二次函数、二次方程(教案）.doc

一元二次方程、二次函数、一元二次不等式专题复习讲义学习目标：1.理解三个“二次”的关系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法；2.通过学生的主体活动，提高学生分析问题的能力，强化数形结合、分类讨论的思想方法；学习过程：活动一：三个“二次”的基本关系的图像方程的根无实根二次不等式的解集小结：三个“二次”的基本关系：一元二次方程是寻找二次函数图像上的点；一元二次不等式是截取二次函数图像上的一段活动二：解含参二次不等式问题例1.解关于的不等式：解：原不等式等价于当时，得，当时，不等式可化为，解得或，当时，不等式可化为，若，即，则，若，即，则不等式解集为空集，若，即，则.综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为； 当，不等式解集为空集； 当，不等式解集为.变式：若关于的不等式的解集为或，求实数的值.解：由一元二次不等式与二次方程的关系，借助根与系数的关系可得：解得2.小结：解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项系数若含有参数应讨论二次项是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式注意：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系(3)确定无根或有一根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集活动三：二次函数在给定区间上的最值问题例2.求函数的最小值与最大值.解：的对称轴为.当时，；当时，；当时，.变式1：已知函数，求在区间上的最大值. . 解：的对称轴为.当t+14即t3时，；当t4 t+1即3t4时，；当t4时，.变式2：已知函数在区间0，1上的最大值为2，求实数a的值.解：令，函数的对称轴为，当即时，=解得当即时，=，无解当即时，=解得.小结：求解二次函数在给定区间上的最值问题：利用二次函数的图像，注意分对称轴在区间的左、中、右三种情况进行讨论.活动四：一元二次不等式恒成立问题例3.已知不等式.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围解：(1)不等式恒成立，即函数的图象全部在轴下方注意讨论时的情况当时，即当时，不等式恒成立；当时，函数为二次函数，需满足开口向下且方程无解，即则无解综上可知不存在这样的.(2)从形式上看，这是一个关于 的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于的一元一次不等式，并且已知它的解集为，求参数的范围设，则其为一个以为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当时线段在轴下方，即解，得或，解，得.由，得.的取值范围为。变式：定义在R上的奇函数 f (x)，当x0时，f (x)是减函数，如果当时不等式恒成立,求a的范围.解：由题: f (x) 是奇函数, 所以，又在f (x) R上是减函数,即对x0,1恒成立.下面转化为二次函数在给定区间上的最值问题：令，对称轴为当时，得；当，得；当，无解.综上，.小结：一元二次不等式恒成立问题的方法总结：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁做主元，求谁的范围，谁就是参数对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方1.一元二次不等式在上恒成立：（用法），注意：的情况.2. 一元二次不等式在区间上恒成立：化归为区间最值问题：；.分离参数法：af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min.活动五：巩固练习1.不等式 的解集为 . 2.若函数在上是减函数, 则实数的范围是 .3.不等式对任意均成立，则实数的取值范围是_4.已知二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 5.设函数，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是_(，)由题意得：()214m2(x21)(x1)214(m21)恒成立，即(4m21)x22x30恒成立，即4m21恒成立，g(x)在，)上是增函数，故当且仅当4m21g()即可解得m或m，即m的