积项是另外一个乘积项的因子 则这另外一个乘积项是多余的 运用摩根定律 利用公式 消去多余的项 如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子 则这个因子是多余的 配项法 利用公式 为某项配上其所能合并的项 消去冗余项法 例 化简函数 解 先求出Y的对偶函数Y 并对其进行化简 求Y 的对偶函数 便得 的最简或与表达式 方法2 解 先求出Y的非 并对其进行化简 由上例可知 逻辑函数的化简结果不是唯一的 代数化简法的优点是不受变量数目的限制 缺点是 没有固定的步骤可循 需要熟练运用各种公式和定理 在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验 有时很难判定化简结果是否最简 解法1 解法2 例化简逻辑函数 本节小结 逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具 利用逻辑代数 可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述 并且可以用逻辑运算的方法 解决逻辑电路的分析和设计问题 与 或 非是3种基本逻辑关系 也是3种基本逻辑运算 与非 或非 异或 同或则是由与 或 非3种基本逻辑运算复合而成的4种常用逻辑运算 逻辑代数的公式和定理是推演 变换及化简逻辑函数的依据 1 5逻辑函数的卡诺图化简法 1 5 1逻辑函数的标准形式 1 5 2逻辑函数的卡诺图化简法 1 5 3含无关项的逻辑函数的化简 退出 1 5 1逻辑函数的标准形式 一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式 或与表达式 与非 与非表达式 或非 或非表达式 与或非表达式5种表示形式 一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路 尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同 但逻辑功能是相同的 1 逻辑函数的最小项和最大项 1 n个变量的逻辑函数中 其每一包含全部变量的与项称为最小项 其每一包含全部变量的或项称为最大项 n变量逻辑函数的全部最小项 最大项均为2n个 3个变量A B C可组成8个最小项和8个最大项 3个变量A B C的8个最小项 最大项可以分别表示为 2 最小项和最大项的表示方法 通常用符号mi Mi分别表示最小项和最大项 下标i的确定 把最小项中的原变量记为1 反变量记为0 把最大项中的反变量记为1 原变量记为0 当变量顺序确定后 可以按顺序排列成一个二进制数 则与这个二进制数相对应的十进制数 就是这个最小项 最大项 的下标i 最小项与最大项之间为互补关系 2 逻辑函数的标准形式 任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和或最大项之积 它们分别称为标准与或表达式和标准或与表达式 3 逻辑函数标准形式的求法 方法一 配项法 方法二 如果列出了函数的真值表 则只要将函数值为1的那些最小项相加 便是函数的标准与或表达式 将函数值为0的那些最大项相乘 便是函数的标准或与表达式 M0 A B C 由上式可看出 两种标准形式可以相互得到 1 5 2逻辑函数的卡诺图化简法 1 卡诺图的构成与逻辑函数的卡诺图表示法 逻辑函数的卡诺图化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示 并利用卡诺图来化简逻辑函数 对于一个N变量的逻辑函数 共有2N个最小项 或最大项 如果把每一个最小项 或最大项 用一个小方格表示 并将这些小方格以格雷码顺序排列成矩阵形式 这样构成的图形就是N个变量的卡诺图 3变量卡诺图 4变量卡诺图 如果把构成逻辑函数的那些最小项所对应的小方格中填1 而在其余小方格中填0 或最大项所对应的小方格中填0 而在其余小方格中填1 就构成了该函数的卡诺图 注意变量顺序 方法一 将一般形式的逻辑函数化为标准与或表达式 答案 答案 方法二 首先化为一般的与或表达式 然后在卡诺图上对每一个与项所包含的那些最小项 该与项就是这些最小项的公因子 相对应的方格内填入1 其余的方格内填入0 变换为与或表达式 答案 2 逻辑函数的卡诺图化简的原理 逻辑相邻性的概念 两个最小项之间只有一个变量不同 其余变量相同 则称它们具有逻辑相邻性 简称逻辑相邻最小项 例如 最小项ABC和就是逻辑相邻最小项 1 几何相邻 只要小方格在几何位置上相邻 不管上下左右 它代表的最小项一定是逻辑相邻的 逻辑相邻最小项在卡诺图中的位置 2 对边相邻 即与卡诺图中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格所代表的最小项也具有逻辑相邻性 每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻 最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的 最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的 逻辑函数化简的实质就是在卡诺图中寻找逻辑相邻最小项 并将它们进行合并 两个相邻最小项可以合并为一项 并可消去一个变量 如 上述合并多个最小项的代数法过程如何在卡诺图上实现 1 任何两个 21个 标1的相邻最小项 可以合并为一项 并消去一个变量 消去互为反变量的因子 保留公因子 3 逻辑函数的卡诺图化简 如何由卡诺图直接得出合并结果 留同去变 2 任何4个 22个 标1的相邻最小项 可以合并为一项 并消去2个变量 3 任何8个 23个 标1的相邻最小项 可以合并为一项 并消去3个变量 一 用卡诺图合并最小项的原则 画圈的原则 小结 1 将取值为1的逻辑相邻小方格圈成矩形 3 每个圈内只能含有2n n 0 1 2 3 个相邻项 要特别注意对边相邻性和四角相邻性 3 圈的个数尽量少 圈内小方格的个数尽可能多 2 所有取值为1的小方格均要被圈过 即不能漏下取值为1的最小项 但它们可以多次被圈 5 每个圈对应一个合并的与项 将各合并与项相加 即得所求的最简 与或 表达式 被圈的对象 圈内相邻项的个数 对圈的要求 结果 二 卡诺图化简的基本步骤 逻辑表达式或真值表 卡诺图 1 1 合并逻辑相邻最小项 最简与或表达式 冗余项 2 2 3 3 将每个圈对应的与项相加 三点说明 a 在有些情况下 最小项的圈法不只一种 得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同 哪个是最简的 要经过比较 检查才能确定 不是最简 最简 b 在有些情况下 不同圈法得到的与或表达式都是最简形式 即一个函数的最简与或表达式不是唯一的 c 有时 用圈0的方法更简便 每个圈对应一个合并的或项 变量为0取原变量 变量为1取反变量 将各合并或项相与 即得所求的最简 或与 表达式 例题1 AC BC AB 例题2 例题3 例题4 思路 分别画出X Y的卡诺图 然后由它们得出Z的卡诺图 X的卡诺图 Y的卡诺图 Z的卡诺图 1 5 3含无关项的逻辑函数的化简 无关项 某些变量取值组合下 函数值可以是任意的 可以为0 也可以为1 或者一些变量取值组合不会出现 这些变量取值组合所对应的最小项称为无关项 也叫做约束项或随意项 1 含无关项的逻辑函数 例如 判断一位十进制数 8421BCD码 是否为偶数 输入变量A B C D取值为0000 1001时 逻辑函数Y有确定的值 根据题意 偶数时为1 奇数时为0 A B C D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现 对应的最小项属于无关项 用符号 或 d 表示 无关项之和构成的逻辑表达式叫做无关条件或约束条件 用一个值恒为0的条件等式表示 故含有无关项的逻辑函数可以表示成如下形式 2 含无关项的逻辑函数的化简 在逻辑函数的化简中 充分利用无关项可以得到更加简单的逻辑表达式 因而其相应的逻辑电路也更简单 不利用无关项的化简结果为 利用无关项的化简结果为 在化简过程中 无关项的取值可视具体情况取0或取1 具体地讲 如果无关项对化简有利 则取1 如果无关项对化简不利 则取0 例题 化简 约