高三数学不等式的证明教案15.doc

高三数学不等式的证明教案15 6.3不等式的证明I一、明确复习目标1理解不等式的性质和证明;2掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。二建构知识网络1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：（1）比差法：步骤是：作差；分解因式或配方；判断差式符号；（2）比商法：要证a b且b 0，只须证 1。说明：作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号；2.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。3. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程4对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。5. 要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。三、双基题目练练手1.设0x1，则a= x，b=1+x，c= 中最大的一个是 ( )A.aB.bC.cD.不能确定2.（2005春上海）若a、b、c是常数，则“a0且b24ac0”是“对任意xR，有ax2+bx+c0”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 设 （0，+），则三个数 ， ， 的值 （ ）A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于24.对于满足0 4的实数 ，使 恒成立的 的取值范围是 5若a、bR，有下列不等式：a2+32a；a2+b22（ab1）；a5+b5a3b2+a2b3；a+ 2.其中一定成立的是_.6.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,则v1与v2的大小关系为_.简答:1-3.CAD; 4. ; 5. ; 6.设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2v0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t= + = ，平均速度v1= = .v1v2= v2= 0，v1v2.答案：v1v2四、经典例题做一做【例1】（1）已知a,bR,求证: a2+b2+1 ab+a（2）设 求证 证明：（1）p= a2+b2+1-ab-a= = 显然p 0 得证（2）证法一:左边-右边= = = = 原不等式成立。证法二:左边 0，右边 0。 原不等式成立。提炼方法:比较法.作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。 【例2】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca0.证明法一：（综合法）a+b+c=0，（a+b+c）20.展开得ab+bc+ca= ，ab+bc+ca0.法二：（分析法）要证ab+bc+ca0，a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca（a+b+c）2，即证a2+b2+c2+ab+bc+ca0，亦即证 （a+b）2（bc）2（ca）20而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，原不等式成立.证法三：a+b+c=0，c=a+b.ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab（a+b）2a2b2ab（a ）2 0ab+bc+ca0.【例3】已知 的三边长为 且 为正数.求证: 证明一:分析法: 要证 只需证 在ABC中, 式成立,从而原不等式成立.证明二:比较法: 证明二: 因为 为 的三边长, 所以 【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）x=0的两根x1、x2满足1x1x2 .（1）当x（0，x1）时，证明xf（x）x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0 .证明：（1）令F（x）=f（x）x，x1、x2是方程f（x）x=0的根，F（x）=a（xx1）（xx2）.当x（0，x1）时，由于x1x2，（xx1）（xx2）0.又a0，得F（x）=a（xx1）（xx2）0，即xf（x）.又x1f（x）=x1x+F（x）=x1x+a（x1x）（xx2）=（x1x）1+a（xx2），0xx1x2 ，x1x0，1+a（xx2）=1+axax21ax20，x1f（x）0，即f（x）x1.综上，可知xf（x）x1.（2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2- )x+ax1x2 对称轴为x=x0= = , ( )法2:由题意知x0= .x1、x2是方程f（x）x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b1）x+c=0的根，x1+x2= .x0= = = .又ax21，x0 = .题目点评:函数或数列中的不等式,是高考中的一大类题目,应予以特别的关注,体会方法,积累经验.【研讨.欣赏】已知a1，m0，求证：loga（a+m）loga+m（a+2m）.证法1： 取对数得：lg(a+m)lga lg(a+2m)lg(a+m)0 又 lga log(a+m) 即 得: 即loga（a+m）loga+m（a+2m）(常见形式logn(n+1) log(n+1)(n+2)法2：loga（a+m）log（a+m）（a+2m）= = a1，m0，lga0，lg（a+2m）0，且lgalg（a+2m）.lga lg（a+2m）（ ）2= 2 2=lg2（a+m）. 0.loga（a+m）log（a+）（a+2m）. 提炼方法:1.综合法,为什么想到用“ ”感觉式子的结构特征;2.比较法.把对数的积用均值 不等式化为对数的和是一步关键的决择.五提炼总结以为师1.比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.步骤是：作差变形(分解因式或配方)判断符号.对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.2.对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用.4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。同步练习 6.3不等式的证明I 【选择题】1.设x0，y0，且xy（x+y）=1，则 ( )A.x+y2 +2B.x+y2 +2C.x+y（ +1）2D.x+y（ +1）22.若0 a b且a+b=1，则四个数 ，b，2ab，a2+b2中最大的是 ( )A. B、b C、2ab D、a2+b23.已知x 0，f(x)= ，则A、f(x)2 B、f(x)10 C、f(x)6 D、f(x)34.已知 ， （a 2），则AA、p q B、p q C、pq D、pq【填空题】5.要使不等式 对所有正数x，y都成立，则k的最小值是_6. 给出下列不等式,其中正确不等式的序号是_ ；， 练习简答：1-4. BBCA； 5. ; 6. (2)(3)【解答题】7.(1)已知a、b、x、yR+且 ，xy. 求证： (2) 若a0，b0，a3+b3=2求证a+b2，ab1证明(1)法一.（作差比较法） = ，又 且a、bR+，ba0.又xy0，bxay. 0，即 .证法二：（分析法）x、y、a、bR+，要证 ，只需证明x（y+b）y（x+a），即证xbya.而由 0，ba0.又xy0，知xbya显然成立.故原不等式成立.(2) (作差比较法)因为a0，b0，a3+b3=2，所以(ab)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a3+b3)=-3(a+b)(a-b)20，即 (a+b)323又a+b 0,a+b2. 又 ab1.8己知 都是正数，且 成等比数列，求证： 证明: 成等比数列， 都是正数， 9. 设x 0,y 0且xy,求证 证明：由x 0,y 0且xy,要证明 只需 即 只需 由条件,显然成立.原不等式成立10. 求证：在非RtABC中，若ab，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+hab+hb.证明：设S表示ABC的面积，则S= aha= bhb= absinC.ha=bsinC，hb=asinC.（a+ha）（b+hb）=a+bsinCbasi