第二章导数与微分.ppt

第二章导数与微分 主讲胡灵芝 第一节导数的概念 在许多实际问题中 需要从数量上研究变量的变化速度 如物体的运动速度 电流强度 线密度 比热 化学反应速度及生物繁殖率等 所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题 即导数 本章将通过对实际问题的分析 引出微分学中两个最重要的基本概念 导数与微分 然后再建立求导数与微分的运算公式和法则 从而解决有关变化率的计算问题 一 实例 1 自由落体运动的瞬时速度问题 如图 取极限得 上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用 设物体作变速直线运动 其运动路程为s s t 则物体在时刻t0的瞬时速度定义为 速度反映了路程对时间变化的快慢程度 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 播放 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT 直线MT就称为曲线C在点M处的切线 极限位置即 如图 二 导数的定义及几何意义 定义 即 其它形式 关于导数的说明 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般 更抽象的概念 它撇开了变量所代表的特殊意义 而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质 单侧导数 1 左导数 2 右导数 导数的几何意义 切线方程为 法线方程为 切线方程为 法线方程为 切线方程为 法线方程为 例7 解 由导数的几何意义 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 三 函数可导与连续的关系 定理凡可导函数都是连续函数 证 注意 该定理的逆定理不成立 连续函数不存在导数举例 例如 例如 例如 一 由定义求导数 三步法 步骤 例1 解 第二节初等函数的导数 例2 解 例3 解 更一般地 例如 例4 解 特别地 例5 解 二 函数四则运算的求导法则 定理 注 1 可推广到任意有限个可导函数的情形 2 也可推广到任意有限个函数的情形 作为 2 的特殊情况 即常数因子可以提到导数符号的外面 即线性组合的导数等于导数的线性组合 说明求导是一线性运算 作为 3 的一种特殊情况 例题分析 例1 解 例2 解 例3 解 同理可得 例4 解 同理可得 三 反函数的导数 定理 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例5 解 同理可得 四 复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数 基本初等函数经有限次四则运算的结果 的导数 但是像 等函数 复合函数 是否可导 可导的话 如何求它们的导数 先看一个例子 例6 仔细分析一下 这三个函数具有同样的复合结构我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果 例6 再如 注意到 这就是链式法则 定理 即因变量对自变量求导 等于因变量对中间变量求导 乘以中间变量对自变量求导 链式法则 证 注 1 链式法则 由外向里 逐层求导 2 注意中间变量 推广 例7 解 例8 解 例9 解 例10 解 例11 解 注 1 基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础 必须熟练掌握 2 复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱 要深刻理解 熟练应用 注意不要漏层 3 对于分段函数求导问题 在定义域的各个部分区间内部 仍按初等函数的求导法则处理 在分界点处须用导数的定义仔细分析 即分别求出在各分界点处的左 右导数 然后确定导数是否存在 五 隐函数的求导法则 定义 隐函数的显化 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 两边对x求导 当遇到y的函数f y 时 将求出的这些导数代入 至于隐函数求二阶导数 与上同理 例12 解 解得 例13 解 所求切线方程为 显然通过原点 六 对数求导法 有时会遇到这样的情形 即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦 观察函数 方法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 目的是利用对数的性质简化求导运算 对数求导法 适用范围 例14 解 等式两边取对数得 例15 解 等式两边取对数得 一般地 七 初等函数的求导问题 1 常数和基本初等函数的导数公式 2 函数的和 差 积 商的求导法则 八 高阶导数 问题 变速直线运动的加速度 定义 1 定义 记作 二阶导数的导数称为三阶导数 三阶导数的导数称为四阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 2 高阶导数求法举例 1 直接法 由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例17 解 例18 解 注意 求n阶导数时 求出1 3或4阶后 不要急于合并 分析结果的规律性 写出n阶导数 数学归纳法证明 逐阶求导 寻求规律 写出通式 例19 解 例20 解 同理可得 2 间接法 常用高阶导数公式 例21 解 注 关于抽象函数求导数 必须注意并分清是对哪一个变量来求导数 尤其是求高阶导数 第三节微分 一 微分的概念 前面我们从变化率问题引出了导数概念 它是微分学的一个重要概念 在工程技术中 还会遇到与导数密切相关的另一类问题 这就是当自变量有一个微小的增量时 要求计算函数的相应的增量 一般来说 计算函数增量的准确值是比较繁难的 所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值 由此引出了微分学的另一个基本概念 微分 1 问题的提出 实例 正方形金属薄片受热后面积的改变量 再例如 既容易计算又是较好的近似值 问题 这个线性函数 改变量的主要部分 是否所有函数的改变量都有 它是什么 如何求 2 微分的定义 定义 微分的实质 由定义知 二 微分与导数的关系 定理 证 1 必要性 2 充分性 微分的几何意义 几何意义 如图 M N 三 微分的基本公式与求法 求法 计算函数的导数 乘以自变量的微分 1 基本初等函数的微分公式 2 函数和 差 积 商的微分法则 例1 解 例2 解 四 一阶微分形式不变性 结论 微分形式的不变性 例3 解 例4 解 例5 解一 两边同时求微分得 解二 两边取对数得 两边对x求导 有 由上面的例子还可以看出 求导数与求微分的方法在本质上并没有区别 因此把两者统称为