第28讲等差概念及基本运算.ppt

新课标高中一轮总复习 第五单元数列 推理与证明 等差的概念及基本运算 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 1 已知数列 an 那么 对任意的n N 点P n an 都在直线y x 2上 是 数列 an 为等差数列 的 B A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 当通项为an n 2时 可推出数列 an 为等差数列 反之不成立 故为充分不必要条件 2 2010 苏州模拟 在数列 an 中 若a1 1 a2 n N 则该数列的通项为 an 由 n N 知 为等差数列 且首项 1 公差d 1 所以 n 1 d n 所以an 3 2010 长沙市一中 an 为等差数列 且a7 2a4 1 a3 0 则公差d a7 2a4 1 得a3 4d 2 a3 d 1 即2d a3 1 又a3 0 则d 4 在数列 an 中 an 2n a1 a2 a3 an an2 bn n N 其中a b为常数 则1000a 10102b 2010 因为an 2n 所以 an 是首项为a1 d 2的等差数列 所以Sn na1 d n2 n an2 bn 所以a 1 b 所以1000a 10102b 2010 5 在数列 an 中 a1 15 3an 1 3an 2 n N 则该数列中乘积为负值的相邻两项是 前项和取得最大值 第23项 第24项 23 由已知得an 1 an a1 15 所以an a1 n 1 d 显然 a23 0 a24a2 a3 a23 0 a24 所以前23项和取得最大值 等差数列 1 等差数列定义 n N 这是证明一个数列是等差数列的依据 要防止仅由前若干项 如a3 a2 a2 a1 d 常数 就说 an 是等差数列这样的错误 判断一个数列是否是等差数列 还可由an an 2 2an 1 即an 2 an 1 an 1 an来判断 an 1 an d 常数 2 等差数列的通项为 可整理成an nd a1 d 当d 0时 an是关于n的一次式 它的图象是一条直线上n为自然数的点的集合 3 对于A是a b的等差中项 可以表示成 4 等差数列的前n项和公式Sn 可以整理成Sn n2 a1 n 当d 0时 Sn的一个常数项为0的二次式 an a1 n 1 d 2A a b na1 d 题型一等差数列的判定与通项公式 例1 已知数列 an 满足an 2an 1 2n 1 n 2 且a4 81 1 求数列的前三项a1 a2 a3 2 求证 数列 为等差数列 并求通项an 1 由题意 得n 4时 a4 2a3 24 1 81 解得a3 33 同理 a3 2a2 23 1 33 解得a2 13 a2 2a1 22 1 13 解得a1 5 所以前三项a1 5 a2 13 a3 33 2 因为an 2an 1 2n 1 即an 1 2 an 1 1 2n 两边同除以2n 得 1 令 cn 即cn cn 1 1 即 cn 是以c1为首项 以1为公差的等差数列 所以数列 是以 2为首项 以1为公差的等差数列 所以 2 n 1 1 n 1 即an n 1 2n 1 证明一个数列为等差数列的基本方法有两种 1 利用等差数列的定义证明 即证an 1 an d n N 2 利用等差中项证明 即证2an an k an k n k N n k 有时根据an an b Sn an2 bn a b为常数 也可判定为等差数列 在选择方法时 要根据题目的特点 如果能求出数列的通项 常用定义法 题型二等差数列的基本运算及最值 例2 在等差数列 an 中 a16 a17 a18 a9 36 其前n项的和为Sn 1 求Sn的最小值 并求出Sn取最小值时n的值 2 求Tn a1 a2 an a16 a17 a18 3a17 36 a17 12 又a9 36 所以公差d 3 首项a1 a9 8d 60 所以an 3n 63 1 方法一 设前n项的和Sn最小 an 03n 63 0an 1 0 n N 3 n 1 63 0 n N n 20或21 所以当n 20或21时 Sn取最小值 最小值为S20 S21 630 则 即 方法二 Sn 60n 3 n2 41n n 2 因为n N 所以当n 20或21时 Sn取最小值 最小值为S20 S21 630 2 由an 3n 63 0 n 21 所以当n 21时 Tn Sn 41n n2 当n 21时 Tn a1 a2 a21 a22 an Sn 2S21 n2 41n 1260 1 本题 1 的方法一是基于等差数列本身的特性 从定性的角度考虑和研究 方法二则是基于函数思想 数列的本质特性 定义在N 或其子集上的函数 从定量的角度 建立Sn关于n的函数 再归结为求函数的最大 小 值问题 这是处理有关等差数列前n项和最大 小 值问题的两种基本思想 应很好地理解 2 本题 2 中有两点值得注意 一是分类讨论思想 对n 21和n 21两种情形加以讨论 二是转化思想 将求Tn问题仍然转化为求Sn的问题 数列 an 满足a1 a a2 a a 0 且 an 从第二项起是公差为6的等差数列 Sn是 an 的前n项和 1 当n 2时 用a与n表示an与Sn 2 若在S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值 试求a的取值范围 3 若a为正整数 在 2 的条件下 设Sn取S6为最小值的概率是p1 Sn取S7为最小值的概率是p2 比较p1与p2的大小 1 由已知 当n 2时 an a 6 n 2 即an 6n a 12 Sn a1 a2 an a n 1 a 6 3n2 a 9 n 2a 6 2 方法一 由已知 当n 2时 an 是等差数列 公差为6 数列递增 a6 024 a 0a7 0 30 a 0 得24 a 30 a7 030 a 0a8 0 36 a 0 得30 a 36 所以当S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值时 a的取值范围是 24 36 若S6是Sn的最小值 则 即 若S7是Sn的最小值 则 即 方法二 由 1 当n 2时 Sn 3n2 a 9 n 2a 6 且S1 a也满足此式 因为在S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值 所以5 5 7 5 解得24 a 36 从而a的取值范围是 24 36 3 由 2 知 a 24 25 26 36 若S6是Sn的最小值 则5 5 6 5 即a 24 25 26 30 若S7是Sn的最小值 则6 5 7 5 即a 30 31 32 36 所以p1 p2 2010 湖北省试题改编 已知函数f x x2 ax b a b R 的图象经过坐标原点 且f 1 1 数列 an 的前n项和Sn f n n N 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足log3 log3n log3bn Tn为数列 bn 的前n项和 是否存在p q N 且p q 使得Tp q是T2p和T2q的等差中项 并证明你的结论 1 因为y f x 的图象过原点 所以f x x2 ax 由f x 2x a 得f 1 2 a 1 解得a 1 所以f x x2 x 即Sn f n n2 n 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 2 又a1 S1 0 也满足上式 所以数列 an 的通项公式为an 2n 2 n N 2 由log3 log3n log3bn 得bn n n N Tn b1 b2 bn 1 2 n 假设存在p q N p q 使Tp q是T2p和T2q的等差中项 则T2p T2q 2Tp q p q 2 0 即p q 与p q矛盾 所以不存在p q N p q 使Tp q是T2p和T2q的等差中项 1 等差数列的判定方法 定义法 对于数列 an 若an 1 an d 常数 则数列 an 是等差数列 等差中项法 对于数列 an 若2an 1 an an 2 则数列 an 是等差数列 2 在熟练应用基本公式的同时 还要会用变通的公式 如在等差数列中 am an m n d 3 已知三个或四个数成等差数列这类问题 要善于设元 目的仍在于减少运算量 如三个数成等差数列时 除了设a a d a 2d外 还可设a d a a d 四个数成等差数列时 可设为a 3m a m a m a 3m 2009 宁夏 海南卷 已知等差数列 an 中 an 0 若m 1 且am 1 am 1 am2 0 S2m 1 38 则m等于 C A 38B 20C 10D 9 由am 1 am 1 am2 得2am am2 am 2或am 0 舍去 S2m 1 2m 1 am 38 所以2m 1 19 m 10 故选C 2009 江苏卷 设 an 是公差不为零的等差数列 Sn为其前n项和 满足a22 a32 a42 a52 S7 7 1 求数列 an 的通项公式及前n项和Sn 2 试求所有的正整数m 使得为数列 an 中的项 1 设等差数列 an 的公差为d 由a22 a52 a42 a32 得 3d a4 a3 d a4 a3 因为d 0 所以a4 a3 0 即2a1 5d 0 又由S7 7 得7a1 d 7 即a1 3d 1 由 解得a1 5 d 2 所以数列 an 的通项公式为an 2n 7 前n项和为Sn n 5 2 n2 6n 2 方法一 设2m 3 t 则 t 6 所以t为8的约数 因为