人教版高一数学第一学期期末试题.doc

2015-2016学年xx中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1若直线l经过原点和点A（2，2），则它的斜率为（）A1B1C1或1D02如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（）ABC2D43三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A1条B2条C3条D1条或2条4已知半径为1的动圆与定圆（x5）2+（y+7）2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A（x5）2+（y+7）2=25B（x5）2+（y+7）2=3或（x5）2+（y+7）2=15C（x5）2+（y+7）2=9D（x5）2+（y+7）2=25或（x5）2+（y+7）2=95在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=a，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线AD1与EF所成角为（）A90B60C45D306过点A（1，2）且垂直于直线2x+y5=0的直线方程为（）Ax2y+4=0B2x+y7=0Cx2y+3=0Dx2y+5=07在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（）A（0，1，0）B（0，1，0）C（1，0，1）D（0，1，1）8若直线l1：ax+y1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A3B1C0或D1或39给出下列命题过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（）A0个B1个C2个D3个10若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（）AkBk2Ck2Dk或k2二、填空题（每小题4分，共16分）11棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为12点P（2，1）为圆（x3）2+y2=25的弦的中点，则该弦所在直线的方程是13过点（0，1）的直线与x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为14把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为cm三、解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共44分）15如图所示，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切（1）求圆C的一般方程；（2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程16已知三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB的中点（）求证：BC1平面CA1D；（）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1A1DC的体积17如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点，求证：（1）平面PAC平面BDE；（2）求二面角EBDC的大小18在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x26x+1与坐标轴的交点都在圆C上（）求圆C的方程；（）若圆C与直线xy+a=0交与A，B两点，且OAOB，求a的值2015-2016学年xx中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1若直线l经过原点和点A（2，2），则它的斜率为（）A1B1C1或1D0【考点】斜率的计算公式 【专题】计算题【分析】把原点坐标（0，0）和点A的坐标（2，2）一起代入两点表示的斜率公式 k=，即可得到结果【解答】解：根据两点表示的斜率公式得：k=1，故选 B【点评】本题考查用两点表示的斜率公式得应用，注意公式中各量所代表的意义，体现了代入的思想2如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（）ABC2D4【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆柱，高和底面直径都是2据此即可计算出其体积【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆柱，高和底面直径都是2V=122=2故选C【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键3三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A1条B2条C3条D1条或2条【考点】平面的基本性质及推论 【分析】画出把空间分成7部分时的三个平面，如图产，可知它们的交线情况，从而解决问题【解答】解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线故选C【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题4已知半径为1的动圆与定圆（x5）2+（y+7）2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A（x5）2+（y+7）2=25B（x5）2+（y+7）2=3或（x5）2+（y+7）2=15C（x5）2+（y+7）2=9D（x5）2+（y+7）2=25或（x5）2+（y+7）2=9【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【专题】数形结合【分析】由圆A的方程找出圆心坐标和半径R，又已知圆B的半径r，分两种情况考虑，当圆B与圆A内切时，动点B的运动轨迹是以A为圆心，半径为Rr的圆；当圆B与圆A外切时，动点B的轨迹是以A为圆心，半径为R+r上网圆，分别根据圆心坐标和求出的圆的半径写出圆的标准方程即可【解答】解：由圆A：（x5）2+（y+7）2=16，得到A的坐标为（5，7），半径R=4，且圆B的半径r=1，根据图象可知：当圆B与圆A内切时，圆心B的轨迹是以A为圆心，半径等于Rr=41=3的圆，则圆B的方程为：（x5）2+（y+7）2=9；当圆B与圆A外切时，圆心B的轨迹是以A为圆心，半径等于R+r=4+1=5的圆，则圆B的方程为：（x5）2+（y+7）2=25综上，动圆圆心的轨迹方程为：（x5）2+（y+7）2=25或（x5）2+（y+7）2=9故选D【点评】此题考查学生掌握圆与圆相切时所满足的条件，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题5在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=a，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线AD1与EF所成角为（）A90B60C45D30【考点】异面直线及其所成的角 【专题】计算题；数形结合；向量法；空间角【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线AD1与EF所成角【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，A（a，0，0），D1（0，0，a），E（，a，0），F（0，0），=（a，0，a），=（），设异面直线AD1与EF所成角为，cos=|=|=，=60，异面直线AD1与EF所成角为60故选：B【点评】本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用6过点A（1，2）且垂直于直线2x+y5=0的直线方程为（）Ax2y+4=0B2x+y7=0Cx2y+3=0Dx2y+5=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【专题】直线与圆【分析】根据两条直线垂直的性质求得所求的直线的斜率等于，用点斜式求得所求直线的方程【解答】解：直线2x+y5=0的斜率等于2，故所求的直线的斜率等于，故过点A（1，2）且垂直于直线2x+y5=0的直线方程为 y2=（x1），即x2y+3=0，故选C【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题7在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（）A（0，1，0）B（0，1，0）C（1，0，1）D（0，1，1）【考点】空间两点间的距离公式 【专题】空间位置关系与距离【分析】根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标【解答】解：设M（0，y，0）由12+y2+4=1+（y+3）2+1可得y=1故M（0，1，0）故选：A【点评】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题8若直线l1：ax+y1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A3B1C0或D1或3【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【专题】直线与圆【分析】利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值【解答】解：a=2时，l1不平行l2，l1l2解得：a=1故选：B【点评】本题考查两直线平行条件，体现了转化的数学思想，属于基础题9给出下列命题过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（）A0个B1个C2个D3个【考点】平面的基本性质及推论 【专题】计算题【分析】过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；过直线外一点有无数个平面与已知直线平行；过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直【解答】解：过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，过这条直线的平面都和已知平面垂直，因为过这条直线能作出无数个平面，所以过平面外一点无数个平面与已知平面垂直故不正确；过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，过这条直线的平面都和已知直线平行，因为过这条直线能作出无数个平面，所以过直线外一点无数个平面与已知直线平行故不正确；过直线外一点无数条直线与已知直线垂直，故不正确；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故正确故选B【点评】本题考查平面的基本性质和推论，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象力的培养10若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（）AkBk2Ck2Dk或k2【考点】两条直线的交点坐标 【专题】计算题【分析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0，解不等式组即可【解答】解：由得，由得k2故选C【点评】本题考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，是基础题二、填空题（每小题4分，共16分）11棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题；综合题【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则l=3，故答案为：27【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题12点P（2，1）为圆（x3）2+y2=25的弦的中点，则该弦所在直线的方程是x+y1=0【考点】直线与圆相交的性质 【专题】计算题【分析】由圆的方程找出圆心A的坐标，再由P的坐标，求出直线AP的斜率，由P为弦的中点，根据垂径定理得到过P的直径与弦垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为1，得出弦所在直线的斜率，最后由P的坐标和求出的斜率，写出弦所在直线的方程即可【解答】解：由圆的方程得到圆心A坐标为（3，0），又P（2，1），直线AP的斜率为=1，由P为弦的中点，得到过P的直径与该弦垂直，该弦所在直线方程的斜率为1，则弦所在直线的方程为：y（1）=（x2），即x+y1=0故答案为：x+y1=0【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的斜截式方程，根据P为弦的中点，利用垂径定理得：过P的直径与弦垂直是本题的突破点13过点（0，1）的直线与x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为2【考点】两点间的距离公式 【专题】计算题；直线与圆【分析】计算弦心距，再求半弦长，由此能得出结论【解答】解：x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（0，1）到圆心O（0，0）的距离d=1，点（0，1）在圆内如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，|AB|min=2=2故答案为：2【点评】本题考查圆的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的灵活运用14把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为13cm【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【专题】计算题【分析】作出圆锥的轴截面如图，利用平行线截线段成比例，求出SA，求出圆锥的母线长【解答】解：作出圆锥的轴截面如图，设SA=y，OA=x；利用平行线截线段成比例，则SA：SA=OA：OA，即（y10）：y=x：4x，解得y=13即圆锥的母线长为13cm故答案为：13【点评】本题考查旋转体的截面知识，考查计算能力，是基础题三、解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共44分）15如图所示，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切（1）求圆C的一般方程；（2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程【考点】圆的一般方程 【专题】计算题；直线与圆【分析】（1）确定圆的半径，可得圆的标准方程，进而可得一般方程；（2）设出直线方程，利用直线与圆相切，可得直线方程【解答】解：（1）由题意，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切，则半径r=2所以圆C的方程是：（x2）2+（y2）2=4，一般方程是：x2+y24x4y+4=0（2）由题意，在x轴和y轴上截距相等的直线一定为斜率为1，可设为y=x+b，直线与圆相切，=2，b=42，故直线方程为x+y42=0【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题16已知三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB的中点（）求证：BC1平面CA1D；（）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1A1DC的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，只要证明DEBC1；（2）求出CD面AA1B1B，得到CD是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答【解答】（）证明：连接AC1交A1C于点E，连接DE因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又D是AB的中点，DEBC1，又DE面CA1D，BC1面CA1D，所以BC1面CA1D；（2）解：AC=BC，D是AB的中点，ABCD，又AA1面ABC，CD面ABC，AA1CD，AA1AB=A，CD面AA1B1B，CD面CA1D，平面CA1D平面AA1B1B所以CD是三棱锥B1A1DC的高，又=，所以=AD=1；【点评】本题考查了三棱柱中线面平行的判断以及棱锥的体积的求法，关键是转化为线线平行的判断以及棱锥的高的求法17如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点，求证：（1）平面PAC平面BDE；（2）求二面角EBDC的大小【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角【分析】（I）利用线面、面面垂直的判定及其性质定理即可证明；（2）如图所示，连接OE，OC由（1）可知：BDOC，BDOE，可得COE是二面角EBDC的平面角利用直角三角形的边角关系即可得出【解答】（）证明：PO底面ABCD，POBD，又ACBD，且ACPO=OBD平面PAC，而BD平面BDE，平面PAC平面BDE（2）如图所示，连接OE，OC由（1）可知：BDOC，BDOE，COE是二面角EBDC的平面角AB=2，OC=BD=OC=OP，又POOC，PE=EC，COE=45【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定及其性质定理、空间角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x26x+1与坐标轴的交点都在圆C上（）求圆C的方程；（）若圆C与直线xy+a=0交与A，B两点，且OAOB，求a的值【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性