高考数学（理科）一轮复习利用向量方法求空间角学案有答案.doc

高考数学（理科）一轮复习利用向量方法求空间角学案有答案 学案46 利用向量方法求空间角导学目标： 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角自主梳理 1两条异面直线的夹角(1)定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线ab，则a与a的夹角叫做a与b的夹角(2)范围：两异面直线夹角的取值范围是_(3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则有cos _.2直线与平面的夹角(1)定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角(2)范围：直线和平面夹角的取值范围是_(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin _或cos sin .3二面角(1)二面角的取值范围是_(2)二面角的向量求法：若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图)设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)自我检测 1已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A45 B135C45或135 D902若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则( )Al1l2 Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直 D以上均不正确3若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于( )A120 B60C30 D以上均错4(2011 湛江月考)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD217，则该二面角的大小为( )A150 B45 C60 D1205(2011 铁岭模拟)已知直线AB、CD是异面直线，ACCD，BDCD，且AB2，CD1，则异面直线AB与CD夹角的大小为( )A30 B45 C60 D75探究点一 利用向量法求异面直线所成的角例1 已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，CACBCC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值变式迁移1 如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角探究点二 利用向量法求直线与平面所成的角例2 (2011 新乡月考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值变式迁移2 如图所示，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，点F是AE的中点求AB与平面BDF所成角的正弦值 探究点三 利用向量法求二面角例3 如图，ABCD是直角梯形，BAD90，SA平面ABCD，SABCBA1，AD12，求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小 变式迁移3 (2011 沧州月考)如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC中点(1)证明：SO平面ABC；(2)求二面角ASCB的余弦值探究点四 向量法的综合应用例4 如图所示，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD3，BDCD1，另一个侧面ABC是正三角形(1)求证：ADBC；(2)求二面角BACD的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由 变式迁移4 (2011 山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90，EA平面ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE；(2)若ACBC2AE，求二面角ABFC的大小1求两异面直线a、b的夹角，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos |cosa，b|.2求直线l与平面所成的角.可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角则sin |cosn，a|.3求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角则n1，n2或n1，n2(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011 成都月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sinDB1，CM的值等于( )A.12 B.21015C.23 D.11152长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010 C.21510 D.310103已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为( )A.13 B.23 C.33 D.234.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1C，C1D与上底面A1B1C1D1所成的角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成的余弦值为( )A.26 B.63C.36 D.645(2011 兰州月考)P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为( )A60 B70 C80 D90二、填空题(每小题4分，共12分)6(2011 郑州模拟)已知正四棱锥PABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是_7如图，PA平面ABC，ACB90且PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_8如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_三、解答题(共38分)9(12分)(2011 烟台模拟)如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8.BC是O的直径，ABAC6，OEAD.(1)求二面角BADF的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值10(12分)(2011 大纲全国)如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值11(14分)(2011 湖北)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合(1)当CF1时，求证：EFA1C；(2)设二面角CAFE的大小为，求tan 的最小值 学案46 利用向量方法求空间角自主梳理1(2)0，2 (3)|cos | a b|a| |b|2(2)0，2 (3)|cos | 3.(1)0，自我检测1C 2.B 3.C 4.C 5.C课堂活动区例1 解题导引 (1)求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确(2)用异面直线方向向量求两异面直线夹角时，应注意异面直线所成角的范围是0，2解 如图所示，以C为原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设CACBCC12，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，BD(0，1,2)，A1C(2,0，2)，cosBD，A1CBD A1C|BD|A1C|105.异面直线BD与A1C所成角的余弦值为105.变式迁移1 解 BA1BABB1，ACABBC，BA1 AC(BABB1) (ABBC)BA ABBA BCBB1 ABBB1 BC.ABBC，BB1AB，BB1BC，BA BC0，BB1 AB0，BB1 BC0，BA ABa2，BA1 ACa2.又BA1 AC|BA1| |AC| cosBA1，AC，cosBA1，ACa22a2a12.BA1，AC120.异面直线BA1与AC所成的角为60.例2 解题导引 在用向量法求直线OP与所成的角(O)时，一般有两种途径：一是直接求OP，OP，其中OP为斜线OP在平面内的射影；二是通过求n，OP进而转化求解，其中n为平面的法向量解 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图则M(1,0,2)，N(0,1,0)，可得MN(1,1，2)又DA(0,0,2)为平面DCEF的法向量，可得cosMN，DAMN DA|MN|DA|63.所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为|cosMN，DA|63.变式迁移2 解 以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)BD(0,2,1)，DF(1，2,0)设平面BDF的一个法向量为n(2，a，b)，nDF，nBD，n DF0，n BD0. 即 2，a，b 1，2，0 0， 2，a，b 0，2，1 0.解得a1，b2.n(2,1，2)设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与BA的夹角为2，cos2BA n|BA|n| 2，0，0 2，1，2 2323，即sin 23，故AB与平面BDF所成角的正弦值为23.例3 解题导引 图中面SCD与面SBA所成的二面角没有明显的公共棱，考虑到易于建系，从而借助平面的法向量来求解解 建系如图，则A(0,0,0)，D12，0，0，C(1,1,0)，B(0，1,0)，S(0,0,1)，AS(0,0,1)，SC(1,1，1)，SD12，0，1，AB(0,1,0)，AD12，0，0.AD AS0，AD AB0.AD是面SAB的法向量，设平面SCD的法向量为n(x，y，z)，则有n SC0且n SD0.即xyz0，12xz0.令z1，则x2，y1.n(2，1,1)cosn，ADn AD|n|AD|21261263.故面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为63.变式迁移3 (1)证明 由题设ABACSBSCSA.连接OA，ABC为等腰直角三角形，所以OAOBOC22SA，且AOBC.又SBC为等腰三角形，故SOBC，且SO22SA.从而OA2SO2SA2，所以SOA为直角三角形，SOAO.又AOBCO，所以SO平面ABC.(2)解 以O为坐标原点，射线OB、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz，如右图设B(1,0,0)，则C(1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)SC的中点M12，0，12，MO12，0，12，MA12，1，12，SC(1,0，1)，MO SC0，MA SC0.故MOSC，MASC，MO，MA等于二面角ASCB的平面角cosMO，MAMO MA|MO|MA|33，所以二面角ASCB的余弦值为33.例4 解题导引 立体几何中开放性问题的解决方式往往是通过假设，借助空间向量建立方程，进行求解(1)证明 作AH面BCD于H，连接BH、CH、DH，则四边形BHCD是正方形，且AH1，将其补形为如图所示正方体以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系则B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)BC(1,1,0)，DA(1,1,1)，BC DA0，则BCAD.(2)解 设平面ABC的法向量为n1(x，y，z)，则由n1BC知：n1 BCxy0，同理由n1AC知：n1 ACxz0，可取n1(1,1，1)，同理，可求得平面ACD的一个法向量为n2(1,0，1)由图可以看出，二面角BACD即为n1，n2，cosn1，n2n1 n2|n1|n2|1013263.即二面角BACD的余弦值为63.(3)解 设E(x，y，z)是线段AC上一点，则xz 0，y1，平面BCD的一个法向量为n(0,0,1)，DE(x,1，x)，要使ED与平面BCD成30角，由图可知DE与n的夹角为60，所以cosDE，nDE n|DE|n|x12x2cos 6012.则2x12x2，解得x22，则CE2x1.故线段AC上存在E点，且CE1时，ED与面BCD成30角变式迁移4 (1)证明 方法一 因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90，所以EGF90，ABCEFG.由于AB2EF，因此BC2FG.连接AF，由于FGBC，FG12BC，在 ABCD中，M是线段AD的中点，则AMBC，且AM12BC，因此FGAM且FGAM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA.又FA 平面ABFE，GM 平面ABFE，所以GM平面ABFE.方法二 因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90，所以EGF90，ABCEFG.由于AB2EF，所以BC2FG.取BC的中点N，连接GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GNFB.在 ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则MNAB.因为MNGNN，所以平面GMN平面ABFE.又GM 平面GMN，所以GM平面ABFE.(2)解 方法一 因为ACB90，所以CAD90.又EA平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直分别以AC，AD，AE所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设ACBC2AE2，则由题意得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(2,0,0)，E(0,0,1)，所以AB(2，2,0)，BC(0,2,0)又EF12AB，所以F(1，1,1)，BF(1,1,1)设平面BFC的法向量为m(x1，y1，z1)，则m BC0，m BF0，所以y10，x1z1，取z11，得x11，所以m(1,0,1)设平面向量ABF的法向量为n(x2，y2，z2)，则n AB0，n BF0，所以x2y2，z20，取y21，得x21.则n(1,1,0)所以cosm，nm n|m| |n|12.因此二面角ABFC的大小为60.方法二 由题意知，平面ABFE平面ABCD.取AB的中点H，连接CH.因为ACBC，所以CHAB，则CH平面ABFE.过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则CRBF，所以HRC为二面角ABFC的平面角由题意，不妨设ACBC2AE2，在直角梯形ABFE中，连接FH，则FHAB.又AB22，所以HFAE1，BH2，因此在RtBHF中，HR63.由于CH12AB2，所以在RtCHR中，tanHRC2633.因此二面角ABFC的大小为60.课后练习区1B 以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知DB1(1,1,1)，CM1，12，0，故cosDB1，CMDB1 CM|DB1|CM|1515，从而sinDB1，CM21015.2B 建立空间直角坐标系如图则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)BC1(1,0,2)，AE(1,2,1)，cosBC1，AEBC1 AE|BC1| |AE|3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.3C 4.D5D 不妨设PMa，PNb，作MEAB于E，NFAB于F，如图：EPMFPN45，PE22a，PF22b，EM FN(PMPE) (PNPF)PM PNPM PFPE PNPE PFabcos 60a22bcos 4522abcos 4522a22bab2ab2ab2ab20，EMFN，二面角AB的大小为90.6.255解析 如图建立空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为2，则PB2，OB1，OP1.B(1,0,0)，D(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，M12，0，12，N12，0，12，AM12，1，12，AN12，1，12，设平面AMN的法向量为n1(x，y，z)，由n AM12xy12z0，n AN12xy12z0，解得x0，z2y，不妨令z2，则y1.n1(0,1,2)，平面ABCD的法向量n2(0,0,1)，则cosn1，n2n1 n2|n1| |n2|25255.7.2解析 PBPAAB，故PB AC(PAAB) ACPA ACAB AC0a2acos 45a2.又|PB|3a，|AC|a.cosPB，AC33，sinPB，AC63，tanPB，AC2.8.45解析 不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3，1,0)，B1(3，1,2)，D32，12，2.则CD32，12，2，CB1(3，1,2)，设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)，由n CD0，n CB10，解得n(3，1,1)又DA32，12，2，sin |cosDA，n|45.9解 (1)AD与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角(2分)依题意可知，ABFC是正方形，BAF45.即二面角BADF的大小为45.(5分)(2)以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则O(0,0,0)，A(0，3 2，0)，B(3 2，0,0)，D(0，3 2，8)，E(0,0,8)，F(0,3 2，0)，(7分)BD(3 2，3 2，8)，EF(0,3 2，8)cosBD，EFBD EF|BD|EF|01864100828210.(10分)设异面直线BD与EF所成角为，则cos |cosBD，EF|8210.即直线BD与EF所成的角的余弦值为8210.(12分)10.方法一 (1)证明 取AB中点E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，DECB2，连接SE，则SEAB，SE3.又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE为直角，即SDSE.(3分)由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.由SD与两条相交直线AB、SE都垂直，所以SD平面SAB.(6分)(2)解 由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE.作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，SFSD SEDE32.(8分)作FGBC，垂足为G，则FGDC1.连接SG，又BCFG，BCSF，SFFGF，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG.作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC.FHSF FGSG37，则F到平面SBC的距离为217.由于EDBC，所以ED平面SBC，E到平面SBC的距离d为217.(10分)设AB与平面SBC所成的角为，则sin dEB217，即AB与平面SBC所成的角的正弦值为217.(12分)方法二 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B