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第二章统计 例 要了解全国高中生的视力情况 如何调查 总体 抽出15000名进行视力情况调查 抽样调查 个体 样本 样本容量 普查 抽样调查 指要考察的对象的全体 指构成总体的每一个考察对象 从总体中取出的考察的那部分个体组成的集合 样本中包含的个体的数目 对从总体中抽取的那部分个体进行考察 对总体中所有个体进行考察 统计学的基本思想 根据样本的情况对总体的情况作出估计推断 统计 如何抽样 如何估计 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 抽样的大前提 把总体搅拌均匀 一般地 设一个总体中含的个体数为N 从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本 nN 且每次抽取时每个个体被抽到的机会相等 就称这样的抽样为简单随机抽样 注意以下四点 1 它要求总体的个体数有限 2 它是从总体中逐个进行抽取 3 它是一种不放回抽样 4 它是一种等机会抽样 一 简单随机抽样 等概率抽样 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的是 从无限多个个体中抽取100个个体作样本 盒子里有80个零件 从中选出5个零件进行质量检验 在抽样操作时 从中任意拿出一个零件进行质量检验后 再把它放回盒子里 从8台电脑中不放回的随机抽取2台进行质量检验 假设8台电脑已编好号 对编号随机抽取 A B C D 以上都不对 四个特点 总体个数有限 逐个抽取 不放回 每个个体机会均等 与先后无关 C 2 在简单随机抽样中 某一个个体被抽中的可能性是 A 与第n次抽样无关 第一次抽中的可能性大一些 B 与第n次抽样无关 每次抽中的可能性都相等 C 与第n次抽样无关 最后一次抽中的可能性大一些 D 与第n次抽样无关 每次都是等可能抽样 但每次抽中的可能性不一样 B 3 从总体为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本 若每个零件被抽取的可能性为25 则N 4 为了了解全校240名学生的身高情况 从中抽取40名学生进行测量 下列说法正确的是 A总体是240B个体是每一个学生C样本是40名学生D样本容量是40 120 D 简单随机抽样 抽签法 抓阄法 随机数法 1 抽签法 抓阄法 一般地 用抽签法从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本的步骤为 1 将总体中的N个个体编号 号码可以从1到N 2 将1到N这N个号码写在形状 大小相同的号签上 号签可以用小球 卡片 纸条等制作 3 将号签放在同一不透明的箱子中 并搅拌均匀 4 从箱中连续逐个不放回的抽出n个号签 并记录其编号 5 从总体中把与抽到的签的编号相对应的个体取出 简记为 编号 制签 搅匀 抽签 取个体 随机数表 2 随机数法 例2 考查某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标 现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验 应如何抽样 1 对总体中的个体进行编号 每个号码位数一致 2 在随机数表中任选一个数作为开始 3 从选定的数开始按一定的方向读下去 得到的数码若不在编号中 则跳过 若在编号中 则取出 如果得到的号码前面己经取出 也跳过 如此继续下去 直到取满为止 4 根据选定的号码抽取样本 简述为 编号 选起始数 取号 抽样 2 随机数表法抽取样本的步骤 抽样 编号 选起始数 取号 抽样 编号 制签 搅匀 抽签 取个体 探究 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见 打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查 除了用简单随机抽样获取样本外 你能否设计其他抽取样本的方法 第一步 将这500名学生从1开始进行编号 第二步 确定分段间隔k 对编号进行分段 由于k 500 50 10 这个间隔可以定为10 第三步 从号码为1 10的第一个间隔中用简单随机抽样的方法确定第一个个体编号 假如为6号 第四步 从第6号开始 每隔10个号码抽取一个 得到6 16 26 36 496 这样就得到一个样本容量为50的样本 二 系统抽样 4 按照一定的规则抽取样本 通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L K 再加上K得到第3个个体编号L 2K 这样继续下去 直到获取整个样本 二 系统抽样的步骤 1 对N个总体编号 2 分段 计算分段间隔 k 3 在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L 假设某地区有高中生2400人 初中生10900人 小学生11000人 此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因 要从本地区的中小学生中抽取143名生进行调查 你认为应当怎样抽取样本 三 分层抽样 高中生人数 2400 1 24 然后分别在各个学段运用简单随机抽样或系统抽样方法抽取 初中生人数 10900 1 109 小学生人数 11000 1 110 解 三 分层抽样的步骤 1 将总体按一定的标准分层 2 确定抽样比 3 确定各层抽取的样本数 5 综合每层抽样 组成样本 4 在每一层用简单随机抽样或系统抽样方法抽样 例1 某高中共有900人 其中高一年级300人 高二年级200人 高三年级400人 现采用分层抽样抽取容量为45的样本 那么高一 高二 高三各年级抽取的人数分别为 A 15 5 25B 15 15 15C 10 5 30D 15 10 20 D 例2 某校有老师200人 男学生1200人 女学生1000人 现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本 已知女学生中抽取的人数为80 则n 192 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样的比较 1 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 2 每次抽出个体后不再将它放回 即不放回抽样 从总体中逐个抽取 将总体平均分成几部分 按预先制定的规则在各部分抽取 将总体分成几层 分层进行抽取 在起始部分时采用简单随机抽样 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体中个体较少 总体中个体较多 总体由差异明显的几部分组成 1 下列问题中 采用怎样的抽样方法比较合理 从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 某电影院有32排座位 每排有40个座位 座位号为1 40 有一次报告会坐满了听众 会议结束后为听取意见 留下座位号为18的32名听众进行座谈 某学校有160名教职工 其中教师120名 行政人员16名 后勤人员24名 为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见 拟抽取一个容量为20的样本 分层抽样 系统抽样 简单随机抽样 巩固练习 2 某单位有职工160人 其中业务员有104人 管理人员32人 后勤24人 现用分层抽样从中抽取一容量为20的样本 则抽取管理人员 人A 3B 4C 7D 12 B 3 某工厂生产A B C三种不同型号的产品 产品数量之比为2 3 5 现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本 样本中A型产品有16种 那么此样本容量n 80 统计学的基本思想 根据样本的情况估计总体的情况 统计 如何抽样 如何估计 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 用样本的频率分布估计总体分布 用样本的数字特征 如平均数 标准差 估计总体的数字特征 抽签法 随机数法 一 用样本的频率分布图估计总体的频率分布 从图形 面积 的角度反应总体数据落在各个小组的频率 比例 大小 1 求极差 2 确定组距与组数 3 将数据分组 4 列频率分布表 5 画频率分布直方图 样本数据 为了解样本数据分布的规律 可利用频率分布表和频率分布图来分析 具体做法如下 1 求极差 即一组数据中最大值与最小值的差 2 确定组距与组数 组数 4 3 0 2 4 1 组数 一般情况下 当样本容量不超过100时 按数据多少常分成5 12组 组距 指每个小组的两个端点的距离 3 将数据分组 0 0 5 0 5 1 4 4 5 0 5 9组 4 列频率分布表 100位居民月平均用水量的频率分布表 5 画频率分布直方图 小长方形的面积 组距 频率 注意 这里的纵坐标不是频率 而是频率 组距 以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小 直方图 5 画频率分布图 小长方形的面积总和 1 1 求极差 即数据中最大值与最小值的差 2 确定组距与组数 3 分组 表示每一组的区间取左闭右开 只有最后 4 列频率分布表 须登记频数 计算频率 画一组样本数据的频率分布直方图的步骤 5 画频率分布直方图 纵轴表示频率 组距 组数 一组取闭区间 1 一个容量为100的样本 数据的分组和各组的相关信息如下表 试完成表中每一行的两个空格 0 06 0 21 0 16 0 06 0 14 0 30 0 51 0 18 0 85 0 95 0 05 8 16 18 10 5 应用举例 2 有一个容量为45的样本数据 分组后各组的频数如下 12 5 15 5 3 15 5 18 5 8 18 5 21 5 9 21 5 24 5 11 24 5 27 5 10 27 5 30 5 4 由此估计 不大于27 5的数据约为总体的 A 91 B 92 C 95 D 30 A 3 一个容量为20的样本数据 数据的分组及各组的频数如下 10 20 2 20 30 3 30 40 4 40 50 5 50 60 4 60 70 2 则样本在区间 50 上的频率为 A 0 5B 0 7C 0 25D 0 05 B 4 某个容量为100的样本的频率分布直方图如右 则在区间 4 5 上的数据的频数为 30 当样本数据比较少时 将这些数据有条理的列出来 从中观察数据的分布情况 这种方法就是茎叶图 茎叶图 1 茎叶图的画法 2 如何从茎叶图中提取总体的分布信息 茎叶图 1 茎叶图的画法 例1 某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况如下 12 15 24 25 31 31 36 36 37 39 44 49 50 S1 观察所有数的位数及共有多少个数 S2 将所有两位数的十位数字作为 茎 个位数字作为 叶 茎相同者共用一个茎 茎按从小到大的顺序从上向下列出 共茎的叶一般按从小到大 或从大到小 的顺序同行列出 注意 1 叶中重复出现的数据要重复记 2 若出现三位数 把百位十位作为茎 个位作为叶 例2 甲 乙两篮球运动员上赛季每场比赛的得分如下 试比较这两位运动员的得分水平 甲12 15 24 25 31 31 36 36 37 39 44 49 50乙8 13 14 16 23 26 28 33 38 39 51 33 29 茎叶图常用于对两组数据分布情况的比较 2 从茎叶图中提取总体的分布信息 1 是否单峰状 对称性如何 大部分数据集中在哪些茎上 2 考察中位数 稳定性 总体水平 样本数据 5 画频率分布直方图 小长方形的面积 组距 频率 注意 这里的纵坐标不是频率 而是频率 组距 以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小 小长方形的面积总和 1 统计 如何抽样 如何估计 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 用样本的频率分布估计总体分布 用样本的数字特征 如平均数 标准差 估计总体的数字特征 中位数 标准差 众数 平均数 数字特征 一 众数 中位数 平均数 众数 中位数 平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数 只是描述的角度不同 2 中位数 将一组数据按大小依次排列 把处在最中间位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 1 众数 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 如何用样本数据的众数 中位数 平均数估计总体的众数 中位数 平均数 1 如何从频率分布直方图中估计众数 2 25 众数 最高矩形的底边中间值 2 如何从频率分布直方图中估计中位数 中位数 使得左右两边面积相等的值 面积相等 0 5 2 02 3 如何从频率分布直方图中估计平均数 平均数 每个小矩形面积与其底边中间值乘积的和 2 02 一 众数 中位数 平均数 众数 中位数 平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数 只是描述的角度不同 2 中位数 将一组数据按大小依次排列 把处在最中间位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 1 众数 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 二 标准差 反映样本数据的分散程度 注意 1 公式简述为 偏差平方和的均值再开方 3 标准差S越小 数据越集中 标准差S越大 数据越分散 4 有时也用方差S2来反应分散程度 用计算器可算出甲 乙两人的的成绩的标准差 由可以知道 甲的成绩离散程度大 乙的成绩离散程度小 由此可以估计 乙比甲的射击成绩稳定 例 甲乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次 每次命中的环数如下 甲 乙 如何估计 从特征数上估计 从分布上估计 估计总体的集中趋势 估计总体的分散程度 众数 中位数 平均数 方差 标准差 估计 知识框架图 频率分布直方图 茎叶图 统计 如何抽样 用样本估计总体 收集数据 分析 整理数据 两个变量间的相关关系 分析 整理数据 一 什么叫两个变量间的相关关系 例子1 商品销售收入与广告支出之间的关系 例子2 粮食产量和施肥量之间的关系 例子3 人体内的脂肪含量与年龄之间的关系 不确定性 两个变量间关系 相关关系 函数关系 不确定性 确定性 例子4 正方形的面积与它的边长 例子5 匀速行驶车辆的行驶路程与时间 确定性 研究 如何判断人体脂肪含量和年龄之间的关系 人体的脂肪百分比和年龄如下 如上的一组