第二章控制系统的数学模型tf.ppt

自动控制原理 自动控制原理教学组 爱 就是奉献自动控制原理教研组 自动控制原理 第3讲 第二章控制系统的数学模型 2 1引言 2 2控制系统的时域数学模型复习 拉普拉斯变换有关知识 自动控制原理课程的任务与体系结构 2控制系统的数学模型 自动控制原理 时域模型 微分方程复域模型 传递函数 2 1模型定义与建模方法 模型对系统运动规律的一种表达 数学模型用数学方法描述的系统的输入 输出变量以及内部各变量之间关系的一种表达 包含图标 方程 曲线等 它是根据系统运动过程的物理 化学等规律所写出数学描述 数学模型的类型 1 静态模型与动态模型描述系统静态 工作状态不变或慢变过程或者叫平衡态 特性的模型 称为静态数学模型 静态数学模型一般是以代数方程表示的 数学表达式中的变量不依赖于时间 是输入输出之间的稳态关系 即输入输出平衡 描述系统动态或瞬态特性的模型 称为动态数学模型 动态数学模型中的变量依赖于时间 一般是微分方程等形式 静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况 数学模型的类型 2 连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号 数学模型分为连续时间模型和离散时间模型 简称连续模型和离散模型 连续数学模型有微分方程 传递函数 状态空间表达式等 离散数学模型有差分方程 Z传递函数 离散状态空间表达式等 数学模型的类型 3 参数模型与非参数模型从描述方式上看 数学模型分为参数模型和非参数模型两大类 参数模型是用数学表达式表示的数学模型 如传递函数 差分方程 状态方程等 非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型 如脉冲响应 阶跃响应 频率特性曲线等 数学模型的类型 根据描述系统的数学方法不同分为 时域模型 微分方程复域模型 传递函数根据描述系统的数学方程的特点分为 线性模型非线性模型定常模型时变参数模型 常用数学模 线性定常 LTI 微分方程 或线性定常差分方程 传递函数 或结构图 频率特性状态空间表达式 或状态模型 方块图 信号流图LTI lineartimeinvariant 由数学模型定量分析求取系统性能指标的主要途 为什么要建立数学模型 需要了解系统的具体的性能指标 只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的 希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算 要做到这一点 首先要建立系统的数学模型 它是分析和设计系统的依据 数学模型建立的两种方法 解析法 机理分析法 白箱 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程实验法 系统辨识法 黑箱或灰箱 给系统施加某种测试信号 记录输出响应 并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性 2 2控制系统的数学模型 微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式 2 2建微分方程模型步骤 根据系统机理建模的步骤 a 确定输入量和输出量 b 根据物理 化学 生物规律 机理 列出元件的原始方程 条件容许下忽略次要因素 c 列出原始方程中中间变量与其他因素的关系 d 消去中间变量 按模型要求整理出最后形式 2 2控制系统的数学模型 微分方程 2 2 1线性元部件及系统的微分方程 例1R L C串连电路 例1 列写图所示网络的微分方程 1 明确输入 输出量网络的输入量为电压 输出量为电压 2 列原始微分方程式 根据电路理论得 为网络电流 是除输入 输出量之外的中间变量 代入整理得 例2 机械力位移系统 建立x t F t 间的微分方程关系式 比较 系统的相似性 相似系统和相似量 电系统 力系统 需要讨论的几个问题 相似系统和相似量 可见 同一物理系统有不同形式的数学模型 而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型 相似系统和相似量 定义 具有相似的数学模型的不同物理系统称为相似系统 例2和例1称为力 电荷相似系统 在此系统中分别与为相似量 作用 利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统 实现仿真研究 2 2 2系统的相似性 力 电荷相似性 力系统 a 和电系统 b 具有相似的数学模型 故这些物理系统为相似系统 即电系统可作为力系统的等效网络 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系 为我们利用简单易实现的系统 如电的系统 去研究机械系统提供了方便 因为一般来说 电的或电子的系统更容易通过试验进行研究 2 2线性元部件及系统的微分方程 电磁力矩 安培定律 电枢反电势 楞次定律 电枢回路 克希霍夫 力矩平衡 牛顿定律 电机时间常数电机传递系数 消去中间变量i Mm Eb可得 例3电枢控制式直流电动机 2 2 线性元部件及系统的微分方程 3 反馈口 放大器 电动机 减速器 绳轮 电桥 消去中间变量可得 例4X Y记录仪 2 2 3非线性系统微分方程的线性化 严格说来 实际物理元件或系统都是非线性的 处理办法 a 忽略不记 取常值 b 泰勒级数展开 取线性部分 线性化过程 设连续变化的非线性函数y f x 取平衡状态A x0 y0 为工作点 对应y0 f x0 当x x0 x时 有y y0 y 在 x0 y0 点附近的泰勒级数展开 续1 略去增量符号 便得函数在A点附近的线性化方程 当增量 x x0 很小时 略去高次幂项 则有 续2 对于有两个自变量x1 x2的非线性函数f x1 x2 同样可在某工作点 x10 x20 附近用泰勒级数展开 取其线性项 去掉高次 二阶以上 项 例5 铁芯线圈 列写输入量u t 和输出量i t 之间的关系式 由于磁通 i 与电流i呈非线性关系 因此上式是个非线性方程 在工程应用中 如果电路的电压只在平衡点 0 i0 附近作微小变化 则将 i 在i0附近用泰勒级数展开 铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为 续1 约去增量符号 代入先前的方程 得 续2 若平衡位置发生变化 则L值亦应改变 注意 在线性化处理时要注意以下几点 1 线性化方程中的参数 如上面的K1 K2 与选择的工作点有关 工作点不同相应的参数也不同 因此处理时 首先应确定工作点 2 当输入量变化较大时 用上述方法处理误差较大 注意变化是在小范围内 所以只能小范围线性化 3 如系统在工作点处的非线性性是不连续的 其泰勒级数不收敛 这时上述方法不能用 这种非线性称为本质非线性 2 2 3非线性系统微分方程的线性化 举例 取一次近似 且令 既有 例6已知某装置的输入输出特性如下 求小扰动线性化方程 解 在工作点 x0 y0 处展开泰勒级数 2 2 2非线性系统微分方程的线性化 举例 解 在处泰勒展开 取一次近似 代入原方程可得 在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程 例7某容器的液位高度h与液体流入量满足方程式中S为液位容器的横截面积 若h与Q在其工作点附近做微量变化 试导出h关于Q的线性化方程 线性定常微分方程求解 微分方程求解方法 复习拉普拉斯变换有关内容 1 1复数有关概念 1 复数 复函数 复数 复函数 例1 2 模 相角 3 复数的共轭 4 解析 若F s 在s点的各阶导数都存在 则F s 在s点解析 模 相角 数学工具 拉普拉斯变换与反变换 2拉氏变换定义设函数f t 满足 t0时 f t 分段连续则f t 的拉氏变换存在 其表达式记作 复习拉普拉斯变换有关内容 2 拉氏变换 1 阶跃函数 3常见函数的拉氏变换 2 指数函数 复习拉普拉斯变换有关内容 3 3 正弦函数 谢谢 复习拉普拉斯变换有关内容 4 1 线性性质 4拉氏变换的几个重要定理 2 微分定理 证明 0初条件下有 复习拉普拉斯变换有关内容 5 例2求 解 例3求 解 复习拉普拉斯变换有关内容 6 3 积分定理 零初始条件下有 进一步有 例4求L t 解 例5求 解 复习拉普拉斯变换有关内容 7 4 实位移定理 证明 例6 解 令 复习拉普拉斯变换有关内容 8 5 复位移定理 证明 令 例7 例8 例9 复习拉普拉斯变换有关内容 9 6 初值定理 证明 由微分定理 例10 复习拉普拉斯变换有关内容 10 7 终值定理 证明 由微分定理 例11 终值确实存在时 例12 复习拉普拉斯变换有关内容 11 用拉氏变换方法解微分方程 L变换 系统微分方程 L 1变换 复习拉普拉斯变换有关内容 12 5拉氏反变换 1 反演公式 2 查表法 分解部分分式法 解 复习拉普拉斯变换有关内容 13 用L变换方法解线性常微分方程 特征根 极点 相对于的模态 复习拉普拉斯变换有关内容 14 用留数法分解部分分式 一般有 其中 设 I 当无重根时 复习拉普拉斯变换有关内容 15 解 解 复习拉普拉斯变换有关内容 16 解一 解二 复习拉普拉斯变换有关内容 17 II 当有重根时 设为m重根 其余为单根 复习拉普拉斯变换有关内容 18 复习拉普拉斯变换有关内容 19 解 线性定常微分方程求解 例6R C电路计算 控制系统的数学模型 课程小结 1 时域模型 微分方程元部件及系统微分方程的建立线性定常系统微分方程的特点非线性方程的线性化微分方程求解 课程小结 2 1拉氏变换的定义 2 单位阶跃 2常见函数L变换 5 指数函数 1 单位脉冲 3 单位斜坡 4 单位加速度 6 正弦函数 7 余弦函数 课程小结 3 2 微分定理 3L变换重要定理 5 复位移定理 1 线性性质 3 积分定理 4 实位移定理 6 初值定理 7 终值定理 自动控制原理 本次课程作业 3 2 1 a b 2 3 b 附加作业 1已知f t 求F s 求f 0 f 自动控制原理 本次课程作业 4 2 4 5 6 7 附加 已知F s 求f t 自动控制原理 第4讲 第二章控制系统的数学模型复习 拉普拉斯变换有关知识 2 3控制系统的复域数学模型 控制系统的数学模型 课程回顾 1 时域模型 微分方程元部件及系统微分方程的建立线性定常系统微分方程的特点非线性方程的线性化微分方程求解 课程回顾 2 2拉氏变换的定义 2 单位阶跃 3常见函数L变换 5 指数函数 1 单位脉冲 3 单位斜坡 4 单位加速度 6 正弦函数 7 余弦函数 课程回顾 3 2 微分定理 4L变换重要定理 5 复位移定理 1 线性性质 3 积分定理 4 实位移定理 6 初值定理 7 终值定理 1 输入ur t 影响系统响应的因素 2 初始条件 3 系统的结构参数 规定r t 1 t 规定0初始条件 自身特性决定系统性能 影响系统响应的因素 2 3控制系统的复域模型 传递函数 2 3 1传递函数的定义 在零初始条件下 线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比 2 3 2传递函数的标准形式 微分方程一般形式 拉氏变换 传递函数 首1标准型 尾1标准型 2 3控制系统的复域模型 传递函数 例7已知 将其化为首1 尾1标准型 并确定其增益 解 首1标准型 尾1标准型 增益 2 3传递函数TransferFunction 定义线性定常系统中 初始条件为零时 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 叫做系统的传递函数 三要素 线性定常系统 初始条件为零时 拉氏变换之比 说明 又一种数学模型 外部描述 与输入信号无关 线性定常系统由下述阶线性常微分方程描述 是系统的输出量 是系统的输入量是与系统结构和参数有关的常系数 2 3控制系统的复域模型 传递函数 2 3 3传递函数的性质 1 G s 是复函数 2 G s 只与系统自身的结构参数有关 3 G s 与系统微分方程直接关联 4 G s L k t 5 G s 与s平面上的零极点图相对应 例8已知某系统在0初条件下的阶跃响应为 试求 1 系统的传递函数 2 系统的增益 3 系统的特征根及相应的模态 4 画出对应的零极点图 5 求系统的单位脉冲响应 6 求系统微分方程 7 当c 0 1 c 0 0 r t 1 t 时 求系统的响应 解 1 2 3 3传递函数的性质 1 2 3 3传递函数的性质 2 2 4 如图所示 3 5 6 2 3 3传递函数的性质 3 7 其中初条件引起的自由响应部分 1 原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息 2 适合于描述单输入 单输出系统 3 只能用于表示线性定常系统 2 3 4传递函数的局限性 例8线性 非线性 定常 时变系统的辨析 2 3 4传递函数的局限性 自动控制原理 第5讲 第二章控制系统的数学模型 2 1引言 2 2控制系统的时域数学模型 2 3控制系统的复域数学模型 2 4控制系统的结构图及其等效变换 2 5控制系统的信号流图 2 6控制系统的传递函数 课堂回顾 2 3 3传递函数的性质 2 3 1传递函数的定义 2 3 2传递函数的标准形式 2 3 4传递函数的局限性 控制系统模型 微分方程 时域 传递函数 复域 1 G s 是复函数 2 G s 只与系统自身的结构参数有关 3 G s 与系统微分方程直接关联 4 G s L k t 5 G s 与s平面上的零极点图相对应 传递函数 1 例1系统如图 被控对象微分方程为 求系统传递函数F s 解 1 求G0 s 2 由运放 传递函数 2 整理得 控制系统的数学模型 课堂小结 2 3 3传递函数的性质 2 3 1传递函数的定义 2 3 2传递函数的标准形式 2 3 4传递函数的局限性 控制系统模型 微分方程 时域 传递函数 复域 1 G s 是复函数 2 G s 只与系统自身的结构参数有关 3 G s 与系统微分方程直接关联 4 G s L k t 5 G s 与s平面上的零极点图相对应 自动控制原理 本次课程作业 4 2 4 5 6 7 附加 已知F s 求f t 谢谢 本次课程作业 5 2 8 9 自动控制原理 2 3 2常用控制元件的传递函数 1 电位计 2 电桥式误差角检测器 3 自整角机 4 测速发电机 交流 直流 5 电枢控制式直流电动机 6 两相异步电动机 7 齿轮系 课堂小结 1 2 3 3典型环节 1 比例环节 2 微分环节 3 积分环节 4 惯性环节 5 振荡环节 6 一阶复合微分环节 7 二阶复合微分环节 课堂小结 2 本次课程作业 5 2 8 9 自动控制原理 2 4控制系统的结构图及其等效变换 2 4 1结构图的组成及绘制 doc 2 4 2结构图等效变换规则 doc 谢谢 本次课程作业 6 2 11 12 13 自动控制原理 自动控制原理 第6讲 第二章控制系统的数学模型 1 1引言 1 2控制系统的时域数学模型 1 3控制系统的复域数学模型 1 4控制系统的结构图及其等效变换 2 5控制系统的信号流图 2 6控制系统的传递函数 2 3 2常用控制元件的传递函数 1 电位计 2 电桥式误差角检测器 3 自整角机 4 测速发电机 交流 直流 5 电枢控制式直流电动机 6 两相异步电动机 7 齿轮系 课程回顾 1 课程回顾 2 2 3 3典型环节 1 比例环节 2 微分环节 3 积分环节 4 惯性环节 5 振荡环节 6 一阶复合微分环节 7 二阶复合微分环节 控制系统的数学模型 2 4控制系统的结构图及其等效变换 1 2 4 1结构图的组成及绘制 2 4控制系统的结构图及其等效变换 3 反馈口 例1X Y记录仪 放大器 电动机 减速器 绳轮 电桥 测速机 2 2 1线性元部件及系统的微分方程 2 电磁力矩 电枢反电势 电枢回路 力矩平衡 例2电枢控制式直流电动机 直流电动机结构图 2 4控制系统的结构图及其等效变换 1 2 4 2结构图等效变换规则 结构图等效变换举例 本次课程作业 6 2 11 12 13 自动控制原理 谢谢 本次课程作业 7 2 14 15 17 18 自动控制原理 自动控制原理 第7讲 第二章控制系统的数学模型 2 1引言 2 2控制系统的时域数学模型 2 3控制系统的复域数学模型 2 4控制系统的结构图及其等效变换 2 5控制系统的信号流图 2 6控制系统的传递函数 2 3复域数学模型 传递函数 1 传递函数的定义 性质和适用范围 2 常用控制元件的传递函数 3 典型环节2 4控制系统的结构图及其等效变换 1 系统结构图的导出 2 结构图等效化简 课程回顾 控制系统的数学模型 2 5控制系统的信号流图 2 5 1信号流图与结构图的对应关系信号流图结构图源节点输入信号阱节点输出信号混合节点比较点 引