高考第春季专题-函数与方程、不等式.doc

年 级高三学科数学内容标题函数与方程、不等式1编稿老师黄国强一、学习目标1. 熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式、可化为一元二次不等式的分式不等式、高次不等式、简单的绝对值不等式的解法.通过对不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题，以及计算的能力.2. 掌握基本不等式及其简单的应用，并能利用综合法、分析法、数学归纳法、反证法等证明简单的不等式.3. 能画出二元一次不等式组表示的平面区域，会利用平面区域求目标函数的最值.4. 通过不等式的基本知识、基本方法在函数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融会贯通，从而提高分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，学会利用函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想解决不等式问题.提高学生的数学素质及创新意识.二、重点、难点重点：1. 一元一次不等式(组)、一元二次不等式、可化为一元二次不等式的分式不等式、高次不等式、简单的绝对值不等式的解法.2. 基本不等式的应用，利用综合法、分析法、数学归纳法、反证法等证明简单的不等式.3. 能画出二元一次不等式组表示的平面区域，会利用平面区域求目标函数的最值.难点：1. 不等式与函数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等知识的综合应用.2. 利用函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想解决不等式问题.三、考点分析新课标高考对不等式这部分知识的考查，渗透在各种题型中，考查的题型主要是选择题、填空题、及某些综合问题中的某一问.选择题、填空题以考查基础知识为主.一元一次不等式(组)、一元二次不等式、可化为一元二次不等式的分式不等式、高次不等式、简单的绝对值不等式的解法及基本不等式的简单应用、利用平面区域求目标函数的最值等知识点是考查的重点.综合性问题常与数列、函数、三角函数、复数、立体几何、解析几何等知识综合在一起进行考查.因此，不等式应用问题体现了一定的综合性及灵活多样性，这对同学们将数学中所学的各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用.一、不等式的性质1. 若ab,bc，则ac；2. 若ab,则a+cb+c；3. 若ab，c0则acbc；4. ab,cda+cb+d；5. ab0,cd0；6. ab0，n.二、不等式的解法1. 一元一次不等式（组）解法：形如解的讨论：当a0时，解集是；当a0时，解集是；当a=0且bd,则“ab”是“acbd”的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充要也不必要思路分析：1. 本题主要考查不等式的概念与性质：解答此小题时，逐一验证由（1）（2）（3）（4）能否推出即可.2. 对四个选项逐一进行验证.可采用“特值法”判断.3. 在cd的前提下，验证是否成立即可.解题过程：1. 显然，即a0,b0时，不成立，故（1）（2）（4）都能推出.2. A：恒成立B：恒成立.C：当abd的前提下，ab不能推出acbd，但由acbd可以推出ab.由同向不等式相加得：，故选B.解题后的思考：新课标高考对不等式的概念和性质的考查以基础知识为主，考查的题型多为选择与填空题.掌握不等式的概念和性质是解决此类问题的关键.在解决问题的过程中应注意数学方法的应用，如可用不等式的性质直接解决，也可用特值法、比较法等通过否定加以解决.注意不等式：对是恒成立的.特别要注意等号成立的条件.例2. （不等式的解法）已知三个不等式：（1）若同时满足、的值也满足，求m的取值范围；（2）若满足的值至少满足和中的一个，求m的取值范围思路分析：本题主要综合考查整式、分式不等式和含绝对值不等式的解法，以及数形结合思想的运用，解答本题的关键是弄清同时满足、的值也满足的充要条件是：对应的方程的两个根分别在区间和内.不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系.解题过程：记的解集为A，的解集为B，的解集为C.解得A=（1，3）；解得B=（1）因同时满足、的值也满足，ABC设，由的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足.（2）因满足的值至少满足和中的一个，因此方程的小根大于或等于1，大根小于或等于4，因而有解题后的思考：对于整式、分式不等式和含绝对值不等式的解法要熟练地掌握其基本思想，在运算过程中要细心，不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系，还应注意转化的思想和数形结合的思想应用.例3. （线性规划、基本不等式及其应用）1. 若不等式恒成立，则a的最小值是_2. 已知方程的两个根分别在（0,1）和（1,2）内，则的取值范围是_.思路分析：1. 分离参数,利用基本不等式的性质求的最大值.2. 根据已知探求a，b的不等关系表示的平面区域.再求目标函数的取值范围.解题过程：1. 恒成立恒成立等号成立，故，即a的最小值是2. 由题意：，以a为横坐标，b为纵坐标，画出不等式组表示的平面区域（如图）.A（3,1），B（2,0），C（1,0）.的几何意义是定点P（0,4）到区域内点的距离的平方.定点P到直线AC的距离最小，到B点的距离最大.定点P到直线AC的距离d，定点P到B点的距离的平方为20.解题后的思考：对于基本不等式的使用要注意应用的条件（一正、二定、三相等），利用平面区域求目标函数最值问题时，要准确画出平面区域（如：要分清区域的边界是实线还是虚线），非线性目标函数的最值问题在新课标高考试题中出现较多.要会将其转化为距离问题、斜率问题等.例4. （恒成立、能成立、恰好成立的问题）已知两个函数，其中k为实数.（I）若对任意的都有成立，求k的取值范围.（II）若对任意的，总存在使得，求k的取值范围.思路分析：（I）对任意的都有成立恒成立.由此建立关于k的不等式.（II）设函数f(x)的值域是A，g(x)的值域是B，则由已知.解题过程：（I），函数f(x)的最值必在x=1或x=3或x=3处取得.由于f（1）= 8k f（3）=24k f（3）=120k=由，故k的取值范围是（II）设函数f(x)的值域是A，g(x)的值域是B，由第（I）问知：A=k8,k+120B=21,111由得：，故k的取值范围是9，13解题后的思考：有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现，要理解各自的区别.能成立是指部分成立的问题，要注意处理的方法（如本题的第二问，不能误认为）.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值，然后进行比较，最大的函数值就是函数的最大值，最小的函数值就是函数的最小值.也可简化运算（如本题的解题方法）例5. （不等式与函数的综合问题）已知（I）讨论函数的单调性.（II）若对任意的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.思路分析：（I）求，讨论参数a，判断的符号.（II）对任意的不等式在区间上恒成立，由此建立关于a,b的不等式组，再根据a的取值范围求b的取值范围.解题过程：（I），当时，故此时函数的增区间是当时，由；当；当或时，；当时，故函数在区间上递增，在区间上递减.（注意：函数的定义域，x=0是不可导点）（II）由（I）知：在闭区间上的最大值是中的较大者对任意的不等式在区间上恒成立对任意的a恒成立，故b的取值范围是解题后的思考：不等式与函数的综合问题是新课标高考常见的题型，常与求导数、最值、参数的取值范围等内容联系在一起考查，解答恒成立的问题可转化为利用导数求函数的最值问题，求参数的取值范围问题可采用分离参数法或利用恒成立问题来解决.例6. （不等式与数列的综合问题）数列满足a1=1，且.（）证明：；（）已知不等式对于成立.证明：.其中无理数e=2.71828.思路分析：（I）利用数学归纳法证明即可.（II）根据，采用“放缩法”得：取自然对数，由已知不等式对于成立进行证明.解题过程：（）（1）当n=2时，；（2）假设时，不等式成立，即，则，即当时，不等式也成立.综合（1）（2），得.（），取自然对数，得：当时，即，成立.解题后的思考：新课标高考考查不等式的证明问题常出现在函数、数列等大题的某一问中，要根据已知条件选择适宜的方法加以证明，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法（理科）是证明不等式常用的方法，特别是关于正整数n的不等式的证明要首先考虑利用数学归纳法证明. 新课标高考对不等式知识的考查比大纲版高考考查的难度降低很多，主要考查基础知识及其灵活运用，更多的体现在对处理不等式问题时运用的数学思想和方法的考查，因此在第二轮复习时，同学们除了不能忽视基础知识外，更重要的是加强数学思想和数学方法在解决不等式问题中的应用方面的训练.不等式这部分知识，渗透在中学数学的各个分支中，有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性及灵活多样性.在解决问题时，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题最终都可归结为不等式的求解或证明.（答题时间：60分钟）一、选择题1. 方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 且2. 若，则不等式的解是（ ）A. B. C. 或D. 或3. 设若的最小值为（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 4. 已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 5. 已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为（ ）A. B. C. D. 6. 已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数是减函数.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）A. a1B. a2C. 1a2D. a1或a27. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、填空题8. 已知不等式的解集是，对于有以下结论：；其中正确的有_9. 不等式的解集为 .10. 若关于x的不等式的解集为,则实数 11. 若不等式的解集为,则实数的值为_三、计算题12. 设,若的解集为A,求实数的取值范围13. 已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1、x2都满足当x0时f（x）0且f（2）=3.（1）判断f（x）的奇偶性和单调性；（2）当，对所有均成立，求实数m的取值范围.14. 已知数列中，b1=1，点P（bn,bn+1）在直线xy+2=0上.（）求数列（）设的前n项和为Bn, 试比较.（）设Tn=一、选择题1. D 解析：由已知得m不等于零，且2. A 解析： ，由0a1知：，故选（A）.3. B 解析：因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选B4. D 解析：由已知的不等式相加得：或利用线性规划知识加以解决.5. B 解析：图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，由题目易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线所成的夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B.6. C 解析：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，. 若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，故p和q中只有一个是真命题，另一个是假命题. 若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1a2，故选C.7. A 解析：因为对任意x恒成立，所以二、填空题8. 9. 解析：原不等式等价于不等式组或或，解得不等式组无解,由得,由得,综上得,所以原不等式的解集为.10. 4 解析：原不等式等价于，因其解集为，所以，方程的两根为1和4，故.11. 36解析：令,因为,所以,原不等式可以化为,其解集为,所以,和是方程的两个根,故，解得三、计算题12. 解:由解得其两根为,由