八年级下册数学正方形的性质和判定.ppt

思考 1 在第四章中我们已经学习了哪些特殊的四边形 平行四边形 矩形 菱形 思考 2 分别叙述这三种四边形的定义 复习 邻边 相等 有一个角 是直角 两组对边 分别平行 有一个角是直角 有一组邻边相等 正方形 正方形 矩形 邻边相等的矩形 想一想 正方形是怎样的矩形 菱形 正方形 一个角是直角的菱形 想一想 正方形是怎样的菱形 有一组邻边相等的平行四边形 菱形 并且有一个角是直角的平行四边形 矩形 两层含义 正方形 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 1 正方形定义 1 的矩形叫做正方形 快速反应 有一组邻边相等的 2 的菱形是正方形 有一个角是直角的 3 的平行四边形是正方形 有一个角是直角且有一组邻边相等的 2 正方形的性质 边 对角线 对边平行 四边相等 对角线相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 四个角相等且都是直角 角 正方形性质 正方形具有平行四边形 矩形 菱形的一切性质 正方形的性质定理1 正方形的四个角都是直角 四条边都相等且对边平行 正方形的性质定理2 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 二 正方形的性质 三段论形式 四边形ABCD是正方形 DAB ABC BCD CDA 90 AB BC CD DA AD BC AB CD AC BD AC BD AO CO BO DO AC平分 BAD和 BCD BD平分 ABD和 ADC 对称轴 思考 1 平行四边形 矩形 菱形 正方形分别有哪些性质 这些性质可以从哪几个角度概括 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 有 请用这四种图形填空 A表示 B表示 C表示 D表示 平行四边形矩形 菱形 菱形 矩形 正方形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等且有一个角是直角 正方形 矩形 菱形及平行四边形四者之间的关系 3 正方形的判定 1 定义法2 先判定是矩形 再判定是菱形 或先判定是菱形 再判定是矩形 动脑想一想 对角线相等的菱形是正方形吗 为什么 对角线互相垂直的矩形是正方形吗 为什么 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗 为什么 如果不是 应该加上什么条件 能说 四条边都相等的四边形是正方形吗 为什么 能说 四个角都相等的四边形是正方形吗 为什么 例题1 四边形ABCD是正方形 两条对角线相交于点O 1 求 AOB OAB的度数 8 解 四边形ABCD是正方形 AC BD AOB 900 BAC DAC OAB 450 2 若AC 4 则正方形边长 正方形的面积是 4 3 正方形的面积64cm2 则对角线交点到正方形一边的距离 例2求证 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 已知 四边形ABCD是正方形 对角线AC BD相交于点O求证 ABO BCO CDO DAO是全等的等腰直角三角形 证明 四边形ABCD是正方形 由于正方形的面积等于 ABO面积的4倍 所以正方形的面积等于对角线的平方的一半 AC BD AC BD AO CO BO DO 正方形的对角线相等 并且互相垂直平分 ABO BCO CDO DAO都是等腰直角三角形 并且 ABO BCO CDO DAO 做一做 现在请大家做一做这样一个实验 将一张长方形纸对折两次 然后剪下一个角 打开 怎样剪才能剪出一个正方形 2 周长为20cm的正方形 边长是对角线长是面积是 1 一组邻边相等 一个角是直角的四边形是正方形 2 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 自我检测 1 下列说法对吗 5 25cm2 3 如图 有个等腰直角三角形 8 解 四边形ABCD是正方形 AB BC 2cm ABC 90 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 练习1 已知 正方形的一条边长为2cm 求这个正方形的周长 对角线长和正方形的面积 边长AB 2cm 周长C 4AB 8cm 练习2 已知 正方形的一条对角线长为4cm 解 四边形ABCD是正方形 AB BC ABC 90 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 1 正方形的面积等于边长的平方 2 正方形的面积等于等于对角线的平方的一半 3 正方形的周长等于边长的4倍 在Rt ABC中 求 它的边长和面积 练习3 已知 在正方形ABCD中 E F分别在BC DC上 且BE DF AC与BC相交于O点 EF与AC相交于P点求证 EF AC EF BD 证明 四边形ABCD是正方形 BC CD 正方形的四条边都相等 BE DF EC FC AC平分 BCD 正方形的每条对角线平分一组对角 EF AC AC BD 正方形的对角线互相垂直 EF BD 矩形 正方形 2 4 判断 1 正方形一定是矩形 2 正方形一定是菱形 3 菱形一定是正方形 4 矩形一定是正方形 5 正方形 矩形 菱形都是平行四边形 快速反应 矩形 正方形 2 1 在下列性质中 平行四边形具有的是 矩形具有的是 菱形具有的是 正方形具有的是 1 四边都相等 2 对角线互相平分 3 对角线相等 4 对角线互相垂直 5 四个角都是直角 6 每条对角线平分一组对角 7 对边相等且平行 8 有两条对称轴 自主学习 矩形 正方形 2 2 正方形两条对角线的和为8cm 它的面积为 自主学习 矩形 正方形 2 3 如图 点E F在正方形ABCD的边BC CD上 BE CF 1 AE与BF相等吗 为什么 2 AE与BF是否垂直 说明你的理由 自主学习 尝试练习 1 已知 如图 ABCD和AKLM都是正方形 求证 MD KB 尝试练习 2 如图 正方形ABCD中 AC交BD于O 点M N分别在AC BD上 且OM ON 求证 BM CN 如何设计花坛 在一块正方形的花坛上 欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分 不考虑道路的宽度 你有几种方法 至少说出三种 请你当设计师 应用举例 已知 如图点A B C D 分别是正方形ABCD四条边上的点 并且AA BB CC DD 求证 四边形A B C D 是正方形 由已知正方形证三角形全等 证得菱形 再证直角 是正方形 证题思路分析 上一页 例1已知 如图 在正方形ABCD中 A A B B C C D D 求证 四边形A B C D 是正方形 证明 四边形ABCD是正方形 AB BC CD DA 又 A A B B C C D D D A A B B C C D A B C D 90 AA D BB A CC B DD C 四边形A B C D 是菱形 又 AD A BA B AA D AD A 90 AA D BA B 90 D A B 180 AA D BA B 90 四边形A B C D 是正方形 例2已知 如图 在矩形ABCD中 AF BH CH DF分别是各内角平分线 AF和BH交于E CH和DF交于G 求证 四边形EFGH是正方形 AD H BC F E G 证明 AD BC AF BH是角平分线 AF BH同理BH CHCH DFDF AF HEF EFG FGH GHE 90 四边形EFGH是矩形 A B C D E F G H AF平分 BAD BAF DAF 45 同理 ABH CBH 45 BCH DCH 45 CDF ADF 45 DAF CBHAD BC ADF BCH AFD BHC ASA AF BH BAF ABH AE BE EH EF 四