第3章 离散傅里叶变换9.13幻灯片.ppt

第3章离散傅里叶变换 3 0引言3 1傅里叶变换的四种可能形式3 3周期序列的离散傅里叶级数 DFS 3 4离散傅里叶级数 DFS 的性质3 5有限长序列离散傅里叶变换 DFT 3 6离散傅里叶变换的性质3 7抽样Z变换 频域抽样理论3 8利用DFT对连续时间信号的逼近 DFT是重要的变换1 时域和频域都是离散的 2 DFT作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要 3 有多种快速算法 3 0引言 3 1傅里叶变换的四种可能形式 作为有限长序列的一种傅里叶表示法 离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外 而且由于存在有效的快速算法 快速离散傅里叶变换 因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用 有限长序列的离散傅里叶变换 DFT 和周期序列的离散傅里叶级数 DFS 本质上是一样的 为了讨论离散傅里叶级数与离散傅里叶变换 我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式 见图3 1所示 一 连续时间非周期信号的傅氏变换 FT 傅氏反变换 二 连续时间周期信号傅里叶变换 傅氏级数 FS 三 非周期序列的傅氏变换 序列的傅氏变换 DTFT 0 四 周期序列的傅氏变换 DFS DFT 图3 1各种形式的傅里叶变换 表3 1四种傅里叶变换形式的归纳 可以得出一般的规律 一个域的离散对应另一个域的周期延拓 一个域的连续必定对应另一个域的非周期 一个周期为N的周期序列 即r为任意整数 N为周期周期序列不能进行Z变换 但是 与连续时间周期信号一样可用傅氏级数表达 周期序列也可用离散的傅氏级数来表示 也即用周期为N的复指数序列来表示 3 2周期序列的傅里叶级数 DFS 周期为N的复指数序列其基频成分为 但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的 这是与连续傅氏级数的不同之处 K次谐波序列为 将周期序列展成离散傅里叶级数时 只需取k 0到 N 1 这N个独立的谐波分量 所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数 将上式两边乘以 并对一个周期求和 上式中 部分显然只有当k r时才有值为1 其他任意k值时均为零 所以有或写为1 可求N次谐波的系数2 也是一个由N个独立谐波分量组成的傅立叶级数3 为周期序列 周期为N 时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列 是一个周期序列的离散傅里叶级数 DFS 变换对 这种对称关系可表为 习惯上 记 则DFS变换对可写为 1 共轭对称性2 周期性3 可约性4 正交性复正弦序列均有正交特性 的一个周期内序列记作 而且 用Z变换的求 通常称x n 为的主值区序列 则x n 的Z变换为 可见 是Z变换在单位圆上抽样 抽样点在单位圆上的N个等分点上 且第一个抽样点为k 0 如果 则有 例3 2已知周期序列如图所示 其周期N 10 试求解它的傅里叶级数系数 例3 2的周期序列 周期N 10 解 序列的傅里叶级数系数的幅值 例3 2 2为了举例说明傅里叶级数系数和周期信号的一个周期的傅里叶变换之间的关系 我们再次研究例3 2所示的序列 令序列的一个周期序列为 则的一个周期序列的傅里叶变换是 可以证明 若将 2 k 10代入上式 即 上图所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值下图表明一个周期序列的DFS系数等于主值区序列的傅里叶变换的抽样 抽样间隔为2 10 例3 3设为周期脉冲串 因为对于0 n N 1 所以的DFS系数为 在这种情况下 对于所有的k值均相同 可以看出 只要知道了周期序列的一个周期的内容 则它的其他内容均可知 即 只有N个序列值 而不是无穷个 有信息 3 2 2DFS的性质 由于可以用抽样 变换来解释DFS 因此它的许多性质与 变换性质非常相似 但是 由于和两者都具有周期性 这就使它与Z变换性质还有一些重要差别 此外 DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系 这是序列的Z变换所不具有的 设和皆是周期为N的周期序列 它们各自的DFS分别为 一 线性 式中 a和b为任意常数 所得到的频域序列也是周期序列 周期为N 二 序列的移位 证 i n m 由于都是以N为周期的周期函数 故 三 调制特性如果则有 证明 时域乘以虚指数 的m次幂 频域搬移m 调制特性 四 对偶性 证 五 周期卷积 如果 则 证 代入 上式是一个卷积公式 但是它与非周期序列的线性卷积不同 首先 和 或和都是变量m的周期序列 周期为N 故乘积也是周期为N的周期序列 其次 求和只在一个周期上进行 即m 0到N 1 所以称为周期卷积 周期卷积的过程可以用下图来说明 这是一个N 的周期卷积 1 将翻褶 得到 2 将右移一位 得到 可计算出 3 将再右移一位 得 可计算出 4 以此类推 计算区 3 1 由于DFS和IDFS变换的对称性 可以证明时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积 即 如果 则 3 38 3 3离散傅里叶变换 DFT 有限长序列的离散频域表示 一 主值区间 主值序列 设x n 为长度为N的有限长序列 即x n 只在处有值 我们可把它看成周期为N的周期序列的第一个周期 把该区间称为主值区间 该区间上的序列称为主值序列 而把看成x n 的以N为周期的周期延拓 即表示成 通常把的第一个周期n 0到n N 1定义为 主值区间 故x n 是的 主值序列 即主值区间上的序列 而称为x n 的周期延拓 对不同r值x n rN 之间彼此并不重叠 故上式可写成 二DFT的定义 三DFT的矩阵表示 四 DFS到DFT的关系 已知其中的一个序列 就能惟一地确定另一个序列 这是因为x n 与X k 都是点数为N的序列 都有N个独立值 可以是复数 所以信息当然等量 此外 值得强调得是 在使用离散傅里叶变换时 必须注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的 换句话说 离散傅里叶变换隐含着周期性 五 DFT与序列傅里叶变换 Z变换的关系若x n 是一个有限长序列 长度为N 对x n 进行Z变换 比较Z变换与DFT 我们看到 当时 即 表明是Z平面单位圆上幅角为的点 也即将Z平面单位圆N等分后的第k点 所以X k 也就是对X z 在Z平面单位圆上N点等间隔抽样值 此外 由于序列的傅里叶变换X ej 即是单位圆上的Z变换 DFT与序列傅里叶变换的关系为 上式说明X k 也可以看作序列x n 的傅里叶变换X ej 在区间 0 2 上的N点等间隔抽样 其抽样间隔为 N 2 N 这就是DFT的物理意义 显而易见 DFT的变换区间长度N不同 表示对X ej 在区间 0 2 上的抽样间隔和抽样点数不同 所以DFT的变换结果也不同 DFT与序列傅里叶变换 Z变换的关系 例有限长序列x n 为 0 n 4 其余n 求其N 5点离散傅里叶变换X k 解序列x n 如图所示 在确定DFT时 我们可以将x n 看作是一个长度N 5的任意有限长序列 首先我们以N 5为周期将x n 延拓成周期序列 如图 b 的DFS与x n 的DFT相对应 因为在图 b 中的序列在区间0 n N 1上为常数值 所以可以得出 也就是说 只有在k 0和k N的整数倍处才有非零的DFS系数值 这些DFS系数如图 c 所示 为了说明傅里叶级数与x n 的频谱X ej 间的关系 在图 c 中也画出了傅里叶变换的幅值 X ej 显然 就是X ej 在频率 k 2 k N处的样本序列 x n 的DFT对应于取的一个周期而得到的有限长序列X k 这样 x n 的5点DFT如图 d 所示 a 有限长序列x n b 由x n 形成的周期N 5的周期序列 c 对应于的傅里叶级数和x n 的傅里叶变换的幅度特性 X ej d x n 的DFTX k DFT的举例说明N 5 尽管DFT和DTFT非常相似 但它们是两种完全不同的运算 DFT是一种数值运算 它根据有限长数据x n 计算有限个系数X n 而DTFT不具备计算可行性 因为它是基于无限长的序列x n 来求解连续函数X 的 信号时域抽样理论实现了信号时域的离散化 使我们能用数字技术在时域对信号进行处理 而离散傅里叶变换理论实现了频域离散化 因而开辟了用数字技术在频域处理信号的新途径 从而推进了信号的频谱分析技术向更深更广的领域发展 例一已知序列x n n 求它的N点DFT 解单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义得到 k 0 1 N 1 n 的X k 如下图 这是一个很特殊的例子 它表明对序列 n 来说 不论对它进行多少点的DFT 所得结果都是一个离散矩形序列 序列 n 及其离散傅里叶变换 例二已知x n cos n 6 是一个长度N 12的有限长序列 求它的N点DFT 利用复正弦序列的正交特性 再考虑到k的取值区间 可得 解由DFT的定义 得 有限长序列及其DFT 例三已知如下X k 求其10点IDFT 解X k 可以表示为 X k 1 2 k 0 k 9 写成这种形式后 就可以很容易确定离散傅里叶反变换 从例一可知 一个单位脉冲序列的DFT为常数1 即一个常数的DFT是一个单位脉冲序列 0 k N 1 0 n N 1 所以 3 4DFT的性质 DFT的一些性质 本质上和周期序列的DFS概念有关 而且是由有限长序列及其DFT表示式隐含的周期性得出的 以下讨论的序列都是N点有限长序列 用DFT 表示N点DFT 且设 DFT x1 n X1 k DFT x2 n X2 k 3 4 1线性 1 a b为任意常数 和的长度N1和N2不等时 选择为变换长度 短者进行补零达到N点 3 4 2圆周移位性质1 圆周移位序列定义一个有限长序列的圆周移位定义为这里包括三层意思 a 先将进行周期延拓b 再进行移位c 最后取主值序列 圆周移位的含义由于我们取主值序列x n 即只观察n 0到N 1这一主值区间 当某一抽样从此区间一端移出时 与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来 如果把排列在一个N等分的圆周上 序列的移位就相当于在圆上旋转 故称作圆周移位 圆周移位过程示意图 2 时域圆周移位定理设x n 是长度为N的有限长序列 y n 为x n 圆周移位 即 则圆周移位后的DFT为 证利用周期序列的移位性质加以证明 再利用DFS和DFT关系 这表明 有限长序列的圆周移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移 而对频谱的幅度没有影响 频域圆周移位定理对于频域有限长序列X k 也可看成是分布在一个N等分的圆周上 所以对于X k 的圆周移位 利用频域与时域的对偶关系 可以证明以下性质 若 则 这就是调制特性 它说明 时域序列的调制等效于频域的圆周移位 3 4 3圆周共轭对称性质 1 圆周对称中心 圆周偶 奇 对称序列的判断方法 2 周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为N的周期序列的周期共轭对称分量与周期共轭反对称分量分别定义为 同样 有 3 有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为 由于 所以 这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量 3 4 4圆周翻褶序列及其DFT 1 圆周翻褶序列 2 圆周翻褶序列的DFT 3 4 5对偶性 若则 3 4 6DFT运算中的圆周共轭对称特性 证明 1共轭序列的DFT 2共轭翻褶序列的DFT 证明 可知 3序列的实部和虚部与X k 的圆周共轭对称和圆周共轭反对称之间的关系 证明 证明 序列的圆周共轭对称和圆周共轭反对称与频谱的实部和虚部之间的关系 圆周奇对称分量满足 圆周偶对称满足 5实序列的圆周偶对称和圆周奇对称分量 6实序列频谱的对称特性 3 4 7DFT形式下的帕塞伐定理 证 如果令y n x n 则式 2 62 变成 即 这表明一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的 3 4 8圆周卷积与圆周卷积和定理设x1 n 和x2 n 都是点数为N的有限长序列 0 n N 1 且有 若 则 表示x1 n 和x2 n 的N点圆周卷积 证这个卷积相当于周期序列和作周期卷积后再取其主值序列 先将Y k 周期延拓 即 根据DFS的周期卷积公式 由于0 m N 1为主值区间 因此 将式经过简单换元 也可证明 圆周卷积过程示意图 圆周卷积过程示意图 或 根据时域与频域的对称性 可得频域圆周卷积定理 若 x1 n x2 n 皆为N点有限长序列 则 即时域序列相乘 乘积的DFT等于各个DFT的圆周卷积再乘以1 N 1 线性卷积和 3 4 9线性卷积与圆周卷积和的关系 设x1 n 是N1点的有限长序列 0 n N1 1 x2 n 是N2点的有限长序列 0 n N2 1 的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是不为零的区间 例如 1 0 1 2 n 1 0 1 2 n 3 m n 2 1 0 3 1 4 5 2 3 3 2 1 2 圆周卷积和 3 圆周卷积和与线性卷积和的关系 由限性卷积和求圆周卷积和的方法 两序列的线性卷积和以L为周期的周期延拓后混叠相加序列的主值序列 即为此两序列的L点圆周卷积和 所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为 满足此条件后就有 即x1 n x2 n x1 n x2 n L 只有在L N1 N2 1时 才没有交叠现象 这时 在y1 n 的周期延拓中 每一个周期L内 前N1 N2 1个序列值正好是yl n 的全部非零序列值 而剩下的L N1 N2 1 个点上的序列值则是补充的零值 由周期卷积和求线性卷积和的方法 两序列的L点圆周卷积和为y n 当L N1 N2 1时 y n 就能代表此两序列的线性卷积和y1 n 4如何由线性卷积求圆周卷积 例 1 一个有限长序列为 计算序列x n 的10点离散傅里叶变换 2 若序列y n 的DFT为 式中 X k 是x n 的10点离散傅里叶变换 求序列y n 3 若10点序列y n 的10点离散傅里叶变换是 式中 X k 是序列x n 的10点DFT W k 是序列w n 的10点DFT 求序列y n 解 1 x n 的10点DFT 2 X k 乘以一个WNkm形式的复指数相当于是x n 圆周移位m点 本题中m 2 x n 向左圆周移位了2点 就有 y n x n 2 10R10 n 2 n 3 n 8 3 X k 乘以W k 相当于x n 与w n 的圆周卷积 为了进行圆周卷积 可以先计算线性卷积再将结果周期延拓并取主值序列 x n 与w n 的线性卷积为z n x n w n 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 圆周卷积为 在0 n 9求和中 仅有序列z n 和z n 10 有非零值 用表列出z n 和z n 10 的值 对n 0 1 2 9求和 得到 所以10点圆周卷积为 y n 3 3 1 1 1 3 3 2 2 2 3 5频域抽样理论3 5 1频域抽样与频域抽样定理1 频域抽样时域抽样 对一个频带有限的信号 根据抽样定理对其进行抽样 所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓 因此 完全可以由抽样信号恢复原信号 频域抽样 对一有限长序列进行DFT所得X k 就是序列傅氏变换的抽样 所以DFT就是频域抽样 一个绝对可和的非周期序列x n 的Z变换为由于x n 绝对可和 故其傅氏变换存在且连续 也即其Z变换收敛域包括单位圆 这样 对X Z 在单位圆上N等份抽样 就得到 对进行反变换 并令其为 则 可见 由得到的周期序列是非周期序列x n 的周期延拓 也就是说 频域抽样造成时域周期延拓 1 m n rN 0 其他m 3 频域抽样不失真的条件 当x n 不是有限长时 无法周期延拓 当x n 为长度M 只有N M时 才能不失真的恢复信号 即 1 由X k 恢复X Z 序列x n 0 n N 1 的Z变换为由于 所以 二 由X k 表达X Z 与的问题 内插公式 上式就是由X k 恢复X Z 的内插公式 其中 称作内插函数 2 内插函数的特性 令分子为零 得 所以有N个零点 令分母为零 得为一阶极点 Z 0为 N 1 阶极点 但是极点与一零点相消 这样只有 N 1 个零点 抽样点称作本抽样点 因此说 内插函数仅在本抽样点处不为零 其他 N 1