第3章 随机过程.ppt

通信原理 第7版 樊昌信曹丽娜编著 随机过程 第3章 随机过程的基本概念平稳 高斯 窄带过程的统计特性正弦波加窄带高斯过程的统计特性随机过程通过线性系统高斯白噪声和带限白噪声 本章内容 第3章随机过程 3 1 随机过程de基本概念 t t1 t2 定义 属性 特性描述 何谓随机过程 5 随机过程基本概念 随机过程的数字特征1 均值 a t t 的均值是时间的确定函数 常记作a t 它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 一维分布函数 一维概率密度函数 3 1 1随机过程的分布函数 二维分布函数 二维概率密度函数 描述孤立时刻的统计特性 n维分布函数 n维概率密度函数 摆动中心 方差 偏离程度 当a t 0时 t的确定函数 均值 描述随机过程的主要特性 3 1 2随机过程的数字特征 令 则有 互相关函数 自相关函数 同一过程的关联程度 两个过程的关联程度 3 2 平稳随机过程 11 3 2平稳随机过程 通信系统中所遇到的信号及噪声 大多数可视为平稳的随机过程 以后讨论的随机过程除特殊说明外 均假定是平稳的 且均指广义平稳随机过程 简称平稳过程 狭义平稳 随机过程的统计特性与时间起点无关 一维分布与时间t无关 二维分布只与间隔 有关 广义平稳 均值与时间t无关 相关函数仅与 有关 注意 3 2 1定义 13 3 2 2平稳随机过程 二 各态历经性 问题的提出 我们知道 随机过程的数字特征 均值 相关函数 是对随机过程的所有样本函数的统计平均 但在实际中常常很难测得大量的样本 这样 我们自然会提出这样一个问题 能否从一次试验而得到的一个样本函数x t 来决定平稳过程的数字特征呢 14 3 2平稳随机过程 二 各态历经性 设 x t 是平稳过程 t 的任意一次实现 样本 若 即 过程的数字特征 统计平均 完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替 设x t 是平稳过程的任一个实现 它的时间平均值为 遍历 注意 意义 含义 3 2 2各态历经性 遍历性 16 各态历经 的含义 随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态 因此 在求解各种统计平均 均值或自相关函数等 时 无需作无限多次的考察 只要获得一次考察 用一次实现的 时间平均 值代替过程的 统计平均 值即可 从而使测量和计算的问题大为简化 各态历经的随机过程一定是平稳过程在通信系统中所遇到的随机信号和噪声 一般均能满足各态历经条件 各态历经性 1 2 3 4 5 平均功率 直流功率 交流功率 方差 偶函数 上界 重要性质 3 2 3平稳过程的自相关函数 样本的功率谱 统计平均 过程的功率谱 截短函数 3 2 4平稳过程的功率谱密度 PSD 当 0时 有 平稳过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换 维纳 辛钦定理 PSD性质 偶函数 非负性 自相关函数的意义 作用 功率谱密度的意义 作用 课件制作 曹丽娜 西安电子科技大学通院 Q A 参见 通信原理 第7版 学习辅导与考研指导 31页中的3 2节难点 疑点 解题思路 第1步 判断是否平稳 即求其统计平均值 若均值为常数 且自相关函数只与时间间隔 有关 则是广义平稳的 第2步 求的时间平均值 第3步 比较统计平均值和时间平均值 参见教材41页 解题过程 3 3 高斯随机过程 1 若广义平稳 则严 狭义 平稳 2 若互不相关 则统计独立 3 若干个高斯过程的代数和仍是高斯型 4 高斯过程 线性变换 高斯过程 3 3 1定义 3 3 2重要性质 关于直线x a对称 性质 集中程度 a 分布中心 一维概率密度函数 记为 a 2 3 3 3高斯随机变量 误差函数 正态分布函数 补误差函数 自变量的递增函数 自变量的递减函数 课件制作 曹丽娜 西安电子科技大学通院 利用误差函数 可将F x 表示为 意义 28 3 2平稳随机过程 本课常见信号变换对 门函数 指数函数 正弦函数 29 3 2平稳随机过程 时移 频移 尺度 卷积定理 30 3 2平稳随机过程 满足平稳性质 各态经历 时间平均统计平均 时域 频域 条件1 1 其均值与t无关 为常数a 2 自相关函数只与时间间隔 有关 条件2 小结 3 4 西安电子科技大学通信工程学院 课件制作 曹丽娜 平稳随机过程通过线性系统 32 平稳随机过程通过线性系统 若输入过程是平稳的 输出过程是否平稳 输入信号与输出信号的统计关系如何 如何求输入过程的均值与自相关函数 33 平稳随机过程通过线性系统 随机信号通过线性系统 假设 i t 是平稳的输入随机过程 a 均值 Ri 自相关函数 Pi 功率谱密度求输出过程 o t 的统计特性 即它的均值 自相关函数 功率谱以及概率分布 随机信号通过线性系统的分析 完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的 若输入有界且系统是物理可实现的 则有 设 则 或 35 平稳随机过程通过线性系统 对下式两边取统计平均 得到 1 输出过程 o t 的均值 36 平稳随机过程通过线性系统 由于设输入过程是平稳的 则有 H 0 是线性系统在f 0处的频率响应 可见输出过程的均值是常数 37 3 4平稳随机过程通过线性系统 2 输出过程 o t 的自相关函数 根据自相关函数的定义 38 3 4平稳随机过程通过线性系统 根据输入过程的平稳性 有于是 输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数 通过对输出过程的数学期望和自相关函数证明 若线性系统的输入是平稳的 则输出也是平稳的 39 3 4平稳随机过程通过线性系统 3 输出过程 o t 的功率谱密度 令 代入上式 得到 40 3 4平稳随机过程通过线性系统 结论 输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方 应用 由Po f 的反傅里叶变换求Ro 41 3 4平稳随机过程通过线性系统 4 输出过程Po t 的概率分布如果线性系统的输入过程是高斯型的 则系统的输出过程也是高斯型的 因为从积分原理看 可以表示为 42 3 4平稳随机过程通过线性系统 由于已假设 i t 是高斯型的 则输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和 注意 与输入高斯过程相比 输出过程的数字特征已经改变了 是线性系统的直流增益 西安电子科技大学通院 平稳 高斯 平稳 高斯 常数 常数 是功率增益 3 5 窄带随机过程 通过窄带系统的随机信号或噪声 窄带条件 示意图 可视为包络缓慢变化的正弦波 表达式 包络相位形式 同相正交形式 随机包络 随机相位 同相分量 正交分量 两者关系 统计特性 3 5 1同相和正交分量的统计特性 根据上式和窄带过程的统计特性 可推出 均值0 方差的平稳高斯窄带过程 它的 并且 互不相关 统计独立 高斯 均值0 平均功率相同 且均值为0 方差也相同 49 第3章随机过程 结论 一个均值为零的窄带平稳高斯过程 t 它的同相分量 c t 和正交分量 s t 同样是平稳高斯过程 而且均值为零 方差也相同 此外 在同一时刻上得到的 c和 s是互不相关的或统计独立的 按照推导思路 借助结论1 根据关系 3 5 2包络和相位的统计特性 推出结论2 均值0 方差的平稳高斯窄带过程 它的包络 瑞利分布 相位 均匀分布 且 统计独立 结论2 3 6 正弦波加窄带高斯过程 窄带高斯噪声 0 合成信号 关心 z t 的统计特性 常数 随机相位 在 0 2 上均匀分布 在给定 条件下 利用3 5 2节的推导方法和结论2 分析思路 推导结果 瑞利分布 RayleighDistribution 瑞利分布 RayleighDistribution 当一个随机二维向量的两个分量呈独立的 有着相同的方差的正态分布时 这个向量的模呈瑞利分布 瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类型 两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布 瑞利分布 瑞利分布是一个均值为0 方差为 2的平稳窄带高斯过程 其包络的一维分布瑞利衰落是瑞利分布 瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类型 两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布 瑞利衰落能有效描述存在能够大量散射无线电信号的障碍物的无线传播环境 若传播环境中存在足够多的散射 则冲激信号到达接收机后表现为大量统计独立的随机变量的叠加 根据中心极限定理 则这一无线信道的冲激响应将是一个高斯过程 如果这一散射信道中不存在主要的信号分量 通常这一条件是指不存在直射信号 LOS 则这一过程的均值为0 且相位服从0到2 的均匀分布 即 信道响应的能量或包络服从瑞瑞利衰落利分布 设随机变量R 于是其概率密度函数如图所示 其中2 2 E R 2 莱斯分布 在无线通信信道环境中 电磁波经过反射折射散射等多条路径传播到达接收机后 总信号的强度服从瑞利分布 同时由于接收机的移动及其他原因 信号强度和相位等特性又在起伏变化 故称为瑞利衰落 如果收到的信号中除了经反射折射散射等来的信号外 还有从发射机直接到达接收机 如从卫星直接到达地面接收机 的信号 那么总信号的强度服从莱斯分布 故称为莱斯衰落 讨论 莱斯分布 注 f 不再服从均匀分布 3 7 高斯白噪声和带限白噪声 白噪声仅在 0 同一时刻 时才相关 1 白噪声 理想的宽带过程 其功率谱密度均匀分布在整个频率范围内 n0 常数 W Hz 62 3 7高斯白噪声和带限白噪声 1 白噪声 功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声 即 双边功率谱密度或 单边功率谱密度式中n0 正常数白噪声的自相关函数 对双边功率谱密度取傅里叶反变换 得到相关函数 63 3 7高斯白噪声和带限白噪声 白噪声的功率由于白噪声的带宽无限 其平均功率为无穷大 真正 白 噪声是不存在的 只是构造一种理想化噪声形式 实际中 只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带 我们就可以把它视为白噪声 白噪声取值的概率分布服从高斯分布 称之为高斯白噪声 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间 不仅是互不相关的 而且还是统计独立的 2 高斯白噪声 指概率分布服从高斯分布的白噪声 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间 不仅是互不相关的 而且还是统计独立的 3 带限白噪声 白噪声通过带宽有限的信道或滤波器的情形 常见形式 若B fc窄带高斯白噪声 67 第3章总结 68 x t x t R 69 平稳过程自相关函数的性质 t 的平均功率 的偶函数 R 的上界即自相关函数R 在 0有最大值 t 的直流功率表示平稳过程 t 的交流功率 当均值为0时 有R 0 2 70 第三章学习目标 通过对本章的学习 应该掌握以下要点 随机过程的基本概念 随机过程的数字特征 均值 方差 相关函数 平稳过程的定义 各态历经性 相关函数和功率谱密度 高斯过程的定义和性质 一维概率密度和分布函数 随机过程通过线性系统 输出和输入的关系 窄带随机过程的表达式和统计特性 正弦波加窄带高斯过程的统计特性 高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器 71 第三章难点 疑点 1 平稳过程与各态历经性 1 如何判定一个随机过程 t 是否广义平稳 只需验证下式成立与否 含义 均值与t无关 相关函数仅与时间间隔 有关 72 2 如何判定一个平稳过程是否各态历经性 只要验证下式成立与否 含义 统计平均 时间平均 第三章难点 疑点 73 第三章难点 疑点 2 平稳过程的几个过程 必 未必 未必 必是 狭义平稳 广义平稳 各态历经过程 平稳过程 74 第三章难点 疑点 3 各态历经性的意义一般情况下 当我们求解平稳随机过程 t 的统计特 即均值 自相关函数等数字特征 时 不仅要知道 t 的一维和二维概率密度函数 而且预先得到 t 的全体样本函数 这实际上是很难办到的 如果一个平稳过程具有各态历经性 我们就可以用一个样本的 时间平均 来取代过程的 统计平均 也就是说 通过一个样本函数就可以求得平稳过程的各数字特征量 从而使测量和计算的问题大大简化 75 第三章难点 疑点 4 自相关函数的意义 1 自相关函数可以用来判定一个随机过程是否广义稳 2 自相关函数的傅里叶变换是功率谱密度 这一对变换沟通了随机过程时域和频域的关系 使我们更深入 更方便和更全面了解随机过程 3 由自相关函数可以求得平稳过程的平均功率 直流功率和交流功率 4 由自相关函数可以确定平稳过程的均值 方差等数字特征 此外 自相关函数的意义还可在数字信号的最佳接收 群同步等系统中体现出来 76 第三章难点 疑点 5 随机过程 t 是否存在傅里叶变换 答 不存在 因为任何随机过程或随机信号 其时间波形没有确知的规律 即信号的有关参量 振幅 极性 出现时间等 都是不可预测的 所以我们无法求其傅里叶变换 也就是说随机过程没有确定的频谱函数 77 第三章难点 疑点 那么 如何描述随机过程的频谱特性呢 答 可用功率谱密度来描述随机过程的频谱特性 这是因为 1 随机过程属于功率信号而不属于能量信号 2 任何平稳随机过程都存在自相关函数及其傅里叶变换 功率谱密度 可见 自相关函数和功率谱密度是描述平稳随机过程的两个重要的数字特征 78 第三章难点 疑点 6 功率谱密度 PSD 的意义 1 可用来