第六节 高斯公式幻灯片.ppt

第六节高斯公式 一 高斯公式 二 简单应用 三 小结 格林公式 描述了在闭曲线L上的曲线积分与L所围闭区域D上的二重积分之间的关系 在空间闭曲面 上 可以作曲面积分 在 所围空间闭区域 上 可以做三重积分 因此在 上的曲面积分与在 上的三重积分必存在某种联系 一 高斯 Gauss 公式 定理1设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 函数P Q R在 面 所围成 的方向取外侧 则有 证明 设 则 取下侧 取上侧 母线平行于z轴的柱面 取外侧 所以 类似可证 三式相加 即得所证Gauss公式 高斯公式是计算第二类曲面积分的有效工具 高斯公式 两类曲面积分之间的联系 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 高斯公式 例1计算曲面积分 其中 为柱面 及平面 所围成的空间闭区域的整 个边界曲面的外侧 例1计算曲面积分 其中 为柱面 及平面 所围成的空间闭区域的整 个边界曲面的外侧 解 这里 于是 用柱面坐标 从而 例1计算曲面积分 其中 为柱面 及平面 所围成的空间闭区域的整 个边界曲面的外侧 用柱面坐标 从而 例1计算曲面积分 其中 为柱面 及平面 所围成的空间闭区域的整 个边界曲面的外侧 用柱面坐标 从而 例1计算曲面积分 其中 为柱面 及平面 所围成的空间闭区域的整 个边界曲面的外侧 从而 使用Guass公式时应注意 分片光滑 闭曲面 在上具有一阶连续偏导数 3 是取闭曲面的哪一侧 外侧 例2计算曲面积分 其中 为锥 介于平面 之间的部分的下侧 是 在 处的法向量的方向余弦 面 例2计算曲面积分 其中 为锥 介于平面 之间的部分的下侧 是 在 处的法向量的方向余弦 面 解 空间曲面在面上的投影域为 曲面 不是封闭曲面 为利用高斯公式 例2计算曲面积分 其中 为锥 介于平面 之间的部分的下侧 是 在 处的法向量的方向余弦 面 根据对称性可知 从而 上式 例2计算曲面积分 其中 为锥 介于平面 之间的部分的下侧 是 在 处的法向量的方向余弦 面 又 故所求积分为 例3 设函数和在闭区域上具有一阶及二阶连续 偏导数 证明 其中是闭区域的整个边界曲面 为函数v沿的外法线方 向的方向导数 称为拉普拉斯 Laplace 算子 格林第一公式 例3 设函数和在闭区域上具有一阶及二阶连续 偏导数 证明 其中是闭区域的整个边界曲面 为函数v沿的外法线方 向的方向导数 称为拉普拉斯 Laplace 算子 格林第一公式 解 由方向导数定义 有 于是 利用高斯公式 例3 设函数和在闭区域上具有一阶及二阶连续 偏导数 证明 其中是闭区域的整个边界曲面 为函数v沿的外法线方 向的方向导数 称为拉普拉斯 Laplace 算子 格林第一公式 移项即得格林第一公式 例6计算 其中为上半球面的上侧 2002 2003下学期 例6计算 其中为上半球面的上侧 2002 2003下学期 解 与围成的区域记为 于是 由高斯公式 有 又 从而 例7设是锥面的下侧 求曲面积分 2006 例7设是锥面的下侧 求曲面积分 2006 则由高斯公式有 故 解 与围成的区域记为 又 例8设为光滑闭曲面的外侧 V为所围区域 函数 2005级 在V与上具有二阶连续偏导数 证明 为沿曲面的外法线方向的方向导数 其中 例8设为光滑闭曲面的外侧 V为所围区域 函数 2005级 在V与上具有二阶连续偏导数 证明 为沿曲面的外法线方向的方向导数 其中 解 由方向导数定义 有 于是 利用高斯公式 证毕 例4 设是由锥面 与半球面 围成 是的整个边界的外侧 求 的空间区域 2005 例4 设是由锥面 与半球面 围成 是的整个边界的外侧 求 的空间区域 解 由高斯公式 作球坐标变换 2005 例4 设是由锥面 与半球面 围成 是的整个边界的外侧 求 的空间区域 解 由高斯公式 即空间区域体积的三倍 与半球面 锥面 的交线为 用柱面坐标 2005 例4 设是由锥面 与半球面 围成 是的整个边界的外侧 求 的空间区域 2005 例5 计算曲面积分 其中是曲面的上侧 2004 数一 12分 例5 计算曲面积分 其中是曲面的上侧 2004 数一 12分 解 取为xoy平面上被圆所围部分的下侧 记为由与围成的空间闭区域 则 例5 计算曲面积分 其中是曲面的上侧 2004 数一 12分 又 从而 作 业 P239 1 4P248 2 2 3 4 例3 设 为曲面 取上侧 求 解 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 三 小结