高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案.doc

高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案 学案54 直线与圆锥曲线的位置关系导学目标： 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想自主梳理 1直线与椭圆的位置关系的判定方法(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若 0，则直线与椭圆_；若0，则直线与椭圆_；若 0，则直线与椭圆_(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax2bxc0.若a0，当 0时，直线与双曲线_；当0时，直线与双曲线_；当 0时，直线与双曲线_若a0时，直线与渐近线平行，与双曲线有_交点(3)直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2bxc0.当a0，用判定，方法同上当a0时，直线与抛物线的对称轴_，只有_交点2已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程(1)AB是椭圆x2a2y2b21 (a b 0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则kAB_，kAB kOM_.点差法求弦的斜率的步骤是：将端点坐标代入方程：x21a2y21b21，x22a2y22b21.两等式对应相减：x21a2x22a2y21b2y22b20.分解因式整理：kABy1y2x1x2b2 x1x2 a2 y1y2 b2x0a2y0.(2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线x2a2y2b21的弦，中点M(x0，y0)，则kAB_.已知抛物线y22px (p 0)的弦AB的中点M(x0，y0)，则kAB_.3弦长公式直线l：ykxb与圆锥曲线C：F(x，y)0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|1k2|x1x2|1k2 x1x2 24x1x2或|AB| 11k2|y1y2| 11k2 y1y2 24y1y2.自我检测 1抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是( )A4 B33 C43 D82(2011 中山调研)与抛物线x24y关于直线xy0对称的抛物线的焦点坐标是( )A(1,0) B.116，0C(1,0) D.0，1163(2011 许昌模拟)已知曲线x2ay2b1和直线axby10 (a、b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是( )4(2011 杭州模拟)过点0，12的直线l与抛物线yx2交于A、B两点，O为坐标原点，则OA OB的值为( )A12 B14 C4 D无法确定探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 k为何值时，直线ykx2和曲线2x23y26有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 变式迁移1 已知抛物线C的方程为x212y，过A(0，1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是( )A(，1)(1，)B.，2222，C(，22)(22，)D(，2)(2，)探究点二 圆锥曲线中的弦长问题例2 如图所示，直线ykxb与椭圆x24y21交于A、B两点，记AOB的面积为S.(1)求在k0,0 b 1的条件下，S的最大值；(2)当|AB|2，S1时，求直线AB的方程 变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1(3，0)，F2(3，0)，离心率e32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线l：yxm，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值 探究点三 求参数的范围问题例3 (2011 开封模拟)直线m：ykx1和双曲线x2y21的左支交于A、B两点，直线l过点P(2,0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围变式迁移3 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由函数思想的应用例 (12分)已知椭圆C的方程为x2a2y2b21 (a b 0)，双曲线x2a2y2b21的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B.(1)当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；(2)求|FA|AP|的最大值【答题模板】解 (1)双曲线的渐近线为ybax，两渐近线夹角为60，又ba 1，POx30，batan 3033，a3b.又a2b222，3b2b24，2分b21，a23，椭圆C的方程为x23y21，离心率ea2b2a63.4分(2)由已知，l：yab(xc)与ybax联立，解方程组得Pa2c，abc.6分设|FA|AP|，则FAAP，F(c,0)，设A(x0，y0)，则(x0c，y0)a2cx0，abcy0，x0c a2c1，y0 abc1.即Ac a2c1， abc1.8分将A点坐标代入椭圆方程，得(c2a2)22a4(1)2a2c2，等式两边同除以a4，(e2)22e2(1)2，e(0,1)，10分2e4e2e22 2e2 22e232 2e2 22e23322(21)2，当2e22，即e222时，有最大值21，即|FA|AP|的最大值为21.12分【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决【易错点剖析】不能把|FA|AP|转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由2e4e2e22不会求最值或忽视e22 0这个隐含条件1直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力2从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2bxc0的方程，由韦达定理得x1x2ba，x1x2ca.然后再把要研究的问题转化为用x1x2和x1x2去表示最后，用函数、不等式等知识加以解决需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式0，圆锥曲线中有关量的固有范围等(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011 菏泽调研)F1、F2是椭圆x2a2y2b21 (a b 0)的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为( )A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线2若双曲线x29y241的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y22px (p 0)通过点A，则p的值为( )A.92 B2 C.21313 D.13133(2011 武汉月考)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A2 B3 C.115 D.37164已知直线yk(x2) (k 0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k等于( )A.13 B.23 C.23 D.2235斜率为1的直线l与椭圆x24y21相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )A2 B.455C.4105 D.8105二、填空题(每小题4分，共12分)6(2011届合肥期末)若直线ykx1 (kR)与焦点在x轴上的椭圆x25y2t1恒有公共点，则t的范围是_7P为双曲线x2y2151右支上一点，M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为_8(2010 全国)已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AMMB，则p_.三、解答题(共38分)9(12分)已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，求|AB|的长 10(12分)(2010 天津)已知椭圆x2a2y2b21(a b 0)的离心率e32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且QA QB4，求y0的值 11(14分)(2011 江西)P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：x2a2y2b21(a 0，b 0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OCOAOB，求的值 学案54 直线与圆锥曲线的位置关系自主梳理1(1)相交 相切 相离 (2)相交 相切 相离 一个(3)平行 一个 2.(1)b2x0a2y0 b2a2 (2)b2x0a2y0 py0自我检测1C 2.C 3.C 4.B课堂活动区例1 解题导引 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系解 由ykx2，2x23y26，得2x23(kx2)26，即(23k2)x212kx60，144k224(23k2)72k248.当72k248 0，即k 63或k 63时，直线和曲线有两个公共点；当72k2480，即k63或k63时，直线和曲线有一个公共点；当72k248 0，即63 k 63时，直线和曲线没有公共点变式迁移1 D 直线AB的方程为y4tx1(t0时不合题意，舍去)，与抛物线方程x212y联立得x22tx120，由于直线AB与抛物线C没有公共点，所以4t22 0，解得t 2或t 2.例2 解题导引 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解解 (1)设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，由x24y21，解得x1,221b2，所以S12b|x1x2|2b1b2b21b21.当且仅当b22时，S取到最大值1.(2)由ykxbx24y21得(4k21)x28kbx4b240，16(4k2b21)|AB|1k2|x1x2|1k2 16 4k2b21 4k212.又因为O到AB的距离d|b|1k22S|AB|1，所以b2k21.将代入并整理，得4k44k210，解得k212，b232，代入式检查， 0.故直线AB的方程是：y22x62或y22x62或y22x62或y22x62.变式迁移2 解 (1)设椭圆方程为x2a2y2b21 (a b 0)，则c3，ca32.a2，b1.所求椭圆方程为x24y21.(2)由yxm，x24y21，消去y得关于x的方程：5x28mx4(m21)0，则64m280(m21) 0，解得m2 5.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x285m，x1x24 m21 5，y1y2x1x2，|PQ| x1x2 2 y1y2 22 x1x2 2 285m2165 m21 2，解得m2158，满足(*)，m304.例3 解题导引 直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究解 由ykx1x2y21 (x1)得(k21)x22kx20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则4k28 1k2 0x1x22k1k2 0x1x221k2 0，1 k 2.设M(x0，y0)，由x0x1x22k1k2y0y1y2211k2，设l与y轴的交点为Q(0，b)，则由P(2,0)，Mk1k2，11k2，Q(0，b)三点共线得b22k2k2，设f(k)2k2k2，则f(k)在(1，2)上单调递减，f(k)(22，1)，b(，22)(2，)变式迁移3 解 (1)由已知条件，直线l的方程为ykx2，代入椭圆方程得x22(kx2)21，整理得12k2x222kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k2412k24k22 0，解得k 22或k 22.即k的取值范围为，2222，.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OPOQ(x1x2，y1y2)，由方程，x1x242k12k2.又y1y2k(x1x2)22.而A(2，0)，B(0,1)，AB(2，1)所以OPOQ与AB共线等价于x1x22(y1y2)，将代入上式，解得k22.由(1)知k 22或k 22，故没有符合题意的常数k.课后练习区1A 2.C 3.A 4.D 5.C61,5) 7.5 8.29解 设直线AB的方程为yxb，由yx23，yxb，消去y得x2xb30，(3分)x1x21.于是AB的中点M(12，12b)，且14(b3) 0，即b 134.(6分)又M(12，12b)在直线xy0上，b1符合(8分)x2x20.由弦长公式可得|AB|112 1 24 2 32.(12分)10解 (1)由eca32，得3a24c2.再由c2a2b2，得a2b.由题意可知122a2b4，即ab2.解方程组a2b，ab2，得a2，b1.所以椭圆的方程为x24y21.(4分)(2)由(1)可知A(2,0)，且直线l的斜率必存在设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组yk x2 ，x24y21.由方程组消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由根与系数的关系，得2x116k2414k2，所以x128k214k2，从而y14k14k2.设线段AB的中点为M，则M的坐标为(8k214k2，2k14k2)(6分)以下分两种情况讨论：当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA(2，y