第2章 离散型随机变量及分布.ppt

第二章离散型随机变量及分布 本章要点 本章引入随机变量的概念 讨论几种类型的随机变量 一 一维离散型随机变量及分布 二 二维离散随机变量及分布 及相应的分布 主要内容有 三 二维离散随机变量的边缘分布 四 独立性 一 随机变量 1 随机变量 例1设随机试验为抛硬币试验 我们以符号表示出 现的是正面 符号表示出现的是反面 为了更好的刻画 这类随机试验 我们引入量化指标 例2设随机试验为一次打靶试验 其基本结果是中与 不中 同样可以引入量化指标 例3设随机试验表示射击试验 以表示首次命中时 所进行过的射击次数 则的取值为 将上面的问题一般化 我们引入下面概念 定义设为随机试验 为样本空间 定义在上的函 数称为上的 一维 随机变量 记为 引入了随机变量以后 随机事件及相应的概率可以用 随机变量方式加以刻画 记表示 取到的一只产品是不合格品 再以表示 例如 某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时 间应该不小于小时 此时 取出的灯泡的寿命 则事件可以表示为 对应的概率可以表示为 二 概率函数 在上节的几个例子中 我们看到问题中所涉及的几个 随机变量的取值为有限多个或 可列 多个 这类随机变 量称为离散型随机变量 1 离散型随机变量和概率函数 设为离散型随机变量 的可能取值为 事件的概率为即 称上式为随机变量的分布 分布律 又称为概率函 数 上式又可用表格的形式给出 由概率的定义 容易得到 例4设袋中有5球 编号为从袋中随机地 解以表示取到球的编号 则的取值为因1 同理 取一球 以表示取到的球的编号 求的分布 号球只有一个 故 及 从而随机变量的分布律为 2 分布函数 定义设是随机变量 定义 称为随机变量的分布函数 求分布函数 解若则为不可能事件 因而 若则所以 例5设为随机变量 取值为相应的概率用 下表表示 若则所以 同理 当有 当 从而的分布函数为 分布 若随机变量的取值为0 1 相应的概率记为 则称服从分布 记为 一个只有两个基本结果的随机试验 都可转化为 分布 三 常用离散型随机变量 习惯上 分布又常写成 其中 二项分布 在重贝努利试验中 若以表示事件在次试验中 分布列为 出现的次数 则的取值为相应的概率为 其中为事件发生的概率 则称服从参数为的 在概率论中 二项分布是一个重要的分布 在许多独 二项分布 记成 立重复试验中 都具有二项分布的形式 例6设则由公式 得 而 例7已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0 01 并设 解由条件 以表示包内螺丝钉为次品的件数 则包 各个螺丝钉是否为次品是独立的 这家公司将10个螺丝 钉包成一包出售 并保证若发现包内多余一个次品就可 退款 问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大 被退回意味着故所求的概率为 被退回的概率近似等于0 43 例8设有保险公司的某保险险种有1000人投保 每个 解以随机变量表示在未来一年中这1000个投保人死 人在一年内死亡的概率为0 005 且每个人在一年内是否 死亡是相互独立的 试求在未来一年中这1000个投保人 死亡人数不超过10个人的概率 亡的人数 则相应的问题转变为求概率由 在上式中直接计算是比较 设当很大很小且适中时有 在上例中 取则有 困难的 为此我们引入一个简便的计算方法 即二项 分布的逼近 即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人 的概率为0 986 泊松分布 设随机变量的取值为相应的分布律 则称随机变量服从参数为的泊松分布 记为 泊松分布的计算 查表 为 例9设求 解查表得 例10设某小区有电梯200部 每台电梯发生故障的可 在同一时刻恰好有5部电梯发生故障的概率 在同一时刻至少有3部电梯发生故障的概率 配备多少维修工人 使能以95 的概率 保证当电梯 解以表示在同一时刻发生故障的电梯数 则由条件 取所以 能性为0 02 求 发生故障时 有维修工人进行维修 得 由计算公式 得 记配备的维修工人数为若能有维修工人能进行维 修 则所以原问题由概率来反映 即为 从而查表得 故取即配备8名维修人员 使能以95 的概率 保证当电梯发生故障时 一定有维修工人进行维修 几何分布 设随机变量的取值为 相应的概率函数为 称随机变量服从参数为的几何分布 记为 例11设服从参数为的几何分布 证明 其中为任意非负整数 证由几何分布的概率函数得 等比级数求和 由前式 四 二维随机变量及分布 设是随机试验 是相应的样本空间 一个从到 的二元函数即称为一个二维随机变量 记为 称随机变量的取值规律及相应的概率为的 二维分布 1 联合概率函数 设为二维随机变量 若它的取值为有限多个或 设为二维随机变量 取值为 称 式为随机变量的分布律或联合概率函数 可列多个 则称为二维离散型随机变量 相应的概率为 式又可用分布表的形式给出 由概率的定义不难得到 由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量 落在平面上某个区域中的概率 例12设袋中有5球 编号为今从袋中取二球 解由条件 随机变量的可能取值为因号 当先取号球 此时还剩4球 其中2号球有2个 故 不放回 分别以表示第一 二次取到的球的编 号 求的分布律 球只有一个 故 相仿地 有 由此得到分布表 2 边缘概率函数 设为二维离散型随机变量 取值为 由此 随机变量的取值为相应的概率 为 联合概率函数为 称其为随机变量的边缘概率函数 同样定义 称其为随机变量的边缘概率函数 例13设二维随机变量有概率函数 求边缘概率函数 解对上表分别作行和及列和 得 由此得边缘概率函数分别为 及 例14袋中有10个球 其中红球8个 白球2个 从袋中随 机取2次球 每次一个 不放回 定义 求的联合分布律及边缘分布律 解由要求 二维随机变量的可能取值只有四个 又 事件 表示第一和第二次取到的都是 红球 因而 同理 由此得到联合分布律为 相应的边缘分布律为 及 五 随机变量的独立性与条件分布 1 随机变量的独立性 在上一目的例12中 若采用放回抽样 则联合概率函 数和边缘概率函数分别为 注意到 此时对任意的 有 上式表明事件 是独立的事件 由此引入下面的定义 定义设随机变量的联合概率函数为 如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积 即 则称随机变量与相互独立 例15设是二维随机变量 相应的分布律为 解因随机变量的边缘分布分别为 判断是否独立 因所以随机变量是不独立的 2 条件概率函数 一般情况下 随机变量中的两个随机变量的取 值时相互影响的 我们用条件概率来考察这种影响 设与的联合概率函数为 如果已知事件发生 其中固定 那么条件概 率 上式中的必须满足 定义设随机变量的概率函数为 对于任意的一个固定的 称 为已知发生的条件下 记作 的条件概率函数 或条件分布律 或条件概率分布 类似地 对于任意一个固定的 称 为已知发生的条件下 记作 的条件概率函数 或条件分布律 或条件概率分布 值得注意的事 一般情况下 随着固定下标的改变 条件分布也将呈现不同的形式 若随机变量独立时 则条件分布呈现相同的形式 例16设随机向量的联合概率函数为 求 已知事件 发生时的条件概率函数 已知事件 发生时的条件概率函数 解由条件概率函数的定义得到 因 所以 同理可得其它概率 由此得条件分布律 因 所以 同理可得其它概率 由此得条件分布律 六 随机变量函数的分布 1 一维随机变量函数的概率函数 设是离散型随机变量 概率函数为 即有分布列 若为一已知函数 则随机变量的 取值为 则相应的概率函数为 例14设为离散型随机变量 概率函数为 求随机变量的分布 解1 因函数为单调函数 所以 所以随机变量的概率函数为 随机变量的取值为又 2 的取值为而 由此得到相应的概率函数为 例15设有概率函数 求的概率函数 解的取值为而 所以相应的分布列为 设是二维离散型随机变量 相应的分布律为 设为任意一个二元函数 则随机变量 的相应取值为 相应的概率 为 2 二维随机变量的函数的分布 例16设是二维离散型随机变量 分布列为 求 的概率函数 解 则的取值为相应 的概率为 此时 的取值为 同理可计算出其它概率 由此得概率分布为 此时 的取值为 同理可计算其它概率 由此得概率分布为 例17设是二维离散型随机变量 分布列为 求 的概率分布 解 则的取值为 相应的概率为 同理可计算其它概率 由此得分布率为 此时 的取值为相应的 分布为 此时 的取值为相应的 概率分布为 例18设为二维随机变量 且服从区域上的均 匀分布 其中 记 求的联合分布 解由条件知 随机变量的联合密度函数为 其它 则 注意到只有四个取值 相应的 概率为 所以 所以 联合分布为 例19设与独立 且都服从参数为1的指数分布 记 试求的密度函数 试证服从参数为2的指数分布 解由已知条件 得随机变量及的分布函数分别为 的分布函数 所以相应的密度为 所以 即 服从参数为2的指数分布 例20设二维随机变量的两个边缘概率函数分别 为 已知与相互独立 求下列随机变量的概率函数 解二维随机变量的联合概率函数为 由独立性 的取值为 且 同理可得其它情况 由此得到概率函数 的取值为 同理可得其它情况 由此得到概率函数 定理设是独立同分布的随机变量 且 记 则 定理设相互独立 当时 当时 定理设是相互独立的随机变量 对于 任意一个整数 随机变量 与 相互独立 注意该定理的逆命题并不成立 七 部分作业解答 2 2试确定常数使得下列函数成为概率函数 解 因 因 2 4已知随机变量的概率函数如下表 求一元二次方程 有实数根的 概率 解因方程有实数根 此时 因而 相应的概率为 2 6设随机变量 已知 试求 解因 即有 由此得 所以 2 10某地有个人参加了人寿保险 每人缴纳保险 金元 年内死亡时家属可以从保险公司领取元 假定该地年内人口死亡率为 且死亡是相对独立 的 求该公司年内赢利不少于元的概率 解设表示该地区一年内死亡的人数 则 所求概率为 此时 所以 现的点数 表示次出现的点数的最大者 试求 与的联合概率函数 与 的边缘概率函数 解 因 表示掷出的点数均为 所以 2 14把一颗骰子独立地向上抛次 设表示第次出 同样 所以 而 为不可能事件 所以 注意到 表示第一个点数为第二个点数为 表示第一个点数为第二个点 可以是或是 所以 同理可得其它概率 由此得联合概率函数 由上表容易得到 边缘概率函数为 对角线的和 2 17设与独立同分布 它们都服从分布 试求的联合概率函数 解由条件得与的概率函数分别为 再由独立性得联合概率函数为 2 18设随机变量的联合概率函数如下表 试问各取何值时 与相互独立 解边缘分布为 由独立性得 行和 列和 再由 2 19已知随机变量与的概率函数为 已知 试求的联合概率函数 是否相互独立 为什么 解因 所以 设联合概率函数及边缘概率函数分别为 由此得 所以 联合概率函数为 因 所以