第四章：逻辑代数及其化简(1).ppt

第四章逻辑函数及其简化 内容提要 1 逻辑代数的基本运算 2 逻辑函数及其表示方法 真值表 逻辑表达式 逻辑图 工作波形图和卡诺图 3 逻辑代数的运算公式和基本规则 4 逻辑函数的化简方法 代数化简法和卡诺图化简法 逻辑代数的基本运算 逻辑 一定的因果关系 逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法 是进行逻辑分析与综合的数学工具 因为它是英国数学家乔治 布尔 GeorgeBoole 于1847年提出的 所以又称为布尔代数 无论是数字仪表 还是计算机 其内部功能比较复杂 但其内部通常由几种或几十种最基本的电子电路组成 在这些电子电路中多数是数字逻辑电路 数字逻辑电路 用逻辑函数进行描述的电路 输入 输出具有一定的逻辑关系 条件 结果 实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路 描述输出 输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式 逻辑电路的输出 输入量 都用数字量表示 实现逻辑关系的电子电路通称为门电路 数字逻辑电路特点 第四章逻辑函数及其简化 逻辑代数 逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具 因此首先要了解逻辑代数有什么基本特性 逻辑代数和普通代数又有什么异同之处 逻辑代数和普通代数的区别 共同点 都用字母A B C 等表示变量 仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序 先括号 其次乘 最后加 不同点 这些变量A B C的取值范围是0和1 其运算规则是按逻辑规则来定义的 0 1不再表示数量的大小 只代表不同的逻辑状态 一 基本逻辑运算 与 或 非三种 为了便于理解基本逻辑关系的基本含义 先通过一些简单例子作一说明 1 与 运算及与门 逻辑与的概念 若决定一件事的所有条件都成立 这件事的结果就会发生 否则这件事就不会发生 这样的逻辑关系称为 逻辑与 逻辑乘 或称为 与 运算 能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路 逻辑代数中的三种基本运算 开关断开为0 开关闭合为1 灯亮为1 灯不亮为0 假设 用四个式子表示 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 与逻辑的表示方法 四种 真值表 将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来 列成表格 即可得到真值表 逻辑表达式 把输出与输入之间的逻辑关系写出与运算的逻辑代数式 即为逻辑表达式 F A B 用串连开关电路简单说明与逻辑关系 A B 有0为0全1为1 工作波形图 把输入和输出之间的逻辑关系用波形图的方法表示 即为工作波形图 有0为0 全1为1 逻辑图 符号 将逻辑函数中各变量之间的逻辑关系用图形符号表示 即为逻辑图 把实现与逻辑运算的单元电路叫做与门 用串连开关电路简单说明与逻辑关系 F A B 逻辑或的概念 决定某一件事的诸条件中 只要有一个或一个以上的条件满足 这件事的结果就会发生 否则结果不会发生 这样的逻辑关系称为 逻辑或 逻辑加 或称为 或 运算 0 0 0 0 1 1 1 0 1 假设 开关闭合为1 开关断开为0 灯亮为1 灯不亮为0 用四个式子表示 用并联开关电路简单说明或逻辑关系 或逻辑的表示方法 2 或 运算及或门 真值表 工作波形图 逻辑图 符号 逻辑表达式 F A B 把实现或逻辑运算的单元电路叫做或门 有1为1全0为0 或 运算及或门 1 逻辑非的概念 条件具备了 结果不会发生 条件不具备 结果一定发生 AF0110 逻辑表达式 工作波形 逻辑符号 开关闭合为1开关断开为0灯亮为1灯不亮为0 假设 把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门 3 非 运算及非门 逻辑运算 逻辑符号 真值表 基本运算规则 与 逻辑表达式 或 非 三种基本逻辑运算小结 实际的逻辑问题比与 或 非复杂得多 利用这三种基本逻辑关系 可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑 如与非 或非 与或非 异或 同或逻辑等 1 与非逻辑 与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合 它是将输入变量先进行与运算 然后再进行非运算 与非逻辑表达式 与非门逻辑符号 能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门 二 复合逻辑运算 A F B 与非门真值表 有0为1 全1为0 与非门运算顺序是 先与后非 即 当输入A B中 只要有一个0 输出就是1 只有输入全为1时 输出才是0 工作波形图 与非逻辑 或非逻辑是或逻辑运算和非逻辑运算的组合 它是将输入变量先进行或运算 然后再进行非运算 能够实现或非逻辑运算的电路称为或非门 或非逻辑表达式 或非门逻辑符号 或非门真值表 或非门运算顺序是 先或后非 有1为0 全0为1 即 当输入A B中 只要有一个1 输出就是0 只有输入全为0时 输出才是1 或非门工作波形 2 或非逻辑 1 F 与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的组合 它是将输入变量A B及C D先进行与运算 然后再进行或非运算 能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门 逻辑符号 与或非门真值表 工作波形图 逻辑表达式 每组有0为1 某组全1为0 3 与或非门 F A B为两个单刀双掷开关 灯亮的条件是 一个开关打在上面 另一个开关打在下面 两个开关同时打在上面或者下面 则灯不亮 假设 开关打在上面为1开关打在下面为0 灯亮为1灯灭为0 真值表 由真值表写出逻辑表达式 取F 1列与项逻辑式 对任何一种输入变量组合 变量之间是 与 运算 如果输入变量是 1 记原变量 如果输入变量是 0 记反变量 各组合之间是 或 逻辑关系 异或运算特点 相异为1 相同为0 4 异或门 异或逻辑符号 异或逻辑基本运算规律 0 0 01 1 01 0 0 1 1 推论 异或门工作波形图 异或逻辑 F 假设 开关打在上面为1开关打在下面为0 灯亮为1灯灭为0 灯亮的条件是 两个开关均打在上面 或均打在下面 同或运算特点 相同为1 相异为0 同或逻辑符号 同或逻辑和异或逻辑互为反函数 同或逻辑真值表 同或逻辑表达式 5 同或门 1 逻辑函数间的相等 设有两个逻辑函数 F f A1A2 An G g A1A2 An 看出 F和G都是变量A1A2 An的逻辑函数 如果 2n种组合中每一状态组合F和G值相同 则称为F和G相等 记作F G 如果F G 其真值表相同 反之 F和G真值表相同 F一定等于G 因此 要证明两个逻辑函数相等 只需列出真值表 若真值表相同 那么这两个函数一定相等 三 逻辑代数的基本定律和规则 例 设 证明F G 证 1 列出F和G的真值表 从真值表中可以看出 每一种状态组合F和G都相等 所以F G 即 F和G是同一逻辑的两种不同表达式 逻辑代数的基本定律和规则 00 00 00 00 11 00 11 11 2 实现F和G的逻辑电路图 两种不同的电路形式 表示同一种逻辑功能 将运算符号变为逻辑符号 逻辑代数的基本定律和规则 1 A B C A B C 2 逻辑代数的基本公式 第四章逻辑函数及其简化 1 常量之间的关系 请特别注意与普通代数不同之处 与 或 这些常量之间的关系 同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则 也叫做公理 它是人为规定的 这样规定 既与逻辑思维的推理一致 又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相似 第四章逻辑函数及其简化 2 常量与变量之间的关系 普通代数结果如何 3 与普通代数相似的定理 第四章逻辑函数及其简化 4 特殊的定理 De morgen定理 两点说明 1 乘法运算中乘号 可以省略 A B可写为AB 2 运算顺序 先括号 再算乘 最后加 这些基本定律反应了逻辑代数的基本规律 其正确性都可以利用真值表加以验证 例 证明反演率 从真值表中看出 逻辑代数的基本公式 1 代入规则 任何一个含变量A的等式中 如果将出现A的地方 都代之一个逻辑函数F 则等式仍然成立 例1 分配率A B C AB AC 令 C EF代入公式 A B EF 证 A B EF 用乘对加的分配率证明 例2 则 令 A CD 证 代入规则之所以正确 是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样 只有两种可能取值 0 1 所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待 3 逻辑代数三个规则 AB AEF AB AEF 有了代入规则 基本定律不受变量限制 扩大了基本公式的应用范围 2 反演规则 摩根定理 目的 求原函数的反函数 已知函数为F 将F中的所有 换为 换为 0换为1 1换为0 原变量换为反变量 反变量换为原变量 得到的函数式就是原函数的反函数 或称为补函数 记作 例1 已知 解 由反演规则直接得出 由反演率得 2 在运算过程中适当增加括号 以保证原函数的运算顺序不变 本例说明 1 由反演规则求反函数 比直接用反演率求反函数方便 简单 三个规则 例2 已知 解 利用反演规则直接写出 注意 不属于单个变量上的反号保持不变 3 对偶规则 对偶式 已知函数为F 将F中的所有 换为 换为 0换为1 1换为0 变量保持不变 得到的函数式就是原函数的对偶式F 例 首先了解什么是对偶式 三个规则 对偶规则 如果两个函数F和G相