高考数学（理科）一轮复习幂函数学案含答案.doc

高考数学（理科）一轮复习幂函数学案含答案 学案9 幂函数导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，了解它们的变化情况自主梳理 1幂函数的概念形如_的函数叫做幂函数，其中_是自变量，_是常数2幂函数的性质(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性过定点yxRR奇?(1,1)yx2R0，)偶0，)(，0yx3RR奇?y 0，)0，)非奇非偶0，)yx1(，0)(0，)(，0)(0，)奇(，0)(0，)(2)所有幂函数在_上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第_象限无图象(3) 0时，幂函数的图象通过点_，并且在区间(0，)上是_， 0时，幂函数在(0，)上是减函数，图象_原点自我检测 1(2011 石家庄月考)如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取2，12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 ( )A2，12，12，2B2，12，12，2C12，2,2，12D2，12，2，12 2已知函数：y2x；ylog2x；yx1；y .则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 ( )ABCD3(2011 沧州模拟)设1,1，12，3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为( )A1,3B1,1C1,3D1,1,34与函数yxx1的图象形状一样的是( )Ay2xBylog2xCy1xDyx15已知点(33，33)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是( )Af(x)x3Bf(x)x3Cf(x) Df(x) 探究点一 幂函数的定义与图象例1 已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，14)(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)求当x为何值时：f(x) g(x)；f(x)g(x)；f(x) g(x)变式迁移1 若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，14)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)f(x)，f(x)g(x)，g(x)，f(x) g(x)，试求函数h(x)的最大值以及单调区间探究点二 幂函数的单调性例2 比较下列各题中值的大小(1) ， ；(2) ， ；(3) ， ；(4) ， 和 .变式迁移2 (1)比较下列各组值的大小： _ ；0.20.5_0.40.3.(2)已知(0.71.3)m (1.30.7)m，则m的取值范围是_探究点三 幂函数的综合应用例3 (2011 葫芦岛模拟)已知函数f(x) (mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足 的a的范围变式迁移3 已知幂函数f(x) (mN*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2a) f(a1)的实数a的取值范围1幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准2在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1右图是函数y (m，nN*，m、n互质)的图象，则 ( )Am，n是奇数，且mn 1Bm是偶数，n是奇数，且mn 1Cm是偶数，n是奇数，且mn 1Dm是奇数，n是偶数，且mn 12(2010 陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x 0，y 0，函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)”的是( )A幂函数B对数函数C指数函数D余弦函数3下列函数图象中，正确的是( )4(2010 安徽)设a ，b ，c ，则a，b，c的大小关系是( )Aa c bBa b cCc a bDb c a5下列命题中正确的是( )幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；幂函数的图象不可能在第四象限；当n0时，函数yxn的图象是一条直线；幂函数yxn当n 0时是增函数；幂函数yxn当n 0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小A和B和C和D和题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6(2011 邯郸模拟)若幂函数y 的图象不经过原点，则实数m的值为_7已知ax，b ，c ，x(0,1)，(0,1)，则a，b，c的大小顺序是_8已知函数f(x)x(0 1)，对于下列命题：若x 1，则f(x) 1；若0 x 1，则0 f(x) 1；当x 0时，若f(x1) f(x2)，则x1 x2；若0 x1 x2，则f(x1)x1 f(x2)x2.其中正确的命题序号是_三、解答题(共38分)9(12分)设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数当1x 1时，yf(x)的表达式是幂函数，且经过点(12，18)求函数在2k1,2k1)(kZ)上的表达式10(12分)已知f(x) (n2k，kZ)的图象在0，)上单调递增，解不等式f(x2x) f(x3)11(14分)(2011 荆州模拟)已知函数f(x) (kZ)满足f(2) f(3)(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q 0，使函数g(x)1qf(x)(2q1)x在区间1,2上的值域为4，178？若存在，求出q；若不存在，请说明理由答案 自主梳理1yx x 2.(2)(0，) 四 (3)(0,0)，(1,1) 增函数 不过自我检测1B 方法一 由幂函数的图象与性质，n 0时不过原点，故C3，C4对应的n值均为负，C1，C2对应的n值均为正；由增(减)快慢知n(C1) n(C2) n(C3) n(C4)故C1，C2，C3，C4的n值依次为2，12，12，2.方法二 作直线x2分别交C1，C2，C3，C4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为22, ， ，22，故n值分别为2，12，12，2.2D 第一个图象过点(0,0)，与对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为ykx，yx1恰好符合，第二个图象对应；第三个图象为指数函数图象，表达式为yax，且a 1，y2x恰好符合，第三个图象对应；第四个图象为对数函数图象，表达式为ylogax，且a 1，ylog2x恰好符合，第四个图象对应.四个函数图象与函数序号的对应顺序为.3A 4.C 5.B课堂活动区例1 解 (1)设f(x)x，图象过点(2，2)，故2(2)，解得2，f(x)x2.设g(x)x，图象过点(2，14)，142，解得2.g(x)x2.(2)在同一坐标系下作出f(x)x2与g(x)x2的图象，如图所示由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(1，1)和(1,1)当x 1，或x 1时，f(x) g(x)；当x1，或x1时，f(x)g(x)；当1 x 1且x0时，f(x) g(x)变式迁移1 解 求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，如例1图所示，则有：h(x)x2，x 1或x 1，x2， 1x1.根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(，1)和(0,1)；单调减区间为(1,0)和(1，)例2 解题导引 比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组解 (1)函数y3x是增函数，30.8 30.7.(2)函数yx3是增函数，0.213 0.233.(3) ， .(4) 1；0 1； 0， .变式迁移2 (1) (2)m 0解析 根据幂函数yx1.3的图象，当0 x 1时，0 y 1，0 0.71.3 1.又根据幂函数yx0.7的图象，当x 1时，y 1，1.30.7 1.于是有0.71.3 1.30.7.对于幂函数yxm，由(0.71.3)m (1.30.7)m知，当x 0时，随着x的增大，函数值也增大，m 0.例3 解 函数f(x)在(0，)上递减，m22m3 0，解得1 m 3.mN*，m1,2.又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数，而222233为奇数，122134为偶数，m1.而y 在(，0)，(0，)上均为减函数， 等价于a1 32a 0，或0 a1 32a，或a1 0 32a，解得a 1或23 a 32.故a的范围为a|a 1或23 a 32变式迁移3 解 (1)m2mm(m1)，mN*，而m与m1中必有一个为偶数，m(m1)为偶数函数f(x) (mN*)的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数(2)函数f(x)经过点(2，2)，2 ，即 .m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.由f(2a) f(a1)得2a0，a102a a1.解得1a 32.a的取值范围为1，32)课后练习区1C 由图象知，函数为偶函数，m为偶数，n为奇数又函数图象在第一限内上凸，mn 1.2C (xy)x y，幂函数f(x)x不具有此性质loga(xy)logax logay，对数函数f(x)logax不具有此性质axyax ay，指数函数f(x)ax具有此性质cos(xy)cos x cos y，余弦函数ycos x不具有此性质3C 对A、B，由yxa知a 1，可知A、B图象不正确；D中由yxa知0 a 1，ylogax应为减函数，D错4A y 在x(0，)递增， ，即a c，y(25)x在x(，)递减， ，即c b，a c b.5D61或2解析 由m23m31m2m20解得m1或2.经检验m1或2都适合7c a b解析 (0,1)，1 2.又x(0,1)， x ，即c a b.8解析 作出yx(0 1)在第一象限内的图象，如图所示，可判定正确，又f x x表示图象上的点与原点连线的斜率，当0 x1 x2时应有f x1 x1 f x2 x2，故错9解 设在1,1)中，f(x)xn，由点(12，18)在函数图象上，求得n3.(4分)令x2k1,2k1)，则x2k1,1)，f(x2k)(x2k)3.(8分)又f(x)周期为2，f(x)f(x2k)(x2k)3.即f(x)(x2k)3(kZ)(12分)10解 由条件知1n22n3 0，n22n3 0，解得1 n 3.(4分)又n2k，kZ，n0,2.当n0,2时，f(x)x13，f(x)在R上单调递增(8分)f(x2x) f(x3)转化为x2x x3.解得x 1或x 3.原不等式的解集为(，1)(3，)(12分)11解 (1)f(2) f(3)，f(x)在第一象限是增函数故k2k2 0，解得1 k 2.又kZ，k0或k1.当