微分几何-陈维桓-第三章讲稿.doc

目 录第三章 曲面的第一基本形式27 3.1 正则参数曲面27一、参数曲面27二、参数变换28三、正则曲面29四、正则曲面的例子30 3.2 切平面和法线33一、曲面的切空间，切平面和法线33二、连续可微函数的等值面34三、微分的几何意义35 3.3 第一基本形式35 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性38 3.5 保长对应和保角对应40一、曲面到曲面的连续可微映射40二、切映射40三、保长对应(等距对应)42四、保角对应(共形对应)44 3.6 可展曲面4550第三章 曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面计划学时：12学时，含习题课4学时. 难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应 3.1 正则参数曲面一、参数曲面从平面的一个区域(region，即连通开集)到中的一个连续映射的象集称为中的一个参数曲面(parameterized surface). 在中取定正交标架，建立笛卡尔右手直角坐标系. 则参数曲面可以通过参数(parameter)表示成参数方程 ， (1.1)或写成向量参数方程，. (1.2)为了使用微积分工具，本书中要求向量函数都是3次以上连续可微的. 图3.1-曲线：让固定，变化，向量的终点描出的轨迹. -曲线，参数曲线网. 直观上，参数曲面就是将平面中的区域经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间中的结果. 曲纹坐标，即.一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点与该点的参数之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件. 定义 设为中的参数曲面. 如果在点，两条参数曲线的切向量 ， (1.3)线性无关，即，则称或是的正则点(regular point). 如果上每一点都是正则点，则称是正则参数曲面.以下总假定是正则曲面. 在正则曲面上每一点，由于， (1.4)通过重新选取正交标架，不妨设.根据反函数定理，存在的邻域，使得有连续可微的反函数，即有.此时有的邻域和同胚映射. 从而有连续映射. 于是在的邻域内可用参数方程表示为， (*) 或表示为一个二元函数的图像，其中. (1.5)上式称为曲面片的Monge形式，或称为的显式方程. 从(*)式可见是一一对应，从而也是一一对应. 这说明正则性条件至少保证了局部是一一对应. 为了确定起见，以下约定正则曲面与其定义域之间总是一一对应的，从而参数可以作为曲面上点的曲纹坐标. 反之，由显式方程表示的曲面总是正则的：如果 ， (1.6)则，从而.二、参数变换曲面的定向(orientation)：对于曲面，规定所指的一侧为的正侧.由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换 (1.8)满足：(1) 是的3次以上连续可微函数；(2) 处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当时，称为保持定向(preserve the orientation)的参数变换. 根据复合函数的求导法则，在新的参数下， .因此 . (1.10)上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变. 三、正则曲面正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面. 将与等同，赋予普通的度量拓扑，即以的标准度量确定的拓扑.定义1.1 设是的一个子集，具有相对拓扑. 如果对任意一点，存在在中的一个邻域(，其中是在中的邻域)，和中的一个区域，以及同胚 ，使得是中一个正则参数曲面，则称是中的一张正则曲面(regular surface)，简称曲面. 上述的邻域和同胚的逆映射合在一起，将称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart). 注 的拓扑是作为的子集从诱导的相对拓扑，即作为的拓扑子空间的拓扑. 如果两个局部参数化，满足，那么正则参数曲面就有两个参数表示和. 由此自然产生了参数变换.利用正则参数曲面的3次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的. 直观上看，正则曲面是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化(为指标集)，使得构成的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable). 除非特别指出，本课程一般是研究正则参数曲面的几何性质，称之为“局部微分几何学”. 以下所说的“曲面”一般都是正则参数曲面，包括习题中出现的“曲面”.四、正则曲面的例子图3.2例1.1 圆柱面(cylinder) ，. (1.15)其中.当时，圆柱面上少了一条直线.如果取，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线. 显然是任意阶连续可微的. 又，.所以圆柱面是正则曲面. 圆柱面也可以用一个坐标卡表示：，.所以圆柱面是可定向的. 图3.3例1.2 球面(sphere) ，参数方程为，. (1.16)其中. 由于，所以球面是正则曲面.问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)图3.4例1.3 旋转面(revolution surface) 设是平面上一条曲线，其中. 将绕轴旋转得到的旋转面参数方程为 ，. (1.18)旋转面上的u-曲线称为纬线圆，v-曲线称为经线. 因为，所以当是正则曲线，并且时，是正则曲面. 图3.5例1.4 正螺面(hericoid) 设两条直线和垂直相交. 将直线一方面绕作匀速转动，同时沿作匀速滑动，的运动轨迹叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直线为x轴，为z轴，建立右手直角坐标系. 则正螺面的参数方程为，. (1.19)由，可知正螺面是正则曲面. 例1.5 直纹面(ruled surface) 简单来说，直纹面就是由单参数直线族构成的曲面. 设 ()是一条空间正则曲线. 在上对应于参数的每一点有一条直线，其方向向量为. 这条直线的参数方程可以写成.让在区间内变动，所有这些直线就拼成一个曲面，称为直纹面. 它的参数方程为，. (1.20)曲线称为该直纹面的准线(directrix)，而这个单参数直线族中的每一条直线都称为直纹面的一条直母线(generating line)，也就是直纹面的-曲线. 为了保证直纹面的正则性，要求. (1.21)因为直母线的方向向量，通过参数变换，可设. 再通过选取新的准线，其中是待定的函数，使得直母线处处与准线垂直相交，即. 因为，只须取即可.1. 当为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面称为柱面(cylindrical surface). 2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面称为锥面(cone). 3. 当时，称为切线曲面(tangent surface)，由准线的所有切线构成. 这3种直纹面有共同的特征，在3.6还要进一步讨论. 课外作业：习题2，5 3.2 切平面和法线一、曲面的切空间，切平面和法线设是中一个正则曲面，是曲面上点的曲纹坐标. 设是上任意一个固定点. 则上过点的一条可微(参数)曲线可以表示为， (2.2)其中 (2.1)是中一条可微曲线(不一定是正则曲线)，满足，. 因此，正是点的位置向量. 曲线在点的切向量为. (2.3)图3.1定义2.1 曲面上过点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面在点的一个切向量(tangent vector). 命题 曲面在点的切向量全体记为，它是一个2维实向量空间，是的一个基. 事实上，称为曲面在点的切空间(tangent space). 证明 记. 由(2.3)可见. 反之，对任意，令. 则是过的可微曲线，并且.所以. 因此，从而.显然按照向量的加法和数乘构成一个向量空间. 由于线性无关，它们构成的基. 在空间中，经过点，以两个不共线向量为方向向量的平面称为曲面在点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为，. (2.6)它的单位法向量(unit normal vector)为 . (2.7)经过点且垂直于在点的切平面的直线称为曲面在点的法线(normal line). 它的参数方程为，. (2.8)曲面在点的切空间、切平面、法线这三个概念都是与参数选择无关的几何概念. (为什么？)曲面上的自然标架：. 图3.6二、连续可微函数的等值面设是一个区域，是定义在上的连续可微函数. 对于一个常数，集合称为函数的等值面. 如果在的每一点，都有， (2.9)则等值面是一个正则曲面. 事实上，设在，有，则方程 (2.10)在点的邻近确定了一个隐函数，使得，. 于是等值面局部地可以用参数方程表示为 . (2.11)由于，等值面是正则曲面. 在等值面上每一点，梯度向量是一个法向量，即是与切平面垂直的向量.事实上，由(2.11)可得切空间的基底. 由(2.10)两边分别对求偏导数并注意，得，即有，.三、微分的几何意义设曲面的参数方程为. 微分得到 . (2.13)将看作4个独立的变量，则对于(2.13)中的不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值来表示曲面上的一个切方向. 自然，这时要求不能全为0. 变量是切向量关于切空间的基底的分量，因此是向量空间上的线性函数，即(对偶空间). 事实上，按照定义.同理，. 注. 由于切空间的自然基底一般不是单位正交的，在把看作切向量在这个基底下的分量计算内积时，不能将它当作笛卡尔坐标系下的分量来进行运算，而应当顾及自然基底的度量系数(参看下一节). 课外作业：习题1，3，5. 3.3 第一基本形式设是中一个正则参数曲面. 则 (3.1)是曲面上任意一点处的切向量，这个向量作为中的向量可以计算它的长度. 令， ，. (3.2)这三个函数称为曲面的第一类基本量. 而矩阵 (3.3)称为切空间(关于基底)的度量矩阵(metric matrix). 由于的度量是正定的，这是一个正定矩阵. 事实上，它的2个顺序主子式均：，. (Lagrange 恒等式)利用第一类基本量的定义，有.这是一个关于变量的二次型，称为曲面的第一基本形式(first fundamental form)，记为 . (3.4)对曲面作可允许的参数变换 ， (3.5)并记. 则由微分形式的不变性得. (*)记参数变换(3.5)的Jacobi矩阵为. (3.10)则有， (3.7, 3.9). (3.8)因此在新的参数下，度量矩阵成为， (3.12)从而第一类基本量之间的关系为 (3.13)在新的参数下，第一基本形式保持不变：. 因此第一基本形式与参数选择无关，也与的标架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可由微分形式不变性，也就是(*)式直接得到：. 如果和是处的两个切向量，则它们的内积为 . (3.15)因此切向量的长度为 . (3.16)两个切向量和之间的夹角满足. (3.17)它们相互正交的充分必要条件是 . (3.18)定理3.1 在参数曲面上，参数曲线网是正交曲线网. 对于参数曲面上的一条曲线，它的弧长为. (3.21)定义 称为曲面, 的面积元素，称 (3.18)为曲面的面积. 命题 曲面上曲线的弧长，曲面的面积元素以及曲面的面积都是几何量. 证明 假设参数变换为，其中.则在新参数下，的参数方程与原参数方程之间满足.1. 曲线的参数方程由变成了.所以.2. 由(3.12)可见，在新参数下，第一类基本量满足.其中是的逆映射的Jacobi行列式. 另一方面根据二重积分的变量代换公式，.所以在新参数下的面积元素.3. 根据二重积分的变量代换公式，有. 例1 求旋转面的第一基本形式. 解 ，. 所以，.这说明在旋转面上，经线和纬线构成正交曲线网. 第一基本形式为. (3.24)这说明在旋转面上经线(v-曲线)和纬线(u-曲线)构成正交参数曲线网. 例2 求曲面上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程.解 设正则参数曲面的第一基本形式是.再设二等分角轨线的切向量为.由题意，它与u-曲线的夹角要等于它与v-曲线的夹角，而u-曲线的切方向为，v-曲线的切方向为，所以.将和代入上式，得，即.由于，即，所以上式可化简为， (3.25)或等价地，参数曲线网的二等分角轨线的微分方程为. 注 求解一阶常微分方程初值问题，()得到的解是曲面上过点的一条曲线，在的每一点，切方向与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等. 固定，让初始条件变动，就得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角轨线. 课外作业：习题2，5，8 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：. 问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？引理 设是定义在区域上的连续可微的1次微分形式，且处处不为零. 则对于任意一点，在的某个邻域内存在积分因子，即有定义在上的非零连续可微函数，使得是某个定义在上的连续可微函数的全微分：. 引理的证明见附录1定理1.2. 定理4.1 假定在曲面上有两个处处线性无关的、连续可微的切向量场, . 则对每一点，必有点的一个邻域，使得在上存在新的参数，满足，. 分析：设，. (4.2)则由线性无关可知. (4.3)如果这样的可允许参数变换存在，则应有函数使得， (4.5)即有. (4.7)在上述等式两边取逆矩阵得. (4.8)因此逆参数变换应满足 (4.9)定理4.1的证明：考虑两个1次微分形式，. (4.10)由引理可知存在积分因子使得是全微分，即有函数，使得 (4.11)由此可见. (4.12)因为，参数变换是可允许的. 在新的参数下， 同理有. 注 满足条件的新参数仅是局部存在的，并且不能使得. 定理4.2 在曲面上每一点，有点的一个邻域，使得在上存在新的参数，满足.证明. 取向量场. 则线性无关，且. 注 在曲面上，令 ，. 则是曲面上的单位正交切向量场，称为的Schmidt正交化. 课外作业：习题1，3 3.5 保长对应和保角对应一、曲面到曲面的连续可微映射设有两个曲面和. 因为曲面上的点与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，从曲面到曲面的映射可以通过它们的参数表示出来，即有映射使得，或. 将映射通过它们的参数用两个函数表示出来，则有 (5.1)如果(5.1)中的两个函数都是连续可微的，则称映射是连续可微的. 这一概念在曲面的可允许参数变换下保持不变，因此与这两个曲面的参数取法无关. 以下总假定映射有足够的连续可微性. 二、切映射设两个曲面的参数方程分别为和，. 映射是连续可微的，它的参数表示为，其中 . (5.1)则对每一点，可以通过下面的方法定义一个线性映射，其中 . (5.9)上面定义的映射称为由连续可微映射诱导的切映射. 由上面的定义可见切映射把映为.在(5.9)中令，可知在切映射下的象是. (5.9)由于每个切向量都是上的某一过点的曲线， (5.2)在点的切向量：，其中为点的曲纹坐标，且，(见(2.3)式)，切映射也可以用另一种方法来定义：将上的曲线映为上的曲线，. (5.3)定义为在处的切向量，即 (5.5) . (5.4)在(5.3)中分别取和，可得. (5.7)因此切映射在自然基下的矩阵恰好是映射的Jacobi矩阵. 由此可知在点切映射是线性同构，当且仅当在点映射(5.1)的Jacobi行列式.定理5.1 设映射是(3次以上)连续可微的. 如果在点切映射是线性同构，则分别有点的邻域和点的邻域，以及上的参数系和，使得映射的参数表示为，其中. 这种参数系称为映射的适用参数系. 证明 设的参数方程分别为和，的参数表示为.由条件，. 设点的曲纹坐标为，点的曲纹坐标为. 由于是连续的，存在在中的邻域，使得在上，且在上有连续可微的反函数，其中是在中的邻域. 在上对曲面作参数变换. 在上对曲面作参数变换. 则在新的参数下，的参数表示为. 三、保长对应(等距对应)设是连续可微映射，和分别是的曲纹坐标. 的参数表示为.因为，对于曲面上的任意一个二次微分式， (5.11)我们可定义曲面上的一个二次微分式， (5.12)其中，. (5.15)其中作为复合函数，是的函数，即(5.13)二次微分式称为上的二次微分式经过映射拉回(pull back)到上的二次微分式. 简单来说，就是将代入(5.11)右端而得. 例 曲面上的第一基本形式是一个二次微分式. 拉回到上，由于，上式可以简单地写成 (*)定义5.1设映射是3次以上连续可微的. 如果对每一点，切映射都保持切向量的长度，即，.则称是从到的保长对应(correspondence preserving length)，或称等距对应(isometry). 注1. 保持向量长度的线性映射一定保持内积，因此若是等距对应，则有，. 反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长度. 而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长，即有. 注2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应，在每一点，切映射都是线性同构，从而局部地是微分同胚，存在适用参数系. 由(5.9)可知.利用(*)得到，其中是的第一基本形式. 于是有定理5.2设映射是3次以上连续可微的. 则是等距对应的充分必要条件是，即在对应点，成立 . (5.20)将上式按矩阵乘法算出来，可以得到类似于(5.13)的等式. 如果已知2个曲面，是否存在等距对应？这相当于已知(5.20)中的函数，求解未知函数，使得(5.20)成立. 但是(5.20)是非线性一阶偏微分方程组，一般来说求解非常困难. 利用定理5.1，定理5.2和上面的注1，注2容易得到定理5.3 曲面和之间存在保长对应的充分必要条件是，可以在和上选取适当的相同参数系，使得在这个参数系下和有相同的第一基本形式. 例5.1 证明：螺旋面: ，与单叶旋转双曲面 ，之间可以建立等距对应. 证明 计算得到和的第一基本形式分别为，.对作参数变换，这是可允许参数变换. 则.对作参数变换. 则.等距对应的参数表示为. 四、保角对应(共形对应)定义5.2设映射是三次以上连续可微的一一对应. 如果， (5.22)其中，则称是从到的保角对应，或称共形对应(conformal correspondence).注 对于保角对应，在每一点，切映射都是线性同构，否则无意义. 因此可以选取适用参数系使得映射就是具有相同参数的点之间的对应. 引理 设是两个欧氏空间(即带有内积的实向量空间)，是线性同构. 如果保持向量之间的夹角：，则，使得 . (1)反之，若，使得(1)成立，则保持向量之间的夹角. 证明 取的单位正交基. 因为是同构，是的基，且两两正交. 令， ， .则是的单位正交基，且， . (2)对于，由条件，有，所以.这说明. 于是对，有，从而(1)成立. 反之，设(1)成立. 则，, . (3)从而对任意两个非零向量，有. 推论 设映射是三次以上连续可微的一一对应. 则是保角对应的充分必要条件是存在上的正的连续函数，使得， (5.22)其中是点的曲纹坐标. 当函数时，其实就是保长对应. 像前面一样，条件(5.22)等价于， (5.23)即有.所以在适用参数系下，保角对应的条件(5.22)就简化为. (5.24)综上所述，我们就有下面的定理. 定理5.4设映射是三次以上连续可微的一一对应. 则是保角对应的充分必要条件是存在上的正的连续函数，使得， (5.23)其中，分别是，的第一基本形式. 定理5.5 任意正则参数曲面必局部共形于平面，即上任意一点都有一个邻域可以与平面上的一个区域建立共形对应. 由此可知任意两个正则参数曲面都可以建立局部共形对应. 推论 任意正则曲面上均存在局部的等温坐标系，即，局部地可选取参数使得，其中是局部定义的函数. 定理5.5的证明从略. 但是上面的推论是非常重要的，是研究参数曲面常用的方法. 例5.2 球面的Mercator投影课外作业：习题1 3.6 可展曲面本节研究一类特殊的直纹面，它们都能够与平面建立局部的等距对应. 图19考虑下面的三种直纹面：1. 柱面，其中是常向量，.2. 锥面，其中是常向量，.3. 切线曲面，其中，.它们的单位法向量分别是 1. ；2. ；3. .这说明这三种直纹面有相同的特点：沿着一条直母线切平面相互重合. 定义6.1 设为直纹面. 如果它的切平面沿每一条直母线是不变的，则称为可展曲面. 定理6.1 设直纹面的方程为. 则是可展曲面的充要条件是 . (6.1)证明 因为，所以 .由定义，是可展曲面的充要条件是：对，沿着直母线，向量具有固定方向. 由第一章定理2，这等价于，即 ，也就是 . 用二重外积公式将上式左端展开，得. 所以上式等价于 这就是(6.1). 注1 如果直纹面上有2族不同的直母线，那么只能是单叶双曲面，双曲抛物面或平面. 单叶双曲面，参数方程为 .双曲抛物面，参数方程为.注2 条件(6.1)与准线取法无关，也与直母线方向向量的长度无关. 定理6.2 局部来说，可展曲面只有柱面、锥面和切线曲面这三类. 证明 设是可展曲面. 则是直纹面. 选取直母线的方向向量为单位向量，并且准线处处与直母线垂直，即的参数方程为，其中，. 由定理6.