《高等数学》C2教学大纲难点.doc

高等数学C2教学大纲开课单位： 数学与统计学院高等数学教研室学分：3.5 总学时：56H课程类别：必修 考核方式：考试课程负责人:苏翃 课程编码：241_1基本面向：经济与贸易学院（21、23-26专业），汽车学院（49专业），会计学院（61、64），工商管理学院（81、83、86、87），生物工程学院（102专业）的本科生一、本课程的目的、性质和任务 数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式” 具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。本课程是全院非理工学门类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，同时也是一门工具课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得: (1) 一元函数微积分学；(2)向量代数与空间解析几何； (3)多元函数微积分学；(4)常微分方程； (5)无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，目的是为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。本课程是针对数学基础较差的文科同学而设置的。其目的是在重应用轻技巧的前提下，使学生掌握基本的数学思想和方法。在传授知识的同时，要通过各教学环节逐步培养学生具有抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。二、本课程的基本要求通过本课程的学习，要求学生系统地获得一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、常微分方程、无穷级数的基本知识、必要的基本理论和常用的基本方法，这是重点内容。在学习过程中，要求学生切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法，具有比较熟练的运算能力和逐步达到能应用所获得的基本知识与技能去分析问题和解决问题。同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，并不断提高自学能力，从而为学习后继课程打好学习基础。本课程的内容按教学要求的不同，分为三个层次。对概念、理论的要求由高到低分为深刻理解、理解、了解三个层次；对方法、运算的要求由高到低分为熟练掌握、掌握、会三个层次。 (一) 定积分及其应用1、理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求）；2、了解定积分的基本性质和定积分的中值定理；3、理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Noewton）莱布尼兹公式；4、熟练掌握定积分的换元积分法则和分部积分法则；5、了解两种广义积分的概念并掌握它们的求法；6、掌握定积分在几何和经济方面的应用。 (二)向量代数与空间解析几何1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算；2、掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；3、掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题；4、理解二次曲面方程的概念，了解空间曲线方程的概念。(三) 多元函数微积分学1、理解二元函数的概念，了解多元函数的概念；2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件；4、熟练掌握求多元复合函数一阶偏导数和全微分的方法，会求复合函数的二阶偏导数（对于求抽象复合函数的二阶导数，只要求作简单训练）；5、会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的一阶偏导数（对求二阶偏导数不作要求）；6、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。7、理解二重积分的概念，了解二重积分的性质； 8、掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 (四) 无穷级数 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件；2、熟练掌握几何级数与P级数的收敛性；3、了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法；4、了解交错级数的莱布尼兹定理；5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系；6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；7、熟练掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)；8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；10、会利用和的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单函数间接展开成幂级数；11、了解幂级数在近似计算中的简单应用。 三、本课程与其他课程的关系1、本课程的先修课程: 高等数学C12、本课程的后修课程:(1).概率论与数理统计本课程与概率论与数理统计、线性规划、非线性规划等课程紧密相关，学生修完本课程后所获得的知识在他以后的学习中起着重要的作用，这些知识对同学顺利地学习其它理论课及专业课都是必需的。四、本课程的教学内容第六章 定积分及其运用（一）定积分的概念1、面积、路程和收益问题2、定积分的定义（二）定积分的性质（三）微积分的基本公式 1、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系 2、积分上限的函数及其导数 3、牛顿莱布尼茨公式（四）定积分的换元积分法（五）定积分的分部积分法（六）广义积分与函数1、无穷限的广义积分2、无界函数的广义积分3、函数 （七）定积分的几何运用1、定积分的元素法2、平面图形的面积3、旋转体的体积4、平行截面面积已知的立体体积 （八）定积分的经济运用1、由曲边函数求愿函数2、由变化率求总量3、收益流的现值和将来值第七章 向量代数与空间解析几何（一）空间直角坐标系1、空间点的直角坐标2、空间两点间的距离（二）向量及其线性运算1、向量及其几何表示2、向量的坐标表示（三）平面与直线1、平面及其方程2、直线及其方程（四）曲面及其方程1、柱面与旋转曲面2、二次曲面（五）空间曲线1、空间曲线及其方程2、空间曲线在坐标面上的投影第八章 多元函数微分学（一）多元函数的概念（二）二元函数的极限与连续（三）偏导数与全微分1、偏导数2、全微分（四）微分法1、复合函数的微分法2、隐函数的微分法（五）二元函数的极值第九章 二重积分（一）二重积分的概念与性质（二）二重积分的计算1、直角坐标系下二重积分的计算2、极坐标系下二重积分的计算第十一章 无穷级数（一）无穷级数的概念与性质1、无穷级数的概念2、无穷级数的基本性质（二）任意项级数1、正项级数2、任意项级数，绝对收敛（三）幂级数1、幂级数2、泰勒公式与泰勒级数3、某些初等函数的幂级数展开式4、幂级数的应用举例第十章 微分方程（一）微分方程的基本概念 1、引例 2、基本概念（二）一阶微分方程 1、可分离变量的微分方程与分离变量法 2、齐次方程 3、一阶微分方程 4、一阶微分方程的平衡解及其稳定性简介（三）一阶微分方程在经济学中的综合运用 1、商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系 2、预测可再生资源的产量，预测商品的销售量分析公司的净资产分析 3、成本分析 4、关于国民收入、储蓄与投资的关系问题 （四）可降阶的二阶微分方程1、型的微分方程2、型的微分方程3、型的微分方程 （五）二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程2、二阶常系数非齐次线性微分方程五、本课程的重点、难点及深广度(一) 定积分及其应用重点：定积分的概念；定积分的中值定理；微积分学基本定理；牛顿莱布尼兹公式难点：定积分的应用 (二)向量代数与空间解析几何重点：空间直角坐标系，向量及其线性运算；平面与直线；曲面及其方程；空间曲线难点：平面与直线；曲面及其方程；空间曲线(三) 多元函数微积分学重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念、偏导数和全微分的概念、复合函数的偏导数、二元函数的极值。重积分的概念与性质、重积分的计算难点：复合函数的偏导数、二元函数的极值、最值应用问题。 (四) 无穷级数 重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念、几何级数与P级数的收敛性、正项级数的审敛法、交错级数的莱布尼兹定理、无穷级数的绝对收敛与条件收敛、幂级数的收敛区间的求法、幂级数在其收敛区间内的基本性质、泰勒级数、将简单函数间接展开成幂级数难点：正项级数的审敛法、泰勒级数六、学时分配章次 授课内容 理论学时 第 六 章第 七 章 第 八 章 第 九 章 第十一章 定积分向量代数与空间解析几何 多元函数微分学 二重积分 无穷级数 184 14 8 12 合 计： 56 七、教学建议高等数学课程在教学过程中应重基础，重运算。对重要的定义、定理应详细讲解，特别强调基本运算能力的培养，应根据学生的实际情况，对教材中的例题进行选讲、补充。在讲授多元微分学知识时，应注意和一元微分学知识的联系、对应，从已学知