二次函数压轴题(2010[1].12).doc

专题复习：二次函数压轴题1、已知：如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；（3） AOB与BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为）2、如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由AOxyBFC3、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由yxODECFAB4、如图，在平面直角坐标系xOy中，OAB的顶点的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且=3，sinOAB=.（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记QNM的面积为，QNR的面积，求的值.5、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COSBCO。(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?6、如图，RtAOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，BAO30，将RtAOB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点D重合，折痕为BE。求点E和点D的坐标；求经过O、D、A三点的二次函数解析式；设直线BE与中二次函数图象的对称轴交于点F，M为OF中点，N为AF中点，在x轴上是否存在点P，使PMN的周长最小，若存在，请求出点P的坐标和最小值；若不存在，请说明理由。7、8、9、如图所示，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ABC的面积为。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。10、如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；OBxyAMC1（4） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）参考答案：1、解：（ 1）由已知得：解得c=3,b=2抛物线的线的解析式为(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=9（3）相似如图，BD=BE=DE=所以, 即： ,所以是直角三角形所以,且,所以.2、解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，1分点都在抛物线上， 抛物线的解析式为3分顶点4分（2）存在5分7分9分（3）存在10分理由：解法一：延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点 11分AOxyBFC图9HBM过点作于点点在抛物线上，在中，在中，12分设直线的解析式为 解得13分 解得 在直线上存在点，使得的周长最小，此时14分解法二：AOxyBFC图10HMG过点作的垂线交轴于点，则点为点关于直线的对称点连接交于点，则点即为所求11分过点作轴于点，则，同方法一可求得在中，可求得，为线段的垂直平分线，可证得为等边三角形，垂直平分即点为点关于的对称点12分设直线的解析式为，由题意得 解得13分 解得 在直线上存在点，使得的周长最小，此时3、解：（1）点在轴上1分理由如下：连接，如图所示，在中，由题意可知：点在轴上，点在轴上3分（2）过点作轴于点，在中，点在第一象限，点的坐标为5分由（1）知，点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为6分抛物线经过点，由题意，将，代入中得 解得所求抛物线表达式为：9分（3）存在符合条件的点，点10分理由如下：矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为由题意可知为此平行四边形一边，又边上的高为211分依题意设点的坐标为点在抛物线上解得，以为顶点的四边形是平行四边形，yxODECFABM，当点的坐标为时，点的坐标分别为，；当点的坐标为时，点的坐标分别为，14分（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）4、解：（1）如图，过点B作BDOA于点D. 在RtABD中， AB=,sinOAB=, BD=ABsinOAB =3.又由勾股定理，得 OD=OA-AD=10-6=4.点B在第一象限，点B的坐标为（4，3）. 3分设经过O(0,0)、C（4，-3）、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为 y=ax2+bx(a0).由经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为 2分（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形 点C（4，-3）不是抛物线的顶点，过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P1 .则直线CP1的函数表达式为y=-3.对于，令y=-3x=4或x=6.而点C（4，-3），P1(6,-3).在四边形P1AOC中，CP1OA,显然CP1OA.点P1（6，-3）是符合要求的点. 1分若AP2CO.设直线CO的函数表达式为 将点C（4，-3）代入，得直线CO的函数表达式为 于是可设直线AP2的函数表达式为将点A（10，0）代入，得直线AP2的函数表达式为由，即（x-10）（x+6）=0.而点A（10，0），P2（-6，12）.过点P2作P2Ex轴于点E，则P2E=12.在RtAP2E中，由勾股定理，得而CO=OB=5.在四边形P2OCA中，AP2CO,但AP2CO.点P2（-6，12）是符合要求的点. 1分若OP3CA,设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2 将点A(10,0)、C(4,-3)代入，得直线CA的函数表达式为直线OP3的函数表达式为由即x(x-14)=0.而点O(0,0),P3（14，7）.过点P3作P3Ex轴于点E，则P3E=7.在RtOP3E中，由勾股定理，得而CA=AB=.在四边形P3OCA中，OP3CA,但OP3CA.点P3（14，7）是符合要求的点. 1分综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7),使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形. 1分（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下. 当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的副半轴交与点N.可设抛物线的函数表达式为（a0）.即如图，过点M作MGx轴于点G.Q（-2k，0）、R（5k，0）、G(、N(0，-10ak2)、M 2分当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N， 同理，可得 1分综上所知，的值为3：20. 1分5、6、解：据题意可得1，OBBD，DEOE，RtAOB中，BAO30，ABO60，OA3，AB2，130。RtEOB中， OE1 E点坐标为(1，0)，过点D作DGOA于G，RtADG中，ADABBD2，BAO30， ， 。D点坐标为(1.5，)二次函数的图象经过轴上的O、A两点，设二次函数的解析式为据得A点坐标为(3，0)，把D点坐标(1.5，)代入得，二次函数的解析式为设直线BE的解析式为，把(0，)和(1，0)分别代入得，直线BE的解析式为，把代入得，F点坐标为(1.5，)，M点坐标为(，)，N点坐标为(，)，M点关于x轴对称的点的坐标为M(，)，设直线MN的解析式为，把(，)和(，)分别代入得，直线MN的解析式为，把代入得x轴上存在点P，使PMN的周长最小，P点坐标为(，0)，PMN周长7、8、9、 解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OCAB=,得AB=， 设A（a,0）,B(b,0)AB=b-a=，解得p=,但p0,所以p=。 所以解析式为： （2）令y=0，解方程得，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC 中可求得AC=,同样可求得BC=,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为AB=,所以. （3）存在，ACBC,若以AC为底边，则BD/AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式 为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组得D（,9） 若以BC为底边，则BC/AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组得D() 综上，所以存在两点：（,