高考数学模拟试卷分章精编-数列3.doc

高考数学模拟试卷分章精编数列101.已知数列an的前n项为和Sn，点在直线上.数列bn满足，前9项和为153. （）求数列an、bn的通项公式； （）设，数列cn的前n和为Tn，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值. （）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解：（）由题意，得 故当时，当n = 1时，而当n = 1时，n + 5 = 6， 所以， 又，所以bn为等差数列，于是而 因此， （） 所以， 由于，因此Tn单调递增，故 令 （）当m为奇数时，m + 15为偶数.此时，所以 当m为偶数时，m + 15为奇数.此时，所以（舍去）. 综上，存在唯一正整数m =11，使得成立. 102.已知数列满足，且。（1）求数列的通项公式；(2) 证明；（3）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。解：（1）由得由一元二次方程求根公式得 (2) （其它证法请参照给分）（3）解法1： ,，即数列有最大项，最大项为第一项。解法2：由知数列各项满足函数 当时，当时，即函数在上为减函数即有数列有最大项，最大项为第一项。103.已知二次函数同时满足：不等式0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立，设数列的前项和（1）求函数的表达式；(2) 设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的变号数，令（）,求数列的变号数；（3）设数列满足：，试探究数列是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由解（）不等式0的解集有且只有一个元素解得或当时函数在递增，不满足条件当时函数在（，）上递减，满足条件综上得，即（）由（）知当时，；当时 由题设可得，都满足当时，即当时，数列递增，由，可知满足数列的变号数为。（）,由（）可得：当时数列递增，当时，最小, 又，数列存在最小项或,由（）可得：对于函数函数在上为增函数，当时数列递增，当时，最小，又，数列存在最小项104.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.(1)求数列和bn的通项公式；(2)求视力不小于5.0的学生人数；(3)设,求数列的通项公式.解:(1)由题意知因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以 又=100(1+3+9)所以=87,解得因此数列是一个首项,公差为5的等差数列,所以 (2) 求视力不小于5.0的学生人数为 (3) 由可知，当时， -得，当时， , ,又因此数列是一个从第2项开始的公比为3的等比数列,数列的通项公式为105.已知曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中（I）求与的关系式；（II）令，求证：数列是等比数列；（III）若（为非零整数，nN*），试确定的值，使得对任意nN*,都有cn+1cn成立。(1) 解：过的直线方程为联立方程消去得即（2）是等比数列 ，;（III）由（II）知，要使恒成立由=0恒成立，即（1）n-（）n1恒成立。当n为奇数时，即（）n1恒成立又（）n1的最小值为1（）n-1恒成立，又（）n1的最大值为，即1时，切线过点，即0所以数列所以数列 （2）应用二项公式定理，得 （3）当，同乘以 两式相减，得所以 107.已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项。（I） 求数列an的通项公式;（II） 若bn=,sn=b1+b2+bn,求sn+n50成立的正整数 n的最小值。解：(I)设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意，有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28, 得a3=8,a2+a4=20解之得或又an单调递增，q=2,a1=2,an=2n (II), -得即又当n4时, 当n5时,.故使成立的正整数n的最小值为5 .108.已知等比数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论解：（）由得:时，是等比数列，得 （）由和得当或时有，所以当时有那么同理可得：当时有，所以当时有综上：当时有；当时有109.已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，满足关系式（I）求数列的通项公式；（）设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正整数，总有解：（I）由已知得 故 即 故数列为等比数列，且又当时， 而亦适合上式 （） 所以 110.已知数列a中，点在直线y=x上，其中n=1,2,3.(I) 令，求证数列b是等比数列；(II) 球数列的通项解：（I） 又111.设数列 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列解：（1）是首项为的等比数列当仍满足上式。 （2）由（1）得，当时， 两式作差得 112.已知等差数列中，前项和（）求数列的通项公式；（）若数列满足，记数列的前项和为，若不等式对所有恒成立，求实数的取值范围解：（）设等差数列的公差为， ,， ，即 . . 所以数列的通项公式.（） ，, . 当时，, 数列是等比数列，首项，公比 ，又不等式恒成立，而单调递增，且当时， . 113.设等差数列的前n项和为，且（c是常数，N*），.（）求c的值及的通项公式；（）证明：.（）解：因为，所以当时，解得， 当时，即，解得， 所以，解得； 则，数列的公差，所以. （）因为 . 因为， 所以 . 114.在等比数列an中，公比，且，a3与a5的等比中项为2。（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为Sn，当最大时，求n的值。解：（1）， 又， 又的等比中项为2， 而， ， （2）， ， 为首项，1为公差的等差数列。 ， ；当；当， 最大。115.已知数列的前项之和为，点在直线上，数列满足()。（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项之和；（3）是否存在常数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（1）由已知条件得=2n+1n=n(2n+1) . 当n=1时,a1=S1=3; 当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1a1符合上式an=4n-1; （2） bn=43n+1Tn=6(3n-1)+n; (3)设，假设存在常数p(p-1)使数列 为等比数列,则有解得p=-81当p=-81时，不存在，不存在常数(p-1)使数列 为等比数列.Ti0)，在a,b之间和b,c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列是等比数列，其公比为q.(1) 若a=1,m=1,求公差d；(2) 若在a,b之间和b,c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m个数的乘积（用a,c,m表示）求证：q是无理数。解：（1）由，且等差数列的公差为，可知，若插入的一个数在之间，则， 消去可得，其正根为若插入的一个数在之间，则，消去可得，此方程无正根故所求公差（2）设在之间插入个数，在之间插入个数，则，在等比数列中， 又，都为奇数，可以为正数，也可以为负数若为正数，则，所插入个数的积为；若为负数，中共有个负数，当是奇数，即N*)时，所插入个数的积为；当是偶数，即N*）时，所插入个数的积为 综上所述，当N*)时，所插入个数的积为；当N*）时，所插入个数的积为注：可先将用和表示，然后再利用条件消去进行求解（3）在等比数列，由，可得，同理可得，即，假设是有理数，若为整数，是正数，且，在中，是的倍数，故1也是的倍数，矛盾若不是整数，可设（其中为互素的整数，），则有，即，可得，是x的倍数，即是x的倍数，矛盾 是无理数已知数列、中，对任何正整数都有：（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列是等差数列，数列是等比数列，求证：解：（1）依题意数列的通项公式是，故等式即为，同时有，两式相减可得 可得数列的通项公式是，知数列是首项为1，公比为2的等比数列。（2）设等比数列的首项为，公比为，则，从而有：，又，故 ，要使是与无关的常数，必需，即当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是；当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列（3）由（2）知， 数列、由下列条件确定：，；当，与满足如下条件：当时，；当时，.（1）如果，试求，；（2）证明：数列为等比数列；（3）设()是满足的最大整数，证明：.解：（1），.（2）证明：当时，当时，；当时，.当时，都有，数列是以为首项，为公比的等比数列.（3）证明：由（2）可得，()，对于，都有,，.若，则，与是满足()的最大整数相矛盾，是满足的最小整数.，结论成立.已知为实数，数列满足，当时， （）；（）证明：对于数列，一定存在，使；（）令，当时，求证：解:（）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而= =. （）证明：若,则题意成立若,此时数列的前若干项满足,即.设,则当时,.从而此时命题成立若,由题意得,则由的结论知此时命题也成立.综上所述,原命题成立（）当时，因为, 所以=因为0,所以只要证明当时不等式成立即可.而当当时,由于0,所以综上所述,原不等式成立在数列中，已知，且，（1） 若数列为等差数列，求的值。（2） 求数列的前项和（3） 当时，求证：解：（1）设数列的公差为，则， 依题得：，对恒成立。即：，对恒成立。所以，即：或，故的值为2。（2） 所以， 当为奇数，且时，。 相乘得所以 当也符合。 当为偶数，且时， 相乘得所以 ，所以 。因此 ，当时也符合。所以数列的通项公式为。当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 所以 数列中，（）。（）求，；（）求数列的前项和；（）设，存在数列使得，求数列的前项和解：（）当时，有；当时，有；，（）， 是首项为，公比为2的等比数列。（）由，得， ，即令令则一得设数列的前n项和为，并且满足.（）求，；（）猜想的通项公式，并加以证明；（）设，且，证明：解：（）分别令，得， （）证法一：猜想：， 由 可知，当2时， -，得 ，即. 1）当时，； 2）假设当（2）时， 那么当时， 得： ，2， . 时也成立， （2）. 显然时，也适合. 故对于nN*，均有 证法二：猜想： 1）当时，成立； 2）假设当时，. 那么当时，. ， （以下同证法一）（）证法一：要证， 只要证， 即， 将代入，得，即要证，即1，且，,即，故1成立，所以原不等式成立证法二：，且， 当且仅当时取“”号. 当且仅当时取“”号. +，得 （），当且仅当时取“”号. . 证法三：可先证. ， ， ， ，当且仅当时取等号. 令，即得 ， 当且仅当即时取等号.已知函数（）证明，并求； （）已知等差数列与的前项和分别为与，且， 当时，比较与的大小；（）在（2）条件下，已知 al = 2 ，数列的公差为 d 2 探究在数列与中是否有相等的项，若有，求出这些相等项由小到大排列后得到的数列的通项公式；若没有，请说明理由解:()因为所以设S=（1） S=.(2)(1)+(2)得:=,所以S=3012 ()因为所以.所以;， 所以当时,（）在()条件下,当时, 所以所以； 假若存在数列中的第项与数列中的第项相等,即因为为奇数,6为偶数,所以不是整数,所以在数列与中没有相等的项.如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差(1)设数列是公方差为的等方差数列，求和（，）的关系式；(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；(3)设数列是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将，这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数（1）解：由等方差数列的定义可知：（，）（2）证法一：是等差数列，设公差为，则又是等方差数列， 即，即是常数列证法二：是等差数列，设公差为，则又是等方差数列，设公方差为，则代人得，同理有， 两式相减得：即 ，即是常数列证法三：(接证法二，)由、得出：若，则是常数列,若，则是常数，矛盾是常数列（3）依题意，（，），或，即该密码的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是种，故，这种密码共512种已知各项均不为零的数列an的前n项和Sn满足（其中）（）求数列an的通项公式；（）若不等式对任意都成立，求实数a的取值范围解：（）当时，；，时，即，由（）由，则不等式对任意都成立，即解得，实数a的取值范围是已知数列是等比数列，如果是关于的方程：两个实根，（是自然对数的底数）（1）求的通项公式；（2）设： ，是数列的前项的和，当：时，求的值；（3）对于（2）中的，设