高考数学(理科)应用题的解题对策.doc

高考数学应用题的解题对策高考大餐中，应用题成为必备的一道菜已有20年的历史。但是，这对于学生并非美味佳肴，每次的实测结果均让我们失望。上学期末质检理科应用题检测结果是：得分0分1分2分3分4分5分6分7分人数337091549539742960403671266得分8分9分10分11分12分13分14分人数5361577273664894047平均分：4.6 ；得分0-1分达4285人，占52.5%；绝对是意料之外的结果。其实，2000年以后的高考应用题已经不是考生可望而不可及的问题。课程标准中提出：高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐渐形成和发展数学应用意识，提高实践能力。近几年我省的考试说明明确指出：应用性问题考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。命题坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，让应用题的难度更加符合考生水平。按照这个标准，我们认为：现阶段学生解答应用题的这个现状是可以改变的。仔细分析，他们做不好应用题原因有三：1、 原有的心理定势造成心理惧怕；2、 学生考试时急于求成，缺乏理性分析问题的习惯，想一口气达成目标的功利心理所致；3、 是部分学生确实是数据处理和模型建构能力(最主要是程序性过程)不足。针对以上情况，我们的思考是：怎么通过我们的努力，尽量使这一道高考菜肴让学生觉得可口，使他们在原有基础上有所突破。以下先研读一下两个问题：冰 O化 区 域融 已 川 B(4,0)P3(8,6)图6A(-4,0)xyx=2问题一：(2010年高考湖南卷理科19) 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图6所示，设线段、是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间问题二：某电镀厂已受到环保监测部门的警告,如果再不治理环境污染,将从明年1月份起进行罚款,第一个月罚款3千元,以后逐月加罚2千元,在这种情况下,明年生产总收入y(元,按月累计)是生产时间n(以月为单位)的一次函数,且生产一个月收入为7万元如果现在投资93万元治理污染,治污系统可以在明年1月1日启用,在这种情况下,明年不会受到环保部门的罚款,而且生产收入逐月增长,生产总收入p(元,按月累计)是生产时间n(月)的二次函数,生产一个月收入为10.1万元,生产两个月收入为20.4万元,试问:治污系统启用多少个月投资开始见效?(即治污后的生产总收入p与治污投资额的差不小于不治污情况下的生产总收入y与罚款累计金额的差) 这两个题目篇幅长，信息容量大，干扰因素多，读题目时,有的学生“看”不下去,有的学生读了后段忘了前段，是导致意志力薄弱的学生解决问题困难的关键因素以下拟就这两个题目的解决，探讨对后阶段复习有益的应用题解决策略，让学生学会从阅读问题开始，能够准确抓住核心语句，并力求通过常见类型应用题的分析，提升学生解决应用题的能力。一、强化阅读训练，让学生突破实际问题数学化的障碍1、在问题阅读中，学会除去问题背景的干扰应用题提供给考生的是一个（或一类）可将其数学化的实际问题，也就是此问题是可以运用数学的观点、思想、概念和方法，组织并感知的实际问题。为此，问题解决的关键所在是，在阅读的过程中，首先要能够剔除问题与数学模式无关的背景干扰，提取数学化过程中有利的数据、信息。以问题1为例，题目中的“为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）”这段文字在将其“图示”后，应该是可以剔除的“废话”了，在问题的后续处理中应不再有任何作用。2、合理的信息分解与组合，理清数量关系通过对题目的阅读之后，合理地对问题进行分解、组合，对问题解决有决定性的影响。如前面的问题2，阅读后，若将原题分解成: (1)若该厂不治污,则明年生产的总收入y(元,按月累计)与生产时间n(以月为单位)的关系式是什么? (2)从明年1月起,n个月的罚款累计是多少? (3)若该厂治污系统启用后,生产总收入p(元,按月累计)与生产时间n(以月为单位)的关系式又怎样?(4)治污系统启用多少个月,投资开始见成效? 显然，分解后的每个问题，条件与需求清楚,而且前面问题为后面问题起到一定的铺垫作用,但解决问题的难度与原来有显著性差异，问题的解决将不再困难。3、目标达成中模型的选择与数据的分析处理阅读问题时，具有明确的目标意识，及时准确抓住核心语句，合理地对时局进行分析处理，适时将实际问题转译成数学模型，是问题目标达成的重要环节。例如上述问题1中，问题（1）的目标是，通过与所求区域有关的核心语句为“到点B的距离不超过km”及“到A，B两点的距离之和不超过km”，结合曲线的定义不难发现：到点B的距离不超过km为以B为圆心为半径的圆内部，到A，B两点的距离之和不超过km为以A、B为焦点的椭圆内部。而问题（2），结合右图不难发现即求与、到区域的最小距离。于是，在得到区域边界曲线（如图）的方程为之后，通过与过点，的直线为，点，的直线为平行而与区域边界有交点的直线的确定，即可解决问题。4、问题的辩证思维与解答检验实际问题转化为数学模型来解决,存在着数学模型选择的水平差异,它将直接导致应用题解决困难程度因此，注重把实际问题转化为数学模型的转释能力的训练,多方位地对学生进行创新思维习惯的训练，是当前提高数学应用能力关键所在【例1】如图4，在一段直的河岸同侧有A,B两个村庄，相距5千米,它们距河岸的距离分别为3千米，6千米，现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水,如果预计修建抽水站需8.25万元(含设备购置费和人工费)，铺设输水管道每米需用24.5元(含人工费和材料费)，现由镇政府拨款30万元，问A、B两村至少还需共同自筹资金多少，才能完成此项工程(准确到100元) 图4（也许这只是一个填空题）【思路分析】这是修建供水工程问题,涉及到许多方面,这里仅考虑修建抽水站和铺设户外主管道所需费用一般同学都认为这是一个代数问题,若A、B在河岸上的投影分别是E、F，抽水站建于C处。设CF=x，则A,B两村还需共同自筹资金这时，求y的最小值，技巧性强，运算繁杂；如考虑利用几何方法，将问题的关键转化为：在河边上确定点C的位置,使铺设的输水管道AC+BC最短，就不难解决本题了而能这样考虑的同学显然是少数的【例2】（2002年全国高考数学理科卷试题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？【思路分析】设每年新增汽车的数量为x万辆，那么关于x至少可以建立两种不同的数学模型：模型1：对任意满足0a60的任意实数a，都有 (1-0.06)a+x60模型2：定义数列，=30，=x+(1-0.06)，其中n=1,2,。要求对任意自然数n，都有60通过这两个模型的求解都是不等式模型，但建立模型时所采用的数学思想和方法却有明显差别。模型1用的是函数的概念与思想，所建立的是连续性模型；模型2用的是数列的概念与思想，所建立的是离散模型。其次，从观察思考问题的思维特点与问题的转化“翻译”技能的角度看，两者也有着明显差别，模型1是对问题作了较深层次的思考，抓住了相邻两年年末汽车保有量的函数关系，以及每年年末汽车保有量不超过60万辆的限制这两个基本点，采用准确“意译”的方法建立模型；而模型2是依问题本源的提法，关注逐年年末汽车保有量的变化规律及其限制条件，采用逐句“直译”的方法建立模型，再次，两个模型在形态上和求解方面，其表现也不同，模型1显得简洁，求解快捷，模型2显得曲折，求解较为繁杂，简解如下：模型1：移项，将式化为x60-(1-0.06)a，右端可看做a的一次函数，在区间(0.60上有最小值0.0660=3.6。所以不等式对任意a(0.60都成立的充要条件为x3.6。因此，答案是：每年新增汽车数量不应超过3.6万辆。模型2：=30，=x+(1-0.06)，n=1,2,-=(1-0.06)( -)=(-)= (-)= (x-1.8)，同时，又有-=x-0.06，0.06=x- (x-1.8)，因此，式(即60)等价于x- (x-1.8)3.6，即(x-1.8)(1-)1.8。利用数列的递减和极限理论，可得对任意自然数n都成立的充要条件是x-1.81.8，即x3.6。两个模型解得相同的结论，模型2的求解较之模型1较为繁难，且按照现课标要求，学生的解答难度是很大的。可以看做是建模时思考欠深的一种补偿。上述思辨性分析，会对学生的思维有较大的触动，让他们增强数学模型选择的意识。同时也提醒了他们：入手解题时，宜多一点思考，不会没有好处；要是懒得多想，后续的求解，往往免不了要付出更高的成本。当然，这需要常见应用题类型有较充裕的储备。二、几类常见应用题的解题策略1.代数型应用题（1）函数型应用题：就是通过实际问题的数学化（即将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化），建立等量关系（较为复杂的数量关系可以根据事物的类别、时间的先后、问题中给出的已知量、未知量、常量的归类，或画出图表），使复杂的数量关系清晰化，以构建函数的数学模型，在题目给定的实际定义域内求解。并且检验、比较所求是否符合实际意义。【例3】（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时,一年的销售量为万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年利润L最大，并求出L的最大值Q(a)【分析】(1)根据利润L每件的利润(x3a)销售量有L(x3a)，x9,11(2)借助导数求Q(a) 【提醒】易忽略3a5的条件，仅得Q(a)4，因此审题要仔细，避免出错【变式训练】（2011湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当时，求函数的表达式;（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【思路分析】本题的难点是函数模型是分段函数，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，提醒关注各区间最值何时取得，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值（2）不等式型应用题：主要分为，利用基本不等式解决问题，线性规划问题两种。 【例4】(2010高考广东卷)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【思路分析】本例属线性规划实际应用问题，设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x，y个单位，由题意得到线性约束条件及目标函数，进而画出可行域及求得最优解【易错点提醒】(1)不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”、“至少”等线性约束条件出现失误；(2)最优解的找法由于作图不规范而不准确；(3)最大解为“整点时”不会寻找“最优整点解”处理此类问题时，一是要规范作图,尤其是边界实虚要分清；二是寻找最优整点解时可记住“整点在整线上”(整线：形如xk或yk，kZ)【例5】（2012年1月福州理19）某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件 (I)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? ()为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价【思路分析】本例为函数型背景下的不等关系问题，建模后（）为，可得 （）为时，不等式有解问题，易得【提醒】问题（）有数据复杂，干扰因素多的特点，宜用分解组合法分析。（3）数列型应用题：主要有两种类型，一类是数学化后是等差、等比数列模型相关应用问题，另一类是以建立数列递推关系来解决的应用问题。【例6】(2012年5月福州文)甲、乙两家网络公司，1993年的市场占有率均为A，根据市场分析与预测，甲、乙公司自1993年起逐年的市场占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市场占有率都比前一年多，乙公司自1993年起逐年的市场占有率如图所示：（I）求甲、乙公司第n年市场占有率的表达式；（II）根据甲、乙两家公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公司将被另一公司兼并，经计算，2012年之前，不会出现兼并局面，试问2012年是否会出现兼并局面，并说明理由【思路分析】转释文字语言，甲公司前n年市场占有率依次构成的数列是以为首项，以为公差的等差数列；利用图形，乙公司第n年市场占有率为是一个较为典型的差、等比数列模型应用问题。【提醒】辨析清楚求的是通项还是前n项和。【例7】(2012年1月厦门理)一企业某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为件.当对产品做电视广告后，记每日的播次数n与日销量为件有以下关系：每日播一次则日销售量件在件增加件，每日播二次，则日销售量件在每日播一次时日销售量件的基础上又增加件，每日播k次，则该产品的日销售量件在每日播次时的日销售量件的基础上又增加件.合同约定：每播放一次企业需支付广告费为元. （）试求（件）关于（次）关系式；（）该企业为了获得扣除广告费后最大日利润，求每日电视广告需播多少次？【思路分析】中心语句“该产品的日销售量件在每日播次时的日销售量件的基础上又增加件”可转译为，具有的数列用迭代或累加均可确定通项，达到问题解决。【易错点提醒】迭代或累加法求通项时，要注意弄清楚有多少项相加。【变式训练】（2012高考湖南文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元.（）用d表示，并写出与的关系式；（）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.【提醒】具有特征的数列可以用迭代或通过构造数列为等比数列解决。（4）概率统计型应用题：这是专属应用题，命题走向是否与普通应用题接轨的趋向，推荐2012高考评价报告中进入红榜考题，【例7】（2012全国课标卷理18）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润 (单位：元)关于当天需求量；（单位：枝，）的函数解析式。 （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量14151617181920频 数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。2.几何型应用题（1）三角应用题：主要考查的问题形式有以正、余弦定理为载体的测量问题；以三角函数曲线为载体的景观道设计问题。【例8】据气象台预报， S岛正东方距离300公里的A处有一台风中心形成，并以每小时30公里的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270公里以内的地区将受到台风的影响问：岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由【思路分析】设为台风中心，则为边上动点，也随之变化岛是否受台风影响可转化为270这一不等式是否有解的判断，通过台风中心由A到B的时间，在中，可得55，【提醒】用正、余弦定理解决三角形问题重点关注边角关系的找寻与设计。【例9】(2012山东泰安)如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数时的图象，图象的最高点为，垂足为F. （I）求函数的解析式；（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？【思路分析】充分利用图形，确定与问题解决有关点的坐标是问题解决的根本。以上三点坐标确定后的解答实际上是纯粹的数学问题。可得（I）；（II）【提醒】图像不完整的三角函数周期确定是学生思维一道坎，抛物线上点坐标的单变量表示同样要予关注。（2）解析几何型应用题：常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁等实际问题。解决的工具主要涉及圆锥曲线定义、方程及性质。【例10】（2012年5月厦门理）如图，在一段笔直的国道同侧有相距120米的A，C两处，点A，C到国道的距离分别是119米、47米，拟规划建设一个以AC为对角线的平行四边形ABCD的临时仓库，且四周围墙总长为400米，根据公路法以及省公路管理条例规定：建筑物离公路距离不得少于20米若将临时仓库面积建到最大，该规划是否符合规定？【思路分析】类似上述2010年湖南考题，合理选择直角坐标系，根据椭圆定义确定围墙另两个墙角顶端的曲线方程，并利用“平几知识”求得公路所在直线与AC延长线交点是问题解决的关键。结论是：该规划不符合规定。【提醒】利用圆锥曲线定义处理实际问题时，应关注曲线是否完整，合理限制变量条件。（3）立体几何型应用题：常见题型有平面三角的测量拓展题或相关物体（几何体）的设计问题两种。【例11】（2012年3月厦门理）如图，从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，其中PN的长为a米，NM的边长为2a米，在P处测得M，N的仰角为，在N处测得M的仰角为（1）求此山的高度；（2）试求平面PMN与水平面所成角的余弦值。【思路分析】如右图，将所求几何量置于不同平面的三角形中考虑，应用平面测量的计算方法和立体几何有关角距的计算法（本题用平面法向量）可求得:(1)山高；（2）平面PMN与水平面所成角的余弦值. 【例12】(2011年江苏理17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。【思路分析】完成好展开图到直观图（有的是三视图）的转化，是此类问题解决的关键。本题只要能将包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm）用x表示出来，便可得到：（1）当时，S取得最大值；（2）当x=20时，V取得极大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为【提醒】（1）几何体的表面积计算注意容器是否有盖；（2）关注相关几何体的高、边长和斜高之间的关系。三、常见失分点提醒1变量取值界定:实际问题的变量是在其实际意义的背景下取值的，对比较隐蔽的条件应纳入问题思考中，避免不必要的失分。2背景或条件隐含挖掘：如例9中B,C,D点坐标；(2012山东泰安)如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数时的图象，图象的最高点