巧用导数妙解4大热点题型.doc

巧用导数妙解4大热点题型四川省中江实验中学 鲁勇 导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质、相切问题以及实际优化的问题方面.近年，各地高考都从不同的方面对导数内容进行考查，既有考查导数的小题，又有考查导数综合应用的大题，这些问题构成了高考试卷中一道亮丽的风景线.一、 应用于研究函数的性质导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的的单调性、极值、最值等问题例1、 已知a是实数，函数f（x）=.（1） 求函数f（x）的单调性；（2） 设g（a）为f（x）在区间0，2上的最小值；写出g（a）的表达式；求a的取值范围，使得-6.解：（1）函数的定义哉为0，+），f（x）=+=（x0）.若a0则f（x）0,f(x)有单调递增区间0，+）.若a0,令f（x）=0,得x=,当0x时, f（x）时f（x）0.所以f(x)有单调递减区间0, ,单调递增区间,+）(2)若a0, f(x)在0,2上单调递增,所以g(a)=f(0)=0.若0a6,f(x)在区间0, 递减, ,2上为单调递增,所以g(a)=f()= -.若a6,f(x)在区间0,2上单调递减,所以g(a)=f(2)=.综上所述g(a)= 令-6.若a0,无解;若0a6,解和3a0,试判断f(x)在定义域内的单调性;（2） 若f(x)在1,e上的最小值为,求a的值;（3） 若f(x)0,则f（x）0,所以f(x)在(0,+)上是单调递增函数;（2）由（1），可知f（x）=若a-1则x+a0，即f（x）0在1，e上恒成立，此时f（x）在1，e上为增函数，所以f（x）min=f（1）=-a=，a=-舍去.若a-e，则x+a0，即f（x）0在1，e上恒成立，此时f（x）在1，e上为减函数，所以f（x）min=f（e）=1- =，a=-舍去若-ea-1,令f（x）=0,得x=-a.当1x-a时, f（x）0,所以f(x)在1,-a上为减函数;当-ax0,所以f(x)在1,-a上为增函数,所以f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=a=-.综上所述, a=-.(3)f(x)x2,lnx0axlnx-x3.令g(x)= xlnx-x3,h(x)=g(x)=1+lnx-3x2,h(x)=-6x=x(1,+)时, h(x)0,h(x)在(1,+) 上为减函数.h(x)h(1)=-20,即g(x)0. g(x)在1,+ )上也是减函数,g(x)g(1)=-1当a-1时,f(x)x2在(1,+ )是恒成立.点评:第(2)问求函数的单调区间,直接求导,然后解不等式即可,注意函数的定义域;第(3)问转化为函数在区间上的最小值问题,然后利用导数研究.三、应用于相切问题导数的几何意义是我们解决有关直线与曲线相切的问题及切线的斜率问题的有力武器，它使得复杂的图象关系问题转化为简单的函数问题.因而常常与导函数在切点的函数值一起作为列出方程的重要依据.例3、已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c上图象上的点P（1，f（1）处的切线方程为y=-3x+1，函数g（x）=f（x）-ax2+3是奇函数.（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）的极值.解：（1）f（x）=-3x2+2ax+b，函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，f（1）=-3即2a+b=0又f（1）=-2得a+b+c=-1，又函数g（x）是奇函数，c=-3 a=-2 b=4 f（x）=-x3-2x2+4x-3.（2）令f（x）=0得x=-2 或x=x（-，-2）-2（-2，）（，+）f（x）-0+0-f（x）=-x3-2x2+4x-3-11-f（x）极小值=-11，f（x）极大值=-点评：对于类似于第（1）问的问题，利用切线的斜率等于导函数在切点处的函数值，并结合题意建立方程组，即可求出参数的值.四、应用于解决实际问题对于实际问题中的一些优化问题，如成本最低、利润最大用料最省等问题，常常需要将实际问题抽象为数学问题，然后化为函数的最值来解决，而求解函数最值最有效的方法是导数法.因此，导数被广泛地应用于实际生活中的一些优化问题的求解过程，成为求解这些优化问题的首选.例4、如图所示，设电灯可沿铅垂线OB移动，问灯与水平面OA的距离多大时，才能使水平面上的点A处获得最大亮度？（根据物理学知识可知：亮度J与sin成正比，与距离r=AB的平方成反比，即J=，其中k为下常数）OAB分析：先明确函数关系是求解的重点，为此，我们必须认真利用“亮度J与sin成正比，与距离r=AB的平方成反比”这一重要条件.解：由r2=a2+h2,sin= ,令OA=a, OB=h,AB=r.得J=kh，那么J=k（），令J=0得h=a，当h0;当ha时J0,所以当h=a时,J有最大值,即灯与水平面OA的距离为a时,A处获得最大亮度.点评:亮度问题是我们日常生活中经常遇到的,如何使亮度