2020版高考数学复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和课件文北师大版.pptx

6 2等差数列及其前n项和 2 知识梳理 考点自诊 1 等差数列 1 定义 一般地 如果一个数列从起 每一项与它的前一项的等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差通常用字母d表示 数学语言表示为 n N d为常数 2 等差中项 数列a A b成等差数列的充要条件是 其中A叫做a b的 3 等差数列的通项公式 an 可推广为an am n m d 第2项 差 同一个常数 公差 an 1 an d 等差中项 a1 n 1 d 3 知识梳理 考点自诊 2 等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 1 an a1 n 1 d可化为an dn a1 d的形式 当d 0时 an是关于n的一次函数 当d 0时 数列为递增数列 当d 0时 数列为递减数列 2 数列 an 是等差数列 且公差不为0 Sn An2 Bn A B为常数 4 知识梳理 考点自诊 1 已知 an 为等差数列 d为公差 Sn为该数列的前n项和 1 在等差数列 an 中 当m n p q时 am an ap aq m n p q N 特别地 若m n 2p 则2ap am an m n p N 2 ak ak m ak 2m 仍是等差数列 公差为md k m N 3 Sn S2n Sn S3n S2n 也成等差数列 公差为n2d 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 知识梳理 考点自诊 6 知识梳理 考点自诊 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 若一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 3 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数 4 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n N 都有2an 1 an an 2 5 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 6 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 7 知识梳理 考点自诊 2 2018湖南衡阳一模 3 在等差数列 an 中 a1 3a8 a15 120 则a2 a14的值为 A 6B 12C 24D 48 D 解析 由等差数列的性质可得a1 3a8 a15 5a8 120 所以a8 24 a2 a14 2a8 48 3 2018全国1 理4 记Sn为等差数列 an 的前n项和 若3S3 S2 S4 a1 2 则a5 A 12B 10C 10D 12 B 解析 因为3S3 S2 S4 所以3S3 S3 a3 S3 a4 即S3 a4 a3 设公差为d 则3a1 3d d 又由a1 2 得d 3 所以a5 a1 4d 10 8 知识梳理 考点自诊 4 2018上海 6 记等差数列 an 的前n项和为Sn 若a3 0 a6 a7 14 则S7 5 2018北京 理9 设 an 是等差数列 且a1 3 a2 a5 36 则 an 的通项公式为 14 an 6n 3 解析 an 为等差数列 设公差为d a2 a5 2a1 5d 36 a1 3 d 6 an 3 n 1 6 6n 3 9 考点1 考点2 考点3 考点4 等差数列中基本量的求解例1 1 2018河南六市联考一 4 在等差数列 an 中 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 以Sn表示 an 的前n项和 则使Sn达到最大值的n是 A 21B 20C 19D 18 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则m等于 A 3B 4C 5D 6 B C 10 考点1 考点2 考点3 考点4 11 考点1 考点2 考点3 考点4 12 考点1 考点2 考点3 考点4 思考求等差数列基本量的一般方法是什么 解题心得1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n Sn 已知其中三个就能求出另外两个 体现了用方程组解决问题的思想 3 减少运算量的设元的技巧 若三个数成等差数列 可设这三个数分别为a d a a d 若四个数成等差数列 可设这四个数分别为a 3d a d a d a 3d 13 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练1 1 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 A 100B 99C 98D 97 2 2018衡水中学16模 2 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且S6 39 则a3 a4 A 31B 12C 13D 52 C C 14 考点1 考点2 考点3 考点4 15 考点1 考点2 考点3 等差数列的判定与证明例2 2018河南洛阳三模 17 设正项数列 an 的前n项和Sn满足2 an 1 证明数列 an 是等差数列并求其通项公式 两式作差 得 an an 1 an an 1 2 0 又因为 an 是正项数列 所以an an 1 2 数列 an 是以1为首项 2为公差的等差数列 an 2n 1 16 考点1 考点2 考点3 考点4 思考判断或证明一个数列为等差数列的基本方法有哪些 解题心得1 等差数列的四种判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n N an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 Sn An2 Bn A B为常数 an 是等差数列 2 若证明一个数列不是等差数列 则只需证明存在连续三项不成等差数列即可 17 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1 考点2 考点3 考点4 等差数列性质的应用 多考向 考向1等差数列项的性质的应用例3 1 2018衡水中学一模 3 已知等差数列 an 的前n项和是Sn 且a4 a5 a6 a7 18 则下列命题正确的是 A a5是常数B S5是常数C a10是常数D S10是常数 2 2018山东师大附中一模 8 在等差数列 an 中 若a1 a4 a7 39 a3 a6 a9 27 则S9等于 A 66B 99C 144D 297思考如何利用等差数列的性质快捷地求出结果 D B 解析 1 a4 a5 a6 a7 2 a5 a6 18 a5 a6 9 S10 5 a5 a6 45 为常数 故选D 2 由题意 得2 a2 a5 a8 a1 a4 a7 a3 a6 a9 39 27 66 a2 a5 a8 33 S9 66 33 99 19 考点1 考点2 考点3 考点4 考向2等差数列前n项和的性质的应用例4在等差数列 an 中 前m项的和为30 前2m项的和为100 则前3m项的和为 210 思考本例题应用什么性质求解比较简便 解题心得在等差数列 an 中 依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果 常用的性质有 在等差数列 an 中 数列Sm 也是等差数列 20 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练3 1 2018湖南张家界三模 在等差数列 an 中 a3 a5 12 a7 则a1 a9 A 8B 12C 16D 20 3 2018安徽六安一中模拟 在等差数列 an 中 若a3 a7是函数f x x2 4x 3的两个零点 则 an 的前9项和等于 A 18B 9C 18D 36 A A C 21 考点1 考点2 考点3 考点4 22 考点1 考点2 考点3 考点4 等差数列前n项和的最值问题例5 2018全国2 文17 记Sn为等差数列 an 的前n项和 已知a1 7 S3 15 1 求 an 的通项公式 2 求Sn 并求Sn的最小值 解 1 设 an 的公差为d 由题意得3a1 3d 15 由a1 7得d 2 所以 an 的通项公式为an 2n 9 2 由 1 得Sn n2 8n n 4 2 16 所以当n 4时 Sn取得最小值 最小值为 16 23 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 1 函数法 将等差数列的前n项和Sn An2 Bn A B为常数 看作二次函数 根据二次函数的性质求最值 思考求等差数列前n项和的最值的常用方法有哪些 24 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练4 1 2019重庆长寿中学第一次月考 在等差数列 an 中 满足3a4 7a7 且a1 0 Sn是 an 前n项的和 若Sn取得最大值 则n A 7B 8C 9D 10 2 已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 以Sn表示 an 的前n项和 则使得Sn达到最大值的n是 A 21B 20C 19D 18 C B 25 考点1 考点2 考点3 考点4 26 考点1 考点2 考点3 考点4 1 等差数列的判断方法 1 定义法 2 等差中项法 3 利用通项公式判断 4 利用前n项和公式判断 2 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数 则该数列不是等差数列 它从第2项起成等差数列 3 方程思想和化归思想 在解有关等差数列的问题时 可以先考虑把已知条件都化归为a1和d等基本量的关系 再通过建立方程 组 求解 27 考点1 考点2 考点3 考点4 1 当公差d 0时 等差数列的通项公式是n的一次函数 当公差d 0时 an为常数 2 注意利用 an an 1 d 时加上条件 n 2 否则 当n 1时 a0无定义 28 思想方法 整体思想在等差数列中的应用整体思想 就是在研究和解决有关数学问题时 通过研究问题的整体形式 整体结构 整体特征 从而对问题进行整体处理的解题方法 从整体上认识问题 思考问题 常常能化繁为简 变难为易 同时又能培养学生思维的灵活性 敏捷性 整体思想的主要表现形式有 整体代入 整体加减 整体代换 整体联想 整体补形