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第三章超静定结构的解法 力法 MethodsofAnalysisofStaticallyIndeterminateStructures Mechanics 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 静力特征 仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力 超静定问题的求解要同时考虑结构的 变形 本构 平衡 几何特征 有多余约束的几何不变体系 超静定结构是相对于静定结构而言的 静定结构是几何不变而又没有多余约束的体系 其反力和内力只需静力平衡方程即可求得 所谓几何不变体系是指如果不考虑材料应变所产生的变形 体系在受到任何载荷作用后能够保持其固有的几何形状和位置的体系 超静定结构有以下几个特征 概述 拱 组合结构 桁架 超静定梁 刚架 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 桁架 1 超静定次数 结构多余约束或多余未知力的数目 即为超静定次数 2 确定超静定次数的方法 通过去掉多余约束来确定 去掉n个多余约束 即为n次超静定 3 去掉 解除 多余约束的方式 2 超静定次数确定 a 撤去一个活动铰支座 去掉或切断一根链杆 去掉1个约束 联系 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 b 去掉一个单铰或一个固定铰支座 去掉2个约束 c 切断刚性联系 梁式杆 或去掉一个固定端 去掉3个约束 X3 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 d 将刚性连接改为单铰 去掉1个约束 注意事项 1 对于同一超静定结构 可以采取不同方式去掉多余约束 而得到不同形式的静定结构 但去掉多余约束的总个数应相同 2 去掉多余约束后的体系 必须是几何不变的体系 因此 某些约束是不能去掉的 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 几何可变体系不能作为基本体系 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 举例 X1 X2 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 X4 X3 X1 X2 X1 X2 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 平衡方程个数 2 8 16 未知数个数 16 3 19 多余约束力 19 16 3 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 计算桁架超静定次数的简单公式 m r 2j 16 3 2 8 3m 杆个数 r 支反力数目 j 节点数 X1 X2 X3 X1 X2 X3 每个无铰封闭框超三次静定 超静定次数3 封闭框数 3 5 15 超静定次数3 封闭框数 单铰数目 3 5 3 12 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 一个无铰封闭框有三个多余约束 3 1超静定结构的组成与超静定次数的确定 3 封闭框数 单铰数目 3 3 4 5 3 封闭框数 单铰数目 3 3 3 6 力法的基本思想 1 找出未知问题不能求解的原因 2 将其化成能求解的问题 3 找出改造后的问题与原问题的差别 4 消除差别后 改造后的问题的解即为原问题的解 3 2力法的基本原理及典型方程 解除多余约束 转化为静定结构 将多余约束以多余未知力代替 这种把多余约束力作为基本量的计算方法 力法 3 2力法的基本原理及典型方程 看下面简单的例子 如图3 6所示的双跨梁 它是二次超静定结构 在用力法计算时 可将其两个多余联系去掉 图3 6a 图3 6c 图3 6b 3 2力法的基本原理及典型方程 为了求出基本结构中多余的约束力 必须考虑原结构在多余联系处的已知变形条件 下面以求M1和M2 图3 6b 为例来说明 原结构 图3 6a 在均布载荷q作用下在固定端处的转角为零 在中间支座处转角连续 为使基本结构的受力和变形与原结构完全一致 就应使基本结构在多余约束力M1 M2载荷q作用下在支座1处的转角为零 在支座2处的转角连续 即 支座1处的转角 支座2处的转角 3 2力法的基本原理及典型方程 上式即为变形协调条件 利用两端自由支持单跨梁的弯曲要素表 可以得到转角与弯矩和外载荷之间的关系式 并将他们代入到上式 得到 根据变形条件 求解 3 2力法的基本原理及典型方程 求出基本未知量M1和M2后 就可分别对两个静定单跨梁进行计算 并用叠加法画出梁1 2和2 3的弯矩图和剪力图 此即原双跨梁的弯矩图和剪力图 第二种等效方法 固定端支反力 在均布载荷q作用下 变形条件 求解 3 2力法的基本原理及典型方程 在集中载荷R1作用下 在集中载荷R2作用下 力法基本原理 把去掉原结构上的多余联系后所得的静定结构作为基本结构 以多余约束力作为基本未知量 根据原结构在多余联系处的变形条件列力法方程 解之即得多余约束力 而以后的计算与静定结构相同 必须指出 基本结构的选取虽然可以不同 但它必须是几何不变的 否则不能用作计算超静定结构的计算图形 上述基本原理可以用于分析任何类型的超静定结构 例如连续梁 刚架和桁架等 3 2力法的基本原理及典型方程 如果把图3 6b中的M1称为第一个多余约束力 记做X1 M2称为第二个多余约束力 记做X2 并且把力法方程组改写成 式中 a 3 2力法的基本原理及典型方程 与图3 6b对照 可以看出 力法方程组 c 中的系数 11就是当X1 1单独作用于基本结构时 在X1作用点沿X1方向的转角 广义位移 而 21就是在X2作用点沿X2方向的转角 22就是当X2 1单独作用于基本结构时 在X2作用点沿X2方向的转角 注意基本结构有一对X2 而 12在X1作用点沿X1方向的转角 1p就是当外载荷单独作用于基本结构时在X1作用点沿X1方向的转角 而 2p就是当外载荷单独作用于基本结构时在X2作用点沿X2方向的转角 3 2力法的基本原理及典型方程 对于n次超静定结构 其力法方程组可写为 3 1 注 对于有支座沉降的情况 右边相应的项就等于已知位移 沉降量 而不等于零 3 2力法的基本原理及典型方程 1 系数 柔度系数 自由项 主系数 ii i 1 2 n 单位多余未知力单独作用于基本结构时 所引起的沿其本身方向上的位移 恒为正 自由项 iP 荷载FP单独作用于基本体系时 所引起Xi方向的位移 可正 可负或为零 3 2力法的基本原理及典型方程 3 最后弯矩 2 典型方程的矩阵表示 3 2力法的基本原理及典型方程 力法基本思路小结 解除多余约束 转化为静定结构 多余约束代以多余未知力 基本未知力 分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移 建立位移协调条件 力法方程 从力法方程解得基本未知力 由叠加原理获得结构内力 超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决 3 2力法的基本原理及典型方程 3 3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算 3 3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算 图3 1 a 图3 1 b 图 3 1a 所示的为n 1跨的刚性支座上的连续梁 其两端刚性固定 首先判断它是一个n次超静定梁 无轴向载荷 故无轴向约束反力 将连续梁两端的刚性固定端改为固定铰支座 并以相应的多余约束力 端面弯距 代替 在每个中间支座处将梁切断 并以相应的约束反力 梁截面上的弯距 代替 得到如图 3 1b 所示的基本结构 单跨梁 它会使得力法方程简化 3 3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算 根据原结构在刚性固定端转角为零和在支座处转角连续性条件 列出方程 3 2a i 2 3 n 1 3 3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算 将上式整理后得到 3 2b 3 3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算 式中 i 2 3 n 1 i qi 1 第i 1跨梁上所有外荷引起得在支座i处的梁右端的转角 i qi 表示第i跨梁上所有外荷引起的在支座i处梁左端的转角 1 q1 n qn 1 同理 并规定沿顺时针方向的转角为正 反之为负 由式 3 2 可见 每个方程中最多含三个未知弯距 故式 3 2 称为三弯距方程 改写为矩阵形式为 3 3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算 3 3 3 3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算 式中系数矩阵是对称矩阵 ij ji 且 3 4 3 3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算 式中 i 2 3 n 1 3 5 式中 i 2 3 n 1 式 3 3 在数学上称为三对角方程 当连续梁上支座数目较多时 可以采用追赶法在计算机上求解 3 3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算 例题1 计算图3 2所示的等截面三跨连续梁 已知l 8m P ql 2 40kN q 10kN m 解 取其基本结构如图 b 所示 根据基本结构在支座1处的转角为零 在中间支座处转角连续的条件 列出三个力法方程 将以上三个方程两边同乘以6EI l 整理得 解得 得到固定端和各截面的弯距后 就可以采用叠加法绘制剪力图和弯距图 对于仅受到均布载荷的等截面 等跨度的连续梁 则连续梁每一跨度的变形均相同 中间支座处的转角为零 这种连续梁可作简化计算 只需取出一跨 将其作为两端刚性固定的单跨梁计算 无需对整个连续梁进行计算 目前 船体结构中的甲板纵骨及船体纵骨大都满足以上条件 所以都可以作为两端刚性固定的单跨梁处理 回顾 超静定结构 静定结构 多余联系 多余约束力 力法方程 连续性条件 力法 船体结构中的甲板纵骨 舷侧纵骨和船底纵骨这些纵向构件 超静定结构 可以采用三弯矩方程得以解决 对于由横梁 肋骨和肋板组成的横向框架结构 船体结构中的刚架大都是由横梁 肋骨和肋板组成的横向框架结构 刚架中杆件的相交点叫作刚架的节点 图3 3 实际结构中 大多数刚架受力变形后节点位移可以不计 于是计算强度时在节点处加上固定铰支座 称为不可动节点刚架 少数情况 对于大开口船舶 舱口端横梁在载荷作用下会有较大线位移 因此在计算强度时只能加弹性支座或给定一个已知线位移 这种刚架称为可动节点刚架 例题2 计算图3 3所示的单甲板船在舱口部位的肋骨刚架 图3 4a 图3 4b 解 对图3 4a所示的刚架 可将其作为刚性支座上连续梁 折合 的结果 可以按照连续梁的方法求解 取其基本结构形式如图3 4b所示 另由于此刚架结构为左右载荷对称 结构形式对称结构 所以M2 M5 M3 M4 这样就可以根据原结构在刚性支座处转角的连续性条件 列出两个力法方程 求出节点弯距后 就可以绘制刚架的弯距图 由上式可见 刚架的内力与各杆的截面惯性距的比值有关 因而并不需要给出各杆件的惯性距 只要给出各杆件之间惯性距的比值即可 此外 当肋板的刚度远远大于肋骨的刚度时 即I3 I2时 2 0 故可得 这说明肋板可以作为肋骨的刚性支撑 肋骨相当于刚性固定在肋板上 这也就是如图3 5所示的肋骨刚架的计算结果 图3 5 例题3 计算图3 6所示的刚架 画出弯距图 不计各杆的拉压变形 已知P 16kN l 1m I2 I1 6 图3 6a 图3 6b 解 图3 6a所示的刚架 自身处于平衡状态 在不计刚架各杆件拉压变形的情况下 节点1 2 3 4处的线位移为零 因此 刚架属于不可动节点刚架 取其基本结构如图3 6b所示 由于刚架为几何对称结构 载荷也完全对称 所以由M1 M2 M3 M4 因此未知弯距只有一个 只需根据一个节点的转角连续性条件 列出一个力法方程即可 弯距图 3 4弹性支座与弹性固定端的实际概念 上一章我们曾经对弹性支座和弹性固定端下了定义 那么弹性支座和弹性固定端的实际概念是从何而来的呢 我们看一下这个结构 图3 7a 图3 7b 图3 7c 我们采用力法对其进行求解 取原结构的基本结构如图3 7b所示 根据在节点2处的位移连续条件 建立立法方程 上式与图3 7c所示的梁节点2的挠度算式 完全相同 这说明原结构中的梁1 3相当于梁4 5的弹性支座 其柔性系数A l31 48EI1 柔性系数A仅与梁的尺寸和两端支座形式有关 当梁1 3为刚性固定时 A l31 192EI1 注意 梁1 3之所以可以作为梁4 5的弹性支座 是因为梁1 3仅受到两梁之间的相互作用力 而且 此力的方向与梁挠度的方向相同 力的大小与挠度的大小成正比 即v R 这也与上一章讲到的弹性支座定义相同 显然如果梁上还有其他载荷 那么挠度就不单仅取决于R了 因此一根梁之所以能作为其他梁的弹性支座的条件是 此梁没有外荷重复作用 在计算弹性支座的柔性系数时 只需把受外载荷的梁和不受外荷的梁在相交点处拆开 并在拆开处加上相互作用力R 计算无外荷重作用的梁在R作用处沿R方向的挠度v v与R的比值就是柔性系数A 事实上 由于v R 所以 只需假定R 1 求出挠度v 求出挠度v该挠度就是柔性系数A 例 如图3 8所示一空间刚架结构 试求杆1 2刚性固定端处的弯距 已知各杆截面惯性矩均相同 图3 8a 图3 8b 图3 8c 解 因杆5 3 3 4 4 6组成的平面刚架上无外荷重作用 故它可作为杆1 2的一个弹性支座 于是杆1 2就变成一端刚性固定一端自由支持在弹性支座上的单跨梁3 7b 弹性支座的柔性系数A 可通过计算图3 7c所示刚架求得 利用上一节的方法可以计算得到节点3和4的弯距M3 M4 Rl 2 再由两端自由支持单跨梁弯曲要素表 求出在M3 M4和R共同作用下杆3 4中点的挠度 v Rl3 96EI 即A l3 96EI 既而利用第二章介绍的初参数法求出梁在刚性固定端处的弯距 可以计算得到节点3和4的弯距M1 3ql3 22 如图3 8所示的刚架结构 船舶上 双甲板船结构 上甲板横梁与甲板间肋骨组成的刚架 选取其基本结构如图3 8b 根据原结构在节点2处相邻两杆转角连续性条件 列出力法方程 3 图3 8 A 图c所示的弹性固定端表达式为 这两个式子完全相同 由此可见 原结构中甲板间肋骨 杆1 2 相当于横梁 杆2 3 的弹性固定端 弹性固定端的柔性系数A l1 3EI1 A 仅与杆1 2尺寸及其支座形式有关 若杆1 2下端为刚性固定 则A l1 4EI1 注意几点 1 甲板间肋骨 1 2杆 能够作为横梁 杆2 3 的弹性固定端是因为将它们拆开后 1 2杆的1端仅受未知弯距M作用 且此弯距与该端的转角 始终同方向成正比 即有 M 这也与上一章讲到的弹性固定端定义相同 显然如果梁上还有其他载荷 那么转角就不单仅取决于M了 由此可知 实际结构中杆件的弹性固定端是与其相邻的不受外载荷的杆件作用的结果 换言之 受载杆件与不受载杆件相连时 不受载杆件是受载杆件的弹性固定端 2 为了计算弹性固定端的柔性系数A 我们只需把受外载荷杆与不受外载荷杆在他们相连处切开并加上相互作用的未知弯距M 计算无外载杆在弯距M作用处的转角 与M的比值就是柔性系数A 由于在计算柔性系数时M的大小不需知道 所以只需假定M 1 求出转角 该转角就是柔性系数A 的值 3 柔性系数的数值主要取决于无载杆件的长度与断面惯性距 而与无载杆件端点的固定情况关系不大 4 在实际船体结构中 甲板间肋骨的下端还与下甲板横梁及主肋骨相连接 如图3 9所示 它们将影响甲板间肋骨下端的固定程度 实际上甲板间肋骨下端的固定是介于自由支持和刚性固定之间的某种情况 数值介于l1 3EI1 和l1 4EI1之间 数值范围不大 在近似计算时 可不必考虑下甲板横梁及主肋骨对上甲板横梁的影响 结论 在杆系结构计算中 如果要计算受外载荷的杆件 则可以只考虑与它直接相连的不受外载荷的杆件对它的影响 无须考虑不与它直接相连的不受外载荷的杆件对它的影响 例 将图3 10所示的刚架中杆1 2化为单跨梁来计算 试确定其弹性固定端的柔性系数A 1 a b 图3 10 解 由前所述 将原结构在节点2处拆开为杆1 2 受外载荷杆 和杆3 2 4 不受外载杆 并假定拆开处的弯距M 1 图 b 所示 在将杆3 2 4从节点2处拆开为两根单跨梁 在拆开处分别加上未知弯距M1和M2 图 c 所示 现以图b c为研究对象 节点2处有弯距M 1的作用 依据节点2处弯距平衡条件 得 根据节点2处转角连续性条件 列力法方程 根据节点3处转角为0 列力法方程 这说明弹性固定端的刚性系数等于杆3 2单独作用时的刚性系数和杆2 4单独作用时的刚性系数之和 由上面的分析可知 如果杆系结构所有的杆件上都有外载荷作用 那么其中任一根杆件都不能作为其他杆件的弹性固定端 因为柔性系数无法求出 这时为了实际结构的分析需要 人们又引入了一个关于弹性固定端固定程度的新定义 叫 固定系数 它是弹性固定端断面的弯距与假想为刚性固定时的断面弯距之比 常用 表示 3 6 根据此定义 0 即Melastic 0 表示自由支持端 若 1 即Melastic Mrigid 表示刚性固定端 因此 在0到1变化 虽然 和A 都用来表示弹性固定端的系数 但是在定义 时 并没有要求固定端的转角一定与其弯距成正比 因此用定义的弹性固定端固定系数和用A 定义的弹性固定端的意义并不相同 换言之 如果一根梁的固定端的转角与弯距不成正比 则A 无意义 但 存在 3 5弹性支座上连续梁计算 上一节应用弹性支座的概念可将某些板架结构化为具有弹性支座的连续梁 在船体结构计算中 还会遇到弹性支座上连续梁的的计算问题 比如 船舶在建造过程中 将船体搁置在船坞内的墩木上 图3 11a所示 墩木对船体的支持就相当于弹性支座 由于墩木的柔性系数可能不相同 船体横截面的惯性距沿船长又是变化的 因此船体搁置在墩木上就可近似地化为图3 11b所示的弹性支座上的连续梁 3 5弹性支座上连续梁计算 a b 图3 11 一般起见 我们讨论如图3 12a所示的弹性支座梁 它是n次超静定结构 图3 12a 选取用力法计算的基本结构如图3 12b所示 它与弹性支座上连续梁的基本结构不同之处在于各支座处还存在挠度v1 v2 vn 故在建立支座处转角连续方程时 应考虑因相邻支座处的挠度不同而引起的转角 1 A1 图3 12b 由各支座处转角连续性 列力法方程 支座1 3 8 中间支座 式中i 2 3 n 1 支座n 3 8 3 8 式中在红框内的为挠度引起的转角项 其他各项与刚性支座上连续梁相同 由以上n个方程并不能求解未知弯距M1 M2 Mn 因为方程中各支座处挠度v1 v2 vn也是未知的 但是我们可以通过支座的柔性系数和支反力来求解 支座反力与支座处梁的剪力有关 而剪力又与梁上的载荷和未知弯距有关 下面就来寻求这些关系 将单跨梁取出 去掉支座以截面处剪力代之如图3 13所示 根据静力平衡条件 列静力平衡方程 图3 13 左端面上剪力 右端面上剪力 3 9 Ni qi 表示第i跨梁上所有外载荷引起的梁左端截面上的剪力 向下为正 Ni qi 1 表示第i 1跨梁上所有外载荷引起的梁右端截面上的剪力 向上为正 弹性支座上连续梁的支反力 向上为正 与该支座处梁截面上剪力的关系为 3 10 根据弹性支座的定义可知 3 11 将式 3 9 代入到式 3 10 在代入到 3 11 得 3 12 式 3 8 和 3 12 共有2n个方程 可解出2n个未知量M1 M2 M3 和v1 v2 vn 利用式 3 12 消去式 3 8 中所有的挠度 便可得到用矩阵表示的方程 3 13 式中系数矩阵是对称矩阵 ij ji 每个 ji和 ip j i 1 2 n 的具体表达式见课本P47和P47页 式 3 13 从第三式起至倒数第三式止 每一式中仅包含五个未知弯距 故称为五弯距方程 数学上也称为五对角方程 在连续梁的弹性支座很多时 计算一般采用电子计算机编程计算 例1 求图3 14所示的阶梯变截面梁中点挠度v2 A 图3 14 I R R M1 a b c 解 在梁的截面突变处增加一个柔性系数为无穷大的弹性支座 这样阶梯变截面梁就变成弹性支座上的连续梁 3 14b 然后我们就可以选取用力法计算的基本结构 3 14c 所示 根据连续梁在节点1处转角为0和节点2处转角的连续性条件 列力法方程 因A 所以支座反力等于零 利用式 3 9 和 3 10 注意节点2上有集中力R 得 联立求解得 例2 求图3 15所示的弹性支座上的连续梁 试求其固定端弯距和弹性支座上的力 A 11l3 216EI 图3 15 a b 解 考虑结构的对称性 选取基本结构如图3 15b所示 根据节点1处的转角为零和节点2处的转角连续性条件及v2 AR2 列出三个力法方程 联立求解得 3 5简单板架计算 板架的节点 双向交叉梁系 主向梁 数目较多 交叉构件 如图所示船体结构中 相互交叉的梁系叫做板架 板架受垂直于杆系平面的载荷作用而弯曲 板架中梁的交叉点又叫做板架的节点 船体结构中的板架为双向正交梁系 其中数目较多的叫主向梁 与其正交数目较少的为交叉构件 用力法计算板架时 步骤如下 1 将主向梁和交叉构件在相交点处拆开 代之以相互作用的集中力 在忽略梁的扭转的情况下 2 利用拆开点处的挠度相等的变形连续性条件 列力法方程 3 求解力法方程 解出未知力 考虑