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125第10章 动量定理 第10章 动量定理一、是非题(正确的在括号内打“”、错误的打“”)1内力虽不能改变质点系的动量，但可以改变质点系中各质点的动量。 ( )2内力虽不影响质点系质心的运动，但质点系内各质点的运动，却与内力有关。( )3质点系的动量守恒时，质点系内各质点的动量不一定保持不变。 ( )4若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心坐标保持不变。 ( )5若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心运动的速度保持不变。 ( )二、填空题1质点的质量与其在某瞬时的速度乘积，称为质点在该瞬时的动量。2力与作用时间的乘积，称为力的冲量。3质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。4 质点系的动量随时间的变化规律只与系统所受的外力有关，而与系统的内力无关。5质点系动量守恒的条件是质点系所受外力的主矢等于零，质点系在轴方向动量守恒的条件是质点系所受外力沿x轴方向投影的代数和等于零。6若质点系所受外力的矢量和等于零，则质点系的动量和质心速度保持不变。三、选择题1如图10.12所示的均质圆盘质量为m，半径为R，初始角速度为，不计阻力，若不再施加主动力，问轮子以后的运动状态是( C )运动。(A) 减速 (B) 加速(C) 匀速 (D) 不能确定2如图10.13所示的均质圆盘质量为m，半径为R，可绕O轴转动，某瞬时圆盘的角速度为，则此时圆盘的动量大小是( A )。图10.14(A) (B) (C) (D) 图10.12 图10.133均质等腰直角三角板，开始时直立于光滑的水平面上，如图10.14所示。给它一个微小扰动让其无初速度倒下，问其重心的运动轨迹是( C )。(A) 椭圆 (B) 水平直线(C) 铅垂直线 (D) 抛物线4质点系的质心位置保持不变的必要与充分条件是( D )。(A) 作用于质点系的所有主动力的矢量和恒为零(B) 作用于质点系的所有外力的矢量和恒为零(C) 作用于质点系的所有主动力的矢量和恒为零，且质心初速度为零(D) 作用于质点系的所有外力的矢量和恒为零，且质心初速度为零四、计算题10-1 计算如图10.15所示的下列各刚体的动量。(a) 质量为m，长为L的细长杆，绕垂直于图面的O轴以角速度转动；(b) 质量为m，半径为R的均质圆盘，绕过边缘上一点且垂直于图面的轴以角速度转动；(c) 非均质圆盘质量为m，质心距转轴，绕垂直于图面的O轴以角速度转动；(d) 质量为m，半径为R的均质圆盘，沿水平面滚动而不滑动，质心的速度为。 解：（a）由于刚体质心的速度，方向水平向右。根据刚体动量的计算公式，有 方向水平向右。（b）由于刚体质心的速度，方向水平向右，故刚体的动量为 方向水平向右。（c）由于刚体质心的速度，方向垂直于的连线，故刚体的动量为 方向垂直于的连线。（d）由于刚体质心的速度为，方向水平向右，故刚体的动量为 方向水平向右。图10.1510-2 如图10.16 所示的皮带输送机沿水平方向输送煤炭，其输送量为72000kg/h，皮带的速度，求在匀速传动中，皮带作用于煤炭上的水平推力。解：设皮带作用于煤炭上的水平推力为，则由质点系的动量定理，有而，故水平推力为10-3 如图10.17所示的重物A、B的重量分别为P1、P2，不计滑轮和绳索的重量，A物下降加速度为，求支点O的反力。解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点系的动量定理，有 而，而由图示的结构可以看出，即，代入上式，有 图10.16 图10.1710-4 人站在车上，车以速度前进。设人的质量为m1，车的质量为m2，如果人以相对于车的速度向后跳下，求此时车前进的速度。解：若不计车与路面之间的摩擦，则人和车组成的系统在沿地面方向的动量应守恒。设人以相对于车的速度向后跳下，此时车前进的速度为，应用质点系动量守恒定理，有 解得 10-5 物体沿倾角为的斜面下滑，它与斜面间的动滑动摩擦系数为，且，如物体下滑的初速度为，求物体速度增加一倍时所经过的时间。解：选沿斜面下滑的物体为研究对象，受力分析如图所示。应用动量定理，有 而，代入上式，可得解得物体速度增加一倍时所经过的时间10-6 如图10.18 所示的椭圆规尺的质量为，曲柄的质量为，而滑块和的质量均为。已知，曲柄和尺的质心分别在其中点上，曲柄绕轴转动的角速度为常量。求当曲柄水平向右时质点系的动量。解：质点系的动量为四个物体动量的矢量和，即 四个物体的动量分别为 这样，质点系的动量可表示为 当曲柄水平向右时，即时，代入上式，可得说明质点系的动量方向垂直向上。 图10.18 图10.1910-7 如图10.19所示质量为的滑块，可以在水平光滑的槽中运动，具有刚度系数为的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。杆长为，质量忽略不计，端与滑块铰接，端装有质量的小球，在铅直平面内可绕点旋转。设在力偶的作用下转动角速度为常数，求滑块的运动微分方程。解：取整体为研究对象，受力如图所示，建立水平向右的坐标轴Ox，点O取在运动初始时滑块A质心上，质点系的质心坐标为：根据质心动量定理：，得：10-8 如图10.20所示的质量为m，半径为2R的薄壁圆筒置于光滑的水平面上，在其光滑内壁放一质量为m，半径R的均质圆盘。初始时两者静止，且质心在同一水平线上。如将圆盘无初速释放，当圆盘最后停止在圆筒的底部时，求圆筒的位移。解：以整体为研究对象，受力分析如图所示。建立水平向左的坐标轴Ox如图所示。从受力图可以看出，在水平方向所有外力的投影均等于零，即在水平方向的质心运动守恒。而由于圆盘无初速释放，即系统初始时质心的速度等于零，可知质心在水平方向的坐标保持不变。设圆盘最后停止在圆筒的底部时，圆筒的位移为，应用质心运动守恒定律，可知 很容易解得圆筒的位移为 10-9 在图10.21所示曲柄滑块机构中，曲柄以匀角速度绕轴转动。当开始时，曲柄水平向右。已知曲柄重，滑块A重量为，滑杆重量为，曲柄的重心在的中点，且，滑杆的重心在点C，且。试求：(1)机构质量中心的运动方程； (2)作用在点O的最大水平力。图10.20 图10.21解：（1）建立如图所示的坐标系，应用质点系质心坐标公式计算机构质量中心坐标为 （2）应用质心运动定理，有 作用在点O的最大水平力为 10-10 如图10.22所示，长为的均质杆，直立在光滑的水平面上。求它从铅直位置无初速地倒下时，端点相对图示坐标系的轨迹方程。yBCAx图10.22解：选均质杆为研究对象，受力分析如图所示。由于杆所受的全部外力在水平轴方向的投影均为零，即在水平方向杆质心运动守恒。而杆是从铅直位置无初速地倒下，即在方向质心坐标保持不变。杆在倒下的过程中，质心C沿着轴下降。端点的运动方程可写为 消去参数，可得端点相对图示坐标系的轨迹方程为 10-11 如图10.23所示重量为的电机放在光滑的水平面地基上，长为；重量为的均质杆的一端与电机轴垂直地固结，另一端则焊上一重量为的重物。设电机转动的角速度为，求：(1)电机的水平运动方程；(2)如果电机外壳用螺栓固定在基础上，则作用于螺栓的最大水平力为多少？ 图10.23解：（1）选整体为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示的坐标系，其中轴和当均质杆处于垂直方向时重合。从受力图可知，在水平方向系统所受的全部外力的投影均等于零，故系统在水平方向质心运动守恒。假设电机在时刻方向的坐标为，则应用质心运动守恒定理，有 B解得A （2）如果电机外壳用螺栓固定在基础上，轴通过电机轴。此时系统质心的坐标为 应用质心运动定理，有 将质心坐标代入上式，可得 作用于螺栓的最大水平力为10-12 如图10.24所示的物体和的质量分别是和，用跨过滑轮的不可伸长的绳索相连，这两个物体可沿直角三棱柱的光滑斜面滑动，而三棱柱的底面则放在光滑水平面上。设三棱柱的质量为，且，初瞬时系统处于静止。试求物体降落高度时，三棱柱沿水平面的位移。绳索和滑轮的质量不计。解：由物体、和三棱柱组成的质点系，在水平方向不受外力作用，故质心在水平方向运动守恒。又因起始系统静止，故在水平方向，系统质心位置不变。建立如图所示的坐标系。设物体、和三棱柱的初始质心坐标分别为、和。当物体降落高度时，不妨假设三棱柱沿水平方向向右移动，则此时物体、和三棱柱的质心坐标可分别表示为、和。初始位置系统质心坐标为 末位置系统质心坐标为 由于质心水平方向位置不变，故有，求解，得三棱柱沿水平面的位移为 10-13 如图10.25所示机构中，鼓轮质量为，转轴为其质心。重物的质量为，重物的质量为。斜面光滑，倾角为。已知物体的加速度为，求轴承处的约束反力。图10.24 图10.25解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。假设某时刻物体的速度为，物体的速度为。它们之间满足关系，即。质点系的动量在两坐标方向的投影可表示为 应用动量定理，有 其中：，。解得轴承处的约束反力为 10-14 如图10.26所示质量为的平台AB，放在水平面上，平台与水平面间的动摩擦系数为f。质量为m2的小车D由绞车拖动，相对于平台运动规律为，其中为已知常数。不计绞车的质量，求平台的加速度。解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示坐标系。小车相对于平台的相对速度为，不妨设平台在运动过程中时刻有向左的速度，则小车的绝对速度为 由质点系的动量定理有 其中：，代入上式，可得平台的加速度 图10.26 图10.2710-15 如图10.27所示用相同材料做成的均质杆和用铰链在点连接。已知，。处于铅直面内的各杆从处静止释放。当、运动到位于同一直线上时，求杆端、各自沿光滑水平面的位移和解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。由于水平面光滑，故系统在水平方向不受外力作用，质心在水平方向运动守恒。由于初始时系统静止，故质心在水平方向的坐标在运动过程中保持不变。不妨设杆单位长度的质量为，单位是，则两杆的质量分别为，。建立如图所示的坐标系，则两杆在初始时刻方向坐标分别为，。杆在下落的过程中，端会向左滑动，而端会向右滑动。当、运动到位于同一直线上时，两杆的质心坐标分别为，。由质心运动守恒定理，有 解得杆端沿光滑水平面的位移 杆端沿光滑水平面的位移为 10-16 匀质曲柄OA重，长为，初始时曲柄在位置。曲柄受力偶作用以角速度转动，转角，并带动总重的滑槽、连杆和活塞B作水平往复运动，如图10.28所示。已知机构在铅直面内，在活塞上作用着水平常力。试求作用在曲柄轴O上的最大水平分力。不计滑块的质量和各处的摩擦。解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示的水平坐标轴，质点系的质心坐标可用公式表示为 应用质心运动定理，有 将质心坐标公式代入上式，计算可得 作用在曲柄轴O上