第四章(第4,5节) 两自由度系统的振动.ppt

4 4简谐激励的强迫振动 振动系统微分方程 图4 4 1a所示的无阻尼的两自由度振动系统 系统可以用x1 t 和x2 t 两个坐标来完全地描述 由图4 4 1b 应用牛顿定律得系统的振动微分方程为 4 4 1 写成矩阵形式 4 4 2 图4 4 1 4 4简谐激励的强迫振动 从方程 4 4 2 可以看出 矩阵M和k都是对称的 矩阵元素为 振动系统微分方程 由此方程 4 4 2 可以改写为 4 4 3 这样 原来的对角质量阵已被一个更为一般的非对角的但是对称的矩阵所代替 考虑F1 t 和F2 t 为简谐激励 即 4 4 4 4 4简谐激励的强迫振动 振动系统微分方程的求解 并设稳态响应为 4 4 5 一般说来 X1和X2是决定于激励频率 和系统参数的量 把式 4 4 4 和式 4 4 5 代入方程 4 4 3 得到两个代数方程 4 4 6 引入记号 于是方程 4 4 6 可以改写为 4 4 8 4 4简谐激励的强迫振动 振动系统微分方程的求解 写成矩阵形式为 4 4 9 式中X为位移幅度向量 F为激励幅度向量 矩阵Z 显然是对称矩阵 方程 4 4 9 的解可以用Z 的逆矩阵左乘方程两边得到 其结果为 4 4 10 4 4简谐激励的强迫振动 振动系统微分方程的求解 把方程 4 4 11 代入方程 4 4 10 进行乘法运算可得解为 将式 4 4 12 代入式 4 4 5 可得两自由度系统受简谐激励的稳态响应的表达式 即 4 4 12 4 4简谐激励的强迫振动 例题 简谐激励强迫振动的稳态响应 例4 4 1 例4 4 1考虑图4 4 1所示系统 设m1 m m2 2m c1 c2 c3 0 k1 k2 k k3 2k 并设F1 t F0sin t F2 t 0 求系统的稳态响应 并绘出频率响应曲线 解 根据已知条件 由式 4 4 7 可得 4 4简谐激励的强迫振动 例题 简谐激励强迫振动的稳态响应 例4 4 1 于是由式 4 4 12 得稳态响应的幅值为 已知X1和X2的分母为特征行列式 即 4 4简谐激励的强迫振动 例题 简谐激励强迫振动的稳态响应 例4 4 1 因此稳态响应的幅值可以写成 4 4简谐激励的强迫振动 例题 简谐激励强迫振动的稳态响应 例4 4 1 从图中可以看出 当 1或 2时 X1和X2均趋于无穷大 可见对于两自由度系统存在两个共振频率 X1 对 1和X2 对 1的频率响应曲线绘于图4 4 2 图4 4 2 4 5无阻尼动力减振器 动力减振器概述 机器或结构物 在交变力的作用下 特别是固有频率接近激振频率时将引起强烈的振动 为了减除振动 一般可以通过改变系统的质量或刚度来实现 当无法通过改变系统特性来实现减除振动的目的时 通常采用动力减振器这种有效的减振措施 系统加上动力减振器以后 会使原来的单自由度系统变为两自由度系统 因而有两个固有频率 每当激振频率与其中任一固有频率相接近时 系统都会发生共振 4 5无阻尼动力减振器 动力减振器概述 这种动力减振器只是用于激振频率基本固定的情形 例如同步电机等恒速运转的机器 这样虽然产生了两个固有频率 但是这两个频率一般来说不等于激振运转频率 因而避免了共振 如果激振频率可以在相当大的范围内改变时 例如变转速运行的发动机 其激励频率随转速在很大范围内变动 则这种动力减振器只是使原来的一个共振频率的振动系统改变为两个共振频率的振动系统 不能起到减振的作用 在生产实践中 要消除频率范围变化较大的机器设备的过大的振动 必须设计减振器的固有频率能跟随转速自动调节等功能 才能有效地达到减振的目的 4 5无阻尼动力减振器 动力减振器减振原理推导 考虑图4 5 1所示的系统 由质量m1和弹簧k1组成的系统称为主系统 而由质量m2和弹簧k2组成的附加系统称为减振器 这个组合系统的振动微分方程为 4 5 1 设其解为 4 5 2 图4 5 1 4 5无阻尼动力减振器 动力减振器减振原理推导 代入方程 4 5 1 有 4 5 3 从而可以得出 4 5 4 习惯上 引入下列符号 主系统的固有频率 减振器的固有频率 4 5无阻尼动力减振器 动力减振器减振原理推导 主系统的静变形 减振器质量对主质量的比值 于是 方程 4 5 4 可以写为 4 5 5 根据方程 4 5 5 可以看出 当 时 激励频率等于减振器的固有频率 主质量的振幅X1减小到零 就可以消除主质量的振动 使主系统保持不动 4 5无阻尼动力减振器 减振器的振动 从方程 4 5 5 第二式看出 当 时 减振器则以频率 振动 其振幅X2为 4 5 6 将其代入方程 4 5 2 第二式 有 4 5 7 从此得出 在任何瞬时 减振器弹簧中的力为 4 5 8 其正好平衡了主质量上的作用力 4 5无阻尼动力减振器 主系统的频响曲线 图4 5 2画出了主系统的频率响应曲线 图中阴