二次函数讲义 有例题讲解和作业.docx

一、二次函数的概念1、定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2、注意点：（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a0，而b、c为任意实数。（2）当b=c=0时，二次函数是最简单的二次函数。（3）二次函数是常数，自变量的取值为全体实数 （为整式）3、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c（a0）， 对称轴：直线x= 顶点坐标：( ) （2）顶点式：（a0）， 对称轴：直线x= 顶点坐标为（, ）（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a0）, 对称轴:直线x= (其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).二、二次函数的图象1、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.三、二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()注：常用性质：1、开口方向：当a0时，函数开口方向向上； 当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x= ， y最小 当a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a0时，情况相反. 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点. 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同. 一元二次方程（a0）的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标. A. B. C. D.重庆市2007已知，在RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。（1）求点C的坐标；（2）若抛物线（0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线（0）的顶点坐标为，对称轴公式为（1）过点C作CH轴，垂足为H 在RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2 OB4，OA 由折叠知，COB300，OCOA COH600，OH，CH3 C点坐标为（，3） （2）抛物线（0）经过C（，3）、A（，0）两点 解得： 此抛物线的解析式为： （3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C MP轴，设垂足为N，PN，因为BOA300，所以ON P（，） 作PQCD，垂足为Q，MECD，垂足为E把代入得： M（，），E（，） 同理：Q（，），D（，1） 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CEQD 即，解得：，（舍） P点坐标为（，） 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）徐州市200725.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。解：、（2006山东潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为平行于轴的直线过点（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？解（1）把代入得，一次函数的解析式为； 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，设二次函数解析式为，把代入得，二次函数解析式为 （2）由解得或，过点分别作直线的垂线，垂足为，则，直角梯形的中位线长为，过作垂直于直线于点，则， 的长等于中点到直线的距离的2倍，以为直径的圆与直线相切（3）平移后二次函数解析式为，令，得，过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，此时，半径为2，面积为，设圆心为中点为，连，则，在三角形中，而，当时，过三点的圆面积最小，最小面积为作业：一、选择题：1、已知二次函数的图像与轴的交点坐标为（0，），与轴的交点坐标为（，0）和（，0），若0，则函数解析式为（ ） A、 B、 C、 D、2、形状与抛物线相同，对称轴是，且过点（0，3）的抛物线是（ ）A、 B、C、 D、或3、已知一次函数的图像与轴、轴分别交于A、C两点，二次函数的图像过点C且与一次函数图像在第二象限交于另一点B，若ACCB12，则二次函数图像的顶点坐标为（ ） A、（1，3） B、（，） C、（，） D、（，）4、已知二次函数的最大值是2，它的图像交轴于A、B两点，交轴于C点，则 。二、填空题：1、已抛物线过点A（1，0）和B（3，0），与轴交于点C，且BC，则这条抛物线的解析式为 。2、已知二次函数的图像交轴于A、B两点，对称轴方程为，若AB6，且此二次函数的最大值为5，则此二次函数的解析式为 。3、如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。（精确到0.1米）4、已知抛物线与抛物线的形状相同，顶点在直线，且顶点到轴的距离为，则此抛物线的解析式为 。三、解答题：1、已知抛物线交轴于A、B两点，点A在轴左侧，该图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，且。（1）求此二次函数的解析式；（2）若点M在轴上方的抛物线上