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第3章平面问题的有限元法 3 1结构的离散化 3 2三角形常应变单元的位移模式和形函数 3 5整体分析 3 6等效节点载荷计算 3 8有限元分析的实例 3 3单元刚度矩阵 3 4单元位移函数的选择原则 3 7约束条件的处理 将连续体变换为离散化结构将连续体划分为有限多个 有限大小的单元 并使这些单元仅在节点处连结起来 构成所谓 离散化结构 3 1结构的离散化 离散化要注意 1 单元形状的选择 平面问题的单元 按其几何特性可分为两类 以三节点三角形为基础 以任意四边形为基础 较高精度的三角形等参数单元 运用非常广泛的四边形等参数单元 这两类都可以增加节点也构成一系列单元 首选三角形单元和等参数单元 2 对称性的利用 利用结构和载荷的对称性 如结构和载荷都对于某轴对称 可以取一半来分析 若对于x轴和y轴都对称 可以取四分之一来分析 3 单元的划分原则 通常集中载荷的作用点 分布载荷强度的突变点 分布载荷与自由边界的分界点 支承点都应取为节点 单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整 对于重要或应力变化急剧的部位 单元应划分得小些 对于次要和应力变化缓慢的部位 单元可划分得大些 中间地带以大小逐渐变化的单元来过渡 单元的划分原则 单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定 在保证精度的前提下 尽可能减少单元数量 不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里 单元的划分原则 根据误差分析 应力及位移的误差都和单元的最小内角正弦成反比 所以单元的边长力求接近相等 即单元的三 四 条边长尽量不要悬殊太大 4 节点的编号 应尽量使同一单元的节点编号相差小些 以减少整体刚度矩阵的半带宽 节约计算机存储 上图 节点顺短边编号为好 3 2三角形常应变单元的位移模式和形函数 首先以平面单元中最基本的三节点三角形单元为例 介绍有限元法 单元分析的步骤可表示如下 节点位移 内部各点位移 应变 应力 节点力 单元分析 分为四步求出相邻各量之间的转换关系 综合起来 得出由节点位移求节点力的转换关系 单元刚度矩阵 位移模式 1 位移模式 单元的若干个节点有基本未知量 即 位移模式 单元内任一点的位移表达式 假定为坐标的简单函数 反映单元的位移分布形态 是单元内的插值函数 在节点处等于该节点位移 位移模式可表示为 N为形态矩阵 形函数矩阵 平面问题每个节点位移分量有两个 所以整个单元有6个节点位移分量 即6个自由度 单元节点位移列阵 三角形单元有6个自由度 内部任一点的位移是由6个节点位移分量完全确定的 位移模式中应含有6个待定系数 所以位移模式可取为 位移函数一般用多项式来构造 位移模式 单元内任一点的位移表达式 假定为坐标的简单函数 反映单元的位移分布形态 在弹性体内 位移变化非常复杂 有限元法将整个弹性体分割成许多小单元 在每个单元内采用简单的函数来近似表达单元的真实位移 将各单元连接起来 便可近似表达整个弹性体的真实位移函数 这种化整为零 化繁为简的方法 正是有限元法的精华 假设节点i j m的坐标分别为 xi yi xj yj xm ym 2 形函数 联立求解左边3个方程 得 其中A为三角形单元的面积 注意 为了使得出的面积值不为负值 节点i j m的次序必须是逆时针 至于将那个节点作为起始点i则没有关系 同理 求解右边的三个方程 得到a4 a5 a6 解得 i j m轮换 整理后得 其中Ni Nj Nm是坐标的线性函数 反应了单元的位移形态 称为形 状 函数 写成矩阵形式 式中 I二阶单位阵 N形函数矩阵 3 三角形面积坐标 定义 在三角形内任一点P 向三个角点 节点 连线 将原三角形分割成三个子三角形 设子三角形的面积分别是 Ai Aj Am 则 即面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比 记为 P Li Lj Lm 面积坐标的性质 1 Li Lj Lm中只有两个是独立的 2 三角形三个角点处 3 三条边上 i j Lm 0 j m Li 0 m i Lj 0 形心处 推论 三角形内一条平行于三角形任一边的直线上的各点 具有相同的与该边对应的坐标值 面积坐标与直角坐标的转换 i j m i j m 因此 即三角形面积坐标就是三角形相应的形函数 所以 位移模式也可以用面积坐标表示为 i j m 将面积坐标的表达式 写成矩阵形式 求逆得 第1行展开为面积坐标性质1 第2行和第3行展开即为局部的面积坐标和整体直角坐标的关系 例题 下图为一平面应力的直角三角形单元 直角边长均为a 厚度为t 弹性模量为E 泊松比 0 3 求形函数 1 单元应变 应变矩阵为常量 单元内应变是常数 3 3单元刚度矩阵 2 单元应力 S 称为应力转换矩阵 应用平面应力问题的弹性矩阵 应变矩阵为常量 单元内应力也是常数 相邻单元的应变与应力将产生突变 但位移是连续的 能量转换与守恒定律 是自然界基本的运动规律之一 实功原理 处于平衡状态的可变形固体 在受外力作用而变形时外力对其相应的位移所做的功 实功 等于积蓄在物体中的应变能 实应变能 能量法的优点 与坐标系的选择无关 因而应用极为广泛 能量法与数学工具 变分法的结合 导出虚位移 虚功 原理 使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得到发展而更趋完善 3 虚位移 功 原理 单元节点力列阵 单元节点虚位移列阵 节点力在虚位移所做的功 简写为 4 单元刚度矩阵 单元虚应变 单元内应力在虚应变上所做的功 虚应变能 其中 t为单元厚度 单元应力 单元刚度矩阵ke取决于单元的大小 方向和弹性常数 而与单元的位置无关 即不随单元或坐标轴的平行移动而改变 对于三角形常应变单元 单元刚度矩阵为对称矩阵 例题 下图为一平面应力的直角三角形单元 直角边长均为a 厚度为t 弹性模量为E 泊松比 0 3 求单元刚度矩阵 理论力学中质点 质点系 刚体 的虚位移原理 材料力学中杆件的虚位移原理 弹性力学中的虚位移 虚功 原理 在外力作用下处于平衡状态的变形体 当给与该物体微小位移时 外力总虚功在数值上等于变形体的总虚应变能 虚 微小的 任意的 可能的 变分的思路 实功是力在自己产生位移上所做的功 虚功是力在别的 人为的 因素产生的位移上做的功 所谓 虚 并不是虚无 而是可能 虚设的意思 虚 的表达 虚位移 虚功 原理 3 4单元位移函数的选择原则 三角形常应变单元简单 精度较差 要提高精度 1 增加单元数目和节点数目 2 采用更高精度的单元 FEM中的一系列工作 都是以位移模式为基础的 所以当单元趋于很小时 即 x y 0时 为了使FEM之解逼近于真解 即为了保证FEM收敛性 位移模式应满足下列条件 1 位移模式必须能反映单元的刚体位移 单元位移包含两部分 本单元的形变引起的位移 其他单元的形变引起的位移 即刚体位移 在位移函数中 常数项即提供刚体位移 2 位移模式必须能反映单元的常量应变 单元应变包含两部分 变量应变和常量应变 位移函数的一次项提供常量应变 当单元 0时 单元中的位移和应变都趋近于基本量 刚体位移和常量位移 3 位移模式应尽可能反映位移的连续性 使相邻单元之间的位移保持连续 即受力后 相邻单元在公共边界上 即既不互相脱离 也不互相嵌入 使相邻单元在公共节点处具有相同的位移 使单元内部的位移保持连续 位移函数取坐标的单值连续函数 满足条件1 2的单元 称为完备单元 满足条件3的单元 称为协调单元 常采用 帕斯卡三角形 来选取位移模式代数多项式的形式 按照帕斯卡三角形选择位移模式的原则 1 多项式的阶次及项数 由单元的节点数目和自由度数目来决定 保证多项式中的待定系数同单元的自由度数目相一致 以避免在确定待定系数时增加困难 2 当高次多项式只选取一部分项时 应遵循 对称性 原则 即取其最高次中的位置对称的相应项 以保证在各坐标轴方向上具有相同的精度 3 应满足完备性和协调性要求 3节点三角形单元 6节点三角形单元 4节点四边形单元 3 5整体分析 结构的整体分析是将离散后的所有单元通过节点连接成原结构 进行分析 分析过程是将所有单元平衡方程组集成整体平衡方程 引进边界条件后求解整体节点位移向量 整体平衡方程 F K K为整体刚度矩阵 设弹性体被划分为N个三角形单元和n个节点 则结构就有2n个自由度 K2n 2n 整体刚度矩阵的组装 例 求下面结构的整体刚度矩阵 解 1 结构离散 单元和节点编码用三角形单元把该结构分成4个单元 6个节点 节点两种编码 一是节点总码 二是节点局部码 每个三角形单元的三个节点按逆时针方向的顺序各自编码为i j m 单元1 节点号码1 2 3 单元2 节点号码2 5 3 单元3 节点号码5 6 3 单元4 节点号码2 4 5 2 分别写出各个单元的分块刚度矩阵 单元1 节点号码1 2 3 单元2 节点号码2 5 3 单元3 节点号码5 6 3 单元4 节点号码2 4 5 3 组装整体刚度矩阵 利用单元分块矩阵中 各子块的节点和单元信息 直接把单元刚度的各元素送入总体刚度矩阵的相应行列上 并同总体刚度矩阵该元素的已有值相加 对号入座 组装一般规则 1 当 Krs 中r s时 该点被哪几个单元所共有 则整体刚度矩阵中的子矩阵 Krs 就是这几个单元的刚度矩阵中的子矩阵 Krs e的相加 2 当 Krs 中r s时 若rs边是组合体的内边 则整体刚度矩阵中的子矩阵 Krs 就是共用该边的两相邻单元刚度矩阵中的子矩阵 Krs e的相加 3 当 Krs 中r和s不同属于任何单元时 整体刚度矩阵中的子矩阵 Krs 0 整体刚度矩阵的性质 1 整体刚度矩阵是对称矩阵 2 整体刚度矩阵每一个元素的物理意义 3 整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的 4 整体刚度矩阵是一个奇异阵 只有排除刚体位移后 K才是正定的 其逆矩阵才存在 在F K 中 令节点1在x方向的位移u1 1 而其余节点位移均为0 则 5 整体刚度矩阵是一个稀疏阵 离散后结构的任一节点 只和与它相连的元素发生联系 所以K存在大量的零元素 而非零元素往往分布在主对角线的附近 带形矩阵 半带宽 在半个斜带形区域内 每行具有的元素个数 用d表示 半带宽d 相邻节点码的最大差值 1 2 半带存储 利用带形矩阵的特点和矩阵的对称性 计算机中可以只存储上半带的元素 在同一网格中 如果采用不同的编码方式 则相应的半带宽也可能不同 应采取合理的节点编码方式 使相邻节点码尽可能小 以便得到最小的半带宽 从而节约计算机存储容量 不同的编码方式 相邻节点的最大差值分别为4 6 8 半带宽分别为10 14 18 3 6等效节点载荷计算 根据有限元法的思想 所有有关的量都要转换为节点的量 结构所受的载荷也必须转换为等效的节点载荷 整体刚度方程中的载荷列阵F 是由弹性体全部单元等效节点力集合而成 而单元的等效节点力 是由作用在单元上的集中力 表面力和体积力分别移植到节点上 再逐点加以合成求得 1 单元自重 下面用上述公式计算几种常用载荷作用下的等效节点力 三角形单元i j m的厚度为t 重度为 面积为A 则体积力 节点力为 由形函数的性质得 则 受自重载荷作用下的等效节点力为单元重量的1 3 2 均布面力 三角形单元i j m的ij边上作用有均匀的分布力 集度为 单元节点力为 由形函数性质 把作用于ij边上的均布面力按静力等效平均分配到该边两端的节点上 3 线性分布面力 三角形单元i j m的ij边上作用有三角形分布表面力设j点表面力为0 i点集度为 4 集中力 集中力G作用与ij边上作用 总载荷的2 3分配给i点 1 3分配给j点 整体刚度矩阵的奇异性 可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的刚体位移 以达到求解的目的 引用边界条件后 待求节点未知量的数目和方程的数目可相应的减少 3 7约束条件的处理 引入节点位移最常用的方法有以下两种 计算机常用的方法是 以某种方法引入已知的节点位移 包括零约束位移 而保持非常原有的数目不变 只是修正K和F中的某些元素 以避免计算机存储做大的变动 设已知u1 1 u2 3 则 若已知节点i在y方向位移vi 则令K中的元素K 2i 2i 为1 第2i行和第2i列的其余元素都为零 F中的第2i个元素则用位移vi的已知值代入 F中的其他各行元素都减去节点位移的已知值与原来K中这行的相应元素的乘积 若已知节点i在x方向位移ui 则令K中的元素K 2i 1 2i 1 为1 第2i 1行和第2i 1列的其余元素都为零 F中的第2i 1个元素则用位移ui的已知值代入 F中的其他各行元素都减去节点位移的已知值与原来K中这行的相应元素的乘积 1 化1置0法 2 乘大数法 将K中与已知节点位移相关的主对角线元素乘上一个计算机可接受的充分大的数 同时将F中的对应元素换上已知节点位移与对角线元素及同一个大数的乘积 设已知u1 1 u2 3 则 3 8有限元分析的实例 有限元法的解题过程 2 结构的离散化 包括单元划分 节点和单元编号 节点坐标计算 3 等效节点力的计算 按单元逐个进行分析 计算体积力 表面力和集中力的等效节点力 进行叠加 得到每个单元的等效节点力载荷 对每个节点 所有环绕该节点的单元节点力求和 得到整个结构的节点力载荷