椭圆综合测试题(含答案).doc

精品文档 椭圆测试题椭圆测试题 一 选择题 一 选择题 本大题共本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 分 1 离心率为 3 2 长轴长为 6 的椭圆的标准方程是 A B 或 22 1 95 xy 22 1 95 xy 22 1 59 xy C D 或 22 1 3620 xy 22 1 3620 xy 22 1 2036 xy 2 动点 P 到两个定点 4 0 4 0 的距离之和为 8 则 P 点的轨迹为 1 F 2 F A 椭圆 B 线段 C 直线 D 不能确定 12 FF 12 FF 3 已知椭圆的标准方程 则椭圆的焦点坐标为 2 2 1 10 y x A B C D 10 0 0 10 0 3 3 0 4 已知椭圆上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3 则 P 到另一焦点的距离是 22 1 59 xy A B 2 C 3 D 62 53 5 如果表示焦点在 x 轴上的椭圆 则实数 a 的取值范围为 22 2 1 2 xy aa A B C D 任意实数 R 2 2 12 1 2 6 关于曲线的对称性的论述正确的是 A 方程的曲线关于 X 轴对称 22 0 xxyy B 方程的曲线关于 Y 轴对称 33 0 xy C 方程的曲线关于原点对称 22 10 xxyy D 方程的曲线关于原点对称 33 8xy 7 方程 a b 0 k 0 且 k 1 与方程 a b 0 表示的椭圆 22 22 1 xy kakb 22 22 1 xy ab A 有相同的离心率B 有共同的焦点C 有等长的短轴 长轴 D 有相同的顶点 8 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交 于AB 两点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 9 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 A B C D 5 4 5 3 5 2 5 1 10 若点 O 和点 F 分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则OP FP A的最 大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 精品文档 11 椭圆 22 22 10 xy a ab b 的右焦点为 F 其右准线与x轴的交点为A 在椭圆上存在点 P 满足线 段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率的取值范围是 A 0 2 2 B 0 1 2 C 21 1 D 1 2 1 12 若直线yxb 与曲线 2 34yxx 有公共点 则 b 的取值范围是 A 1 2 2 12 2 B 12 3 C 1 12 2 D 1 2 2 3 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 共小题 共 20 分分 13 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 14 椭圆上一点 P 与椭圆两焦点 F1 F2的连线的夹角为直角 则 Rt PF1F2的面积为 22 1 4924 xy 1515 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段BF的延长线交C于点D 且 则C的离心率为 DFFB2 16 已知椭圆 2 2 1 2 x cy 的两焦点为 12 F F 点 00 P xy满足 2 2 0 0 01 2 x y 则 1 PF 2 PF 的取值范 围为 三 解答题 三 解答题 本大题共本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 已知点 M 在椭圆上 M垂直于椭圆焦点所在的直线 垂足为 并且 M 为 22 1 259 xy P P 线段的中点 求点的轨迹方程 P PP 18 12 分 椭圆的焦点分别是和 已知椭圆的离心率过中心作直 22 1 045 45 xy m m 1 F 2 F 5 3 e O 线与椭圆交于 A B 两点 为原点 若的面积是 20 求 1 的值 2 直线 AB 的方程O 2 ABFAm 精品文档 19 12 分 设 1 F 2 F分别为椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab 的左 右焦点 过 2 F的直线l与椭圆C 相 交于A B两点 直线l的倾斜角为60 1 F到直线l的距离为2 3 求椭圆C的焦距 如果 22 2AFF B 求椭圆C的方程 20 12 分 设椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AFFB I 求椭圆 C 的离心率 II 如果 AB 15 4 求椭圆 C 的方程 精品文档 2121 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等 若 存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 22 12 分 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率 e 3 2 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 面积为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 4 2 AB 5 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 Qy0 0 在线段 AB 的垂直平分线上 且 求 y0的值 4QQ BA 精品文档 椭圆参考答案椭圆参考答案 1 选择题 选择题 题号题号123456789101112 答案答案BBCCBCABBCDD 8 8 命题意图 本试题主要考察椭圆的性质与第二定义 解析 设直线 l 为椭圆的有准线 e 为离心率 过 A B 分别作 AA1 BB1垂直于 l A1 B 为垂足 过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E 由第二定义得 由 得 即 k 故选 B 9 9 1010 解析 由题意 F 1 0 设点 P 00 xy 则有 22 00 1 43 xy 解得 2 2 0 0 3 1 4 x y 因为 00 1 FPxy 00 OPxy 所以 2 000 1 OP FPx xy 00 1 OP FPx x 2 0 3 1 4 x 2 0 0 3 4 x x 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x 因为 0 22x 所以当 0 2x 时 OP FP 取得最大值 2 2 236 4 选 C 命题意图 本题考查椭圆的方程 几何性质 平面向量的数量积的坐标运算 二次函数的单调性与最 值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算能力 精品文档 11 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 12 2010 湖北文数 湖北文数 9 若直线yxb 与曲线 2 34yxx 有公共点 则 b 的取值范围是 A 1 2 2 12 2 B 12 3 C 1 12 2 D 1 2 2 3 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 共小题 共 16 分分 13 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 14 椭圆上一点 P 与椭圆两焦点 F1 F2的连线的夹角为直角 则 Rt PF1F2的面积为 22 1 4924 xy 1515 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 16 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段BF的延长线交 精品文档 C于点D 且BF2FD uu ruur 则C的离心率为 3 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程 与几何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数 形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几何性质可寻求到简化 问题的捷径 解析 1 如图 22 BFbca 作 1 DDy 轴于点 D1 则由BF2FD uu ruur 得 1 2 3 OFBF DDBD 所以 1 33 22 DDOFc 即 3 2 D c x 由椭圆的第二定义得 22 33 22 acc FDea ca 又由 2 BFFD 得 2 3 2 c aa a 3 3 e 解析 2 设椭圆方程为第一标准形式 22 22 1 xy ab 设 22 D xy F 分 BD 所成的比为 2 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 代入 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 16 2010 湖北文数 湖北文数 15 已知椭圆 2 2 1 2 x cy 的两焦点为 12 F F 点 00 P xy满足 2 2 0 0 01 2 x y 则 1 PF 2 PF 的取值范围为 答案 2 2 2 0 解析 依题意知 点 P 在椭圆内部 画出图形 由数形结合可得 当 P 在原点处时 12max 2 PFPF 当 P 在椭圆顶点处时 取到 12max PFPF 为 21 21 2 2 故范围为 2 2 2 因为 00 xy 在椭圆 2 2 1 2 x y 的内部 则直线 xO y B F 1 D D 精品文档 0 0 1 2 x x y y 上的点 x y 均在椭圆外 故此直线与椭圆不可能有交点 故交点数为 0 个 二二 填空题 填空题 13 1414 2424 1515 3 3 1616 2 2 2 03 5 三三 解答题 解答题 17 解 设点的坐标为 点的坐标为 由题意可知p p x ym 00 xy 因为点在椭圆上 所以有 0 0 0 0 2 2 y y xx xx yy m 22 1 259 xy 把 代入 得 所以 P 点的轨迹是焦点在轴上 标准方程为 22 00 1 259 xy 22 1 2536 xy y 的椭圆 22 1 2536 xy 18 解 1 由已知 得 5 3 c e a 453 5a 5c 所以 222 452520mbac 2 根据题意 设 则 所 21 2 20 ABFF F B SS AA B x y 1 2 12 1 2 F F B SFFy A A 12 210FFc 以 把代入椭圆的方程 得 所以点的坐标为 所以直4y 4y 22 1 4520 xy 3x B34 或或或 线 AB 的方程为 44 33 yxyx 或 1919 20102010 辽宁文数 辽宁文数 20 本小题满分 12 分 设 1 F 2 F分别为椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab 的左 右焦点 过 2 F的直线l与椭圆C 相交于A B两点 直线l的倾斜角为60 1 F到直线l的距离为2 3 求椭圆C的焦距 如果 22 2AFF B 求椭圆C的方程 解 设焦距为2c 由已知可得 1 F到直线 l 的距离32 3 2 cc 故 精品文档 所以椭圆C的焦距为 4 设 112212 0 0 A x yB xyyy 由题意知直线l的方程为3 2 yx 联立 22224 22 22 3 2 3 4 330 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3 22 3 22 33 baba yy abab 因为 2212 2 2 AFF Byy 所以 即 22 2222 3 22 3 22 2 33 baba abab 得 22 3 4 5 aabb 而所以 故椭圆C的方程为 22 1 95 xy 20 2010 辽宁理数 辽宁理数 20 本小题满分 12 分 设椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AFFB III 求椭圆 C 的离心率 IV 如果 AB 15 4 求椭圆 C 的方程 解 设 1122 A x yB xy 由题意知 1 y 0 2 y 0 直线 l 的方程为 3 yxc 其中 22 cab 联立 22 22 3 1 yxc xy ab 得 22224 3 2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3 2 3 2 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB 所以 12 2yy 精品文档 即 22 2222 3 2 3 2 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a 6 分 因为 21 1 1 3 AByy 所以 2 22 24 315 343 ab ab 由 2 3 c a 得 5 3 ba 所以 515 44 a 得 a 3 5b 椭圆 C 的方程为 22 1 95 xy 12 分 2121 20102010 北京理数北京理数 19 本小题共 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积 等于 1 3 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等 若 存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 I 解 因为点 B 与 A 1 1 关于原点O对称 所以点B得坐标为 1 1 设点P的坐标为 x y 由题意得 111 113 yy xx A 化简得 22 34 1 xyx 故动点P的轨迹方程为 22 34 1 xyx II 解法一 设点P的坐标为 00 xy 点M N得坐标分别为 3 M y 3 N y 则直线AP的方程为 0 0 1 1 1 1 y yx x 直线BP的方程为 0 0 1 1 1 1 y yx x 令3x 得 00 0 43 1 M yx y x 00 0 23 1 N yx y x 于是PMNA得面积 精品文档 2 000 0 2 0 3 1 3 2 1 PMNMN xyx Syyx x A 又直线AB的方程为0 xy 2 2AB 点P到直线AB的距离 00 2 xy d 于是PABA的面积 00 1 2 PAB SAB dxy A A 当 PABPMN SS AA 时 得 2 000 00 2 0 3 1 xyx xy x 又 00 0 xy 所以 2 0 3 x 2 0 1 x 解得 0 5 3 x 因为 22 00 34xy 所以 0 33 9 y 故存在点P使得PABA与PMNA的面积相等 此时点P的坐标为 533 39 解法二 若存在点P使得PABA与PMNA的面积相等 设点P的坐标为 00 xy 则 11 sin sin 22 PAPBAPBPMPNMPN AA 因为sinsinAPBMPN 所以 PAPN PMPB 所以 00 0 1 3 3 1 xx xx 即 22 00 3 1 xx 解得 0 x 5 3 因为 22 00 34xy 所以 0 33 9 y 故存在点PS 使得PABA与PMNA的面积相等 此时点P的坐标为 533 39 2222 20102010 天津文数 天津文数 21 本小题满分 14 分 精品文档 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率 e 3 2 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 4 2 AB 5 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 Qy0 0 在线段 AB 的垂直平分线上 且QA QB 4 A 求y0的值 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公式 直线的倾 斜角 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想 考查综合分 析与运算能力 满分 14 分 解 由 e 3 2 c a 得 22 34ac 再由 222 cab 解得 a 2b 由题意可知 1 224 2 ab 即 ab 2