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2013年清华大学保送生考试数学试题详解【第1题】求证： .证明：用数学归纳法证明.当时，命题显然成立.假设当时命题成立，即，则当时，（由归纳假设）下面证明，当时，左边当时，左边以下略.【第2题】求证：为关于的整系数多项式.证明：只需要证明为关于的整系数多项式.记，则是在实数范围内不可分的次整系数多项式因式（因分分圆多项式必然为整系数多项式，其中为欧拉函数），如.于是，如.于是，其中表示对取整.因此问题即对于任意正整数，分子所含因式的个数不少于分母所含的因式的个数，即证明，.下面证明.设，则而或显然成立，于是命题得证.【第3题】已知，求的值.法1：由，得于是.法2：令，则即，整理得.于是法3：由得.根据轮换对称可得.于是法4： 当时，令，则由，得.于是当时，令，以下略.【第4题】求证：平面内间跟为的一组平行直线，任意放一长为的针与直线相交的概率为.解：如图，设针的中点离最近的直线的距离为，与直线所成的角为，则.针与直线相交即，因此.【第5题】求证：.证明：设，其中，则. 由于因此当且仅当时，此时而当取其他值时.于是式的值为，原式得证.
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