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圆的对称性（九下第三章 第2课时 课案分析）宁夏中卫市中卫二中 杨吉春一、学生状况分析：学生在以前的几何学习中，已经学会了观察和基本操作，基本上掌握了推理证明。但是我所带的两个班整体素质有所不同，（13）班学生的思维意识很活跃，他们的观察能力，动手操作能力，逻辑推理能力都比较强，而（11）班学生与他们相比整体比较弱，所以在教学过程中，（13）班尽可能让学生独立思考，对（11）班，为了让学生广泛参与到探索的过程中，主要以小组合作的形势进行交流，形成学帮小组，让优秀生带动学困生，同时也给优秀生提供了展示自己的机会。学生平时习惯于用符号语言进行推理说明，而本节中利用旋转不变性用文字叙述说明“在同圆中，圆心角相等，则所对的弦和弧也相等”时学生不习惯，语言表达也不准确，这一点对两个班的要求应该一致，引导学生尽可能用文字叙述完整，培养学生勤于思考，乐于探索，勇于创新的学习习惯。二、教学任务分析： 本节课是学生在认识圆是轴对称图形的基础上探索了垂径定理，通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，掌握圆的旋转不变性，并研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理，并会利用它和已有的定理进一步进行推理证明，在观察操作和推理活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，发展学生有条理的思考及表达能力，发展学生空间观念，推理能力以及概括问题的能力，培养学生积极探索数学问题的态度和方法。三、教学过程分析：OAOA（一）本节课开始以折叠的形式复习圆是轴对称图形，提出它是否是中心对称图形，根据学生的回答，结合定义和动画说明圆是中心对称图形，对称中心是圆心。这一点对不同层次的学生都很容易理解和接受，教学中一带而过，没有必要花费太多的时间。（二）做一做 在两张透明纸上用不同颜色的笔迹作两个半径相等O和O（如右图）。 在O和O上分别作相等的圆心角AOB和，圆心固定。 将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与OA重合。 教师叙述步骤，老师和同学一起动手操作，四人一小组。为了让大家在自己实验的基础上有共同的直观感受，最后教师用多媒体演示。在（13）班的教学中，教师应和学生一起动手去做，进行个别指导。而对于（11）班，估计一些学生的动手能力较差，教师应在黑板上借助多媒体分步边演示边让学生去做。目的是让学生在不同层次上都有不同的提高，有意识地积累活动经验。 最后教师提问，在上述操作过程中，你能发现哪些等量关系？说一说你的理由。 学生会发现很多等量关系，如AOB=（已知） OA=OB=OA= OB（半径），OAB=OBA=，AB= ，=，在说明理由时，有的学生可能会尝试证明AOB说明AB=，但这无法说明=，教学时对学生完备或不完备的想法都给予肯定和鼓励，尤其是层次较低的同学。在此基础上鼓励学生用语言文字叙述能得出的结论，必要时教师补充叙述。OBABA “在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”。教师指明上面的结论，在同圆中也成立，于是得到下面的定理。 “在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”。说明：为了让学生会使用定理，故结合图形把文字语言转变成符号语言。如：在O中,AOB=（已知）AB=OBA=为了强化“在同圆或等圆中”这一条的重要性。举一反例强化对定理的理解。举反例时引导学生自己画出符合“圆心角相等”这一条件的两个同心圆（如右图），如果有困难教师可用多媒体给出。（三）想一想：学生都容易猜测出结论，“在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等”。在鼓励学生用多种方法进行探索的基础上，分小组讨论交流结论的推理过程，并鼓励学生口述推理过程，并结合图形写出符号语言。对（11）班教师要引导、帮助学生写出推理过程，体验成功的喜悦。AOB注意：要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系。如右图，1=2，小明认为1对AC，2对BD，就推出了AC=BD，你认为小明的说法对吗？（目的强化对定理的理解，培养学生的判断能力）（四）讲解例题。例如图，在中，是两条弦，垂足分别为、（）如果 ，那么与的大小有什么关系？为什么？（）如果，那么与的大小有什么关系？为什么？与的大小有什么关系？为什么？ 与 呢？ 本例是本节结论的综合应用，教师引导学生由条件得出AB=CD； 由条件，,得出AE=AB，CF=CD ， 再利用全等三角形易证出OE=OF，有了上面的基础第（2）问很容易解决。书写过程（13）班要求自己独立完成后小组交流对正，教师点评。（11）班教师把要证明的两问都分成小块，引导学生分块完成后再组合在一起，从而分散难点，激发学生的学习兴趣。最后教师通过本例可以扩充为“同心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理。”（五）议一议：引导学生有意识地归纳、总结所使用的研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。 （六）巩固练习：1、日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例2、利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：（1）是轴对称图形但不是中心对称图形（2）既是轴对称图形又是中心对称图形3、已知A，B是O上的两点，AOB120，C是AB的中点。试确定四边形OACB的形状，并说明理由。 鼓励学生自己独立完成，对层次高的班级个别指导，对层次低的班级进行整体指导，帮助学生画出符合题意的图形并指导有能力的同学板书。（七）课堂小结：本节课你学到了哪些知识？有什么感想和收获？谈谈你的看法。尤其对（11）班应增加你还有哪些疑惑和需要解决的问题？同学之间相互讨论、归纳本节课的学习内容，教师点评。四、课后反思与点评：本节课主要让学生自己做实验，不同层次的学生都能动手、动口、动脑，调动了学生的积极性，激发了学生求知探测的欲望，学生都愿意积极参与到教学活动中，使得课堂气氛活跃，教学活动顺利完成。通过得出结论的推理过程以及例题的分析，积累了学生的数学活动经验，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，发展学生有条理的思考及表达能力，培养了学生积极探索数学问题的态度及方法，课堂效果好。但是学生在结合图形进行推理证明过程不够熟练，尤其层次较低的班级，分析推理的过程所花的时间较多，使得教学有些前松后紧。五、教学情境分析： 学生从小学就开始接触圆，故对圆这一图形非常熟悉。故课前让学生自制一个规定半径长度的圆，通过小组叠合旋转，实地操作。这些情境，再结合多媒体旋转演示，学生易于接受和理解。教学过程分析：探究内容及过程（教师活动）学生活动设计意图一、 创设问题情境,引入新课课前热身1、让学生动手折叠自己用纸准备的圆，复习圆是轴对称图形。2、在1的基础上追问圆是否是中心对称图形，让学生猜测并与同桌合作用透明塑料准备的圆结合中心对称图形的定义验证：圆是中心对称图形。由于圆是特殊的图形，根据它的对称性，还有那些性质呢？下面我们继续来探讨：圆的对称性（2）二、探究新知 通过学生以上的动手验证，教师用多媒体动画演示得出结论：圆是中心对称图形，对称中心为圆心。下面我们一起来做一做：按下面的步骤做一做：1、 在两张透明纸上，作两个半径相等的O和O，沿圆周分别将两圆剪下。2、 在O和O上分别作相等的圆心角AOB=，圆心固定。3、 将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与OA重合。教师叙述步骤，学生操作完毕后教师用多媒体动画演示。通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由。在上述操作过程中，你会得出什么结论？在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。上面的结论，在同圆中也成立，于是得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。OBABA符号语言：在O中AOB=AB= AB= 注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中” 这个前提，否则也不一定有所对的弧相等，所对的弦相等这样的结论。请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图。（根据学生的情况，教师适当提示。）如右图示，虽然AOB=，但ABAB想一想：在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？ 你是怎么想的？如果弦相等呢？你能得出什么结论？在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等OBABA符号语言：在O中（1）AOB=AB= AB=（2）AOB=AB= AB=（3）AOB=AB= AB=想一想：如右图，1=2，小明认为1对AD，2对BC，就推出了AD=BC，你认为小明的说法对吗？三、感知应用 例2 如图，在中，是两条弦，垂足分别为、（）如果 ，那么与的大小有什么关系？为什么？OA（）如果，那么与的大小有什么关系？为什么？与的大小有什么关系？为什么？分析：引导学生由条件 得出AB=CD由条件，得出AE=AB，CF=CD再利用全等三角形易证出OE=OF有了上面的基础第（2）问很容易解决解：（1） ，那么OE=OF理由是： AB=CD，AE=AB，CF=CDAE=CF又OA=OCRtOAERtOCFOE=OF（2）如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD， 理由是：OA=OC，OE=OFRtOAERtOCFAE=CF 又，AE=AB，CF=CDAB=2AE，CD=2CFAB=CDAB=CD， 议一议：在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流四、巩固练习1、日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例2、利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：（1）是轴对称图形但不是中心对称图形（2）既是轴对称图形又是中心对称图形3、已知A，B是O上的两点，AOB120，C是AB的中点。试确定四边形OACB的形状，并说明理由五、学习小结本节课你学到了哪些知识？有什么感想和收获？谈谈你的看法。(引导学生总结本节课内容)八.作业布置： 上交作业 课本 P99 习题 3.3 1、2、3（必做题）第1题让学生自己动手验证 第2题学生同桌合作验证同学们一起分四人小组动手操作。 学生互相交流并派代表说出自己的理由。 学生用语言文字叙述自己的结论并结合图形用符号语言表示学生画只符合圆心角相等的图形， 结合图形发现问题。认真观察、独立思考，从中发现等量关系，并用自己的语言描述，然后再与同伴讨论、交流自己的结果，归纳出结论。派代表发言。学生用语言文字叙述自己的结论并结合图形用符号语言表示独立思考，认真分析，逐渐积累解决问题的方法。学生口述，教师板书。同学之间相互讨论、归纳。学生归纳本节内容，并说出自己的收获和体会。开动脑筋，勇于发表见解。课前热身作好知识的衔接，由浅入深，符合学生的认知规律。创设有利于激发学生学习兴趣的问题情境，培养学生观察、探究、交流、团结协作的精神。目的是使学生学习不再处于被动状态，而成为积极的发现者，让学生学会自己走路，逐步培养学生发现问题、解决问题的能力。通过这个实验，做一做体现出数学是做出来的作为活动，数学是动态可创造的，学生的数学学习过程是一种“再创造”通过想一想独立思考、小组讨论、合作交流，使学生达到巩固新知及应用新知解决问题的目的。通过做一做，体会题意中存在一种什么样的等量关系？如何将等量关系转换为方程才能达到和谐统一？体现了数学知识见是相关相息的。 应注重强调分式方程的特征。 感知应用给不同程度的学生参与的机会，激发学生的学习兴趣和探究欲望，使每名学生的知识体系得以扩充注意引导学生用数学语言表达自己的想法。巩固练